03-讲义：6.1 概 述

第六章 结构位移的计算
前几章讨论了各类静定杆件结构的内力计算方法，内力计算问题属于强度问题，是结构力学讨论的首要任务。

而结构力学的第二大任务是解决杆件结构的刚度问题，为此还需要进行结构的位移计算，同时结构位移计算又是超静定结构内力计算的理论基础。

结构位移计算的理论依据是虚功原理，因此本章先基于变形体系的虚功原理，推导出结构位移计算的一般公式；再讨论各类杆件结构分别在荷载作用、温度改变和支座移动下的位移计算方法。

最后介绍了互等定理。

第一节 概 述
一、结构位移及其类型
任何结构都是由可变形的材料组成的，在荷载作用下，结构会产生应力和应变，致使原有结构的形状发生变化，结构上各点的位置将会发生移动，杆件横截面也将发生转动。

如图6-1(a)所示悬臂刚架，假设在荷载作用下发生如虚线所示的变形。

截面A 的形心从A 点移动到了'A 点，线段'AA 称为A 点的线位移，记为A ∆。

这个线位移大小和方向都是未知的，一般可
以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示。

同时，截面A 还转动了一个角度A ϕ，称为截面A 的角位移。

图6-1 结构位移的类型
又如图6-1(b)所示桁架中各杆在外荷载作用下产生轴力，结构变形后到达虚线所示的位置。

结点B 移动到了'B 点，线段'BB 称为结点B 的线位移。

杆件AD 顺时针旋转到'AD 位置，旋转过的角度AD ϕ称为杆件AD 的角位移。

同样地，角度AB ϕ称为杆件AB 的角位移，也假设为顺时针方向。

角位移AD ϕ和AB ϕ均为绝对位移。

同时，杆件AB 和AD 间的夹角变化了(AD AB ϕϕ-)，相当于杆AD 相对于杆AB 转动了一个角度，这个角度称为杆AB 和AD 间的相对角位移。

再如图6-1(c)所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，杆件AB 中截面A 发生了顺时针角位移A ϕ，截面B 发生了逆时针角位移B ϕ。

这两个方向相反的角位移之和称为截面A 、B 间的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。

同样地，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆和D ∆，这两个指向相反的水平线位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，即D C CD ∆+∆=∆。

由上分析可知，结构的位移是指由于结构变形或其它原因，使结构上某点位置或某截面方位的改变。

这里要注意位移与变形的关系，变形是指结构受外因作用，原有的尺寸和形状发生了改变。

很明显，结构产生了位移，但不一定涉及到变形；但结构产生了变形，一定会发生位移。

位移按性质可分为线位移和角位移。

线位移是指结构上某点（或某截面）的移动，角位移是指杆件或截面产生的转动。

位移按相对坐标系，又可分为绝对位移和相对位移。

位移的分类见表6-1。

一般情况下，结构位移相对于结构原来的几何尺寸来说都是极其微小的。

表6-1 位移的分类
二、结构位移产生的原因
引起结构产生位移的主要原因有荷载作用、温度改变、支座移动及几何尺寸制造误差等，分别如图6-2所示。

各因素对静定结构的内力、变形和位移的影响情况，见图6-3。

其中，静定结构由于支座沉降作用，可使结构产生位移，但结构中各杆并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。

由上分析可知，结构位移有不同的类型，它们又可以由不同的外因引起。

将由各种不同外因引起的各类结构位移统称为广义位移，可统一标记为ki ∆。

其中，第一个下角标k 表示产生位移的位置或方向，第二个下角标i 表示引起位移的原因。

因此，由荷载作用、温度变化、支座沉降、制造误差等引起k 截面处的位移可分别标记为：kP ∆、kt ∆、kc ∆、kl ∆。

图6-2 位移产生的原因
(a)荷载作用 (b)温度改变 (c)支座移动 (d)制造误差(下弦杆缩短引起的位移)
图6-3 各因素对静定结构内力、位移和变形的影响
（图中σ为应力，ε为应变）
三、计算结构位移的目的
1、验算结构的刚度
结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。

因此，在结构设计时，要计算结构的位移，来对结构进行刚度验算，以控制结构不能发生过大的变形。

如工程上相关设计规范规定：吊车梁的容许挠度为跨度的1/500~1/1200（随吊车梁工作制不同而异）；高层混凝土建筑在风荷载和地震作用下的最大层间相对水平位移不宜超过层高的1/500~1/1000 （随结构类型和建筑高度不同而异）；桥梁在竖向荷载作用下的容许挠度，简支钢板梁为跨度的1/800，简支钢桁梁为跨度的1/900。

2、为超静定结构的弹性计算打下基础
对超静定结构进行弹性分析时，由于静力平衡方程的数目少于未知量的数目，因此除考虑静力平衡条件外，还需建立变形协调的补充方程，而这个补充方程的建立必须计算结构的位移。

3、施工工艺的要求
在结构施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。

比如在跨度较大的结构中，有时为了避免产生显著的下垂现象，可预先将结构做成与其挠度方向反向的弯曲状，这种做法在工程上称为建筑起拱。

如图6-4(a)所示三角形屋架，在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移，跨中C点变形最大。

为了减小屋架在使用阶段下弦各结点的竖向位移，屋架制作时可以将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度短些，拼装就位后下弦就形成向上的起拱（图6-4(b)），结点C位于C’位置处。

这样，在屋盖系统施工完毕后，屋架在竖向荷载作用下产生位移，
∆以及各下弦杆的实际下屋架下弦各杆就能接近于原设计的水平位置。

很明显，屋架的起拱高度
C
料长度是要根据结构的位移确定的，为此必须先计算结构的位移。

图6-4 屋架的起拱
(a)未起拱屋架的变形情况(b)屋架起拱
四、计算位移采用的假设
结构位移计算时，为使计算简化，常采用如下假设：
(1) 材料服从胡克定律，即应力应变呈线性关系。

(2) 结构位移是微小的，不致影响荷载作用点的位置。

在建立平衡方程时，仍然用结构原有几何尺寸进行计算。

(3) 结构中各部分之间为理想连接，不考虑摩擦阻力等影响。

满足上述条件的理想体系，其位移与荷载间为线性关系，称为线性变形体系。

对于此种体系，当卸载后，位移即全部消失。

因此，位移计算可以应用叠加原理。

位移与荷载之间呈非线性关系的体系称为非线性变形体系。

线性变形体系和非线性变形体系统称为变形体系。

本章只讨论线性变形体系的位移计算。