赣州市宁都县宁师中学2019-2020学年上期高一数学12月考卷附答案解析

赣州市宁都县宁师中学2019-2020学年上学期12月考
高一数学试题
一、单选题 1．已知集合{}
2
4A x x =<，{}0,1,2,4B =，则A B ⋂=（ ）
A ．
{}0,1
B ．
{}0,1,2
C ．
{}1,2
D ．
{}0,1,2,4
2．已知集合{}
2
20A x x
x =
-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．
}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
3．函数()1
212
f x x x =-+
-的定义域为（ ） A ．
[)0,2
B ．
()2,+∞
C ．()1,22,2
⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()
(),22,-∞+∞
4．已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4
-，求()f e =（ ）
A ．e
B ．e
C ．
1e
D ．
1e
5．函数241,[0,5]y x x x =-+∈的值域是（ ） A ．
[]1,6
B ．
[]31-，
C ．
[]36-，
D ．[3)-+∞，
6．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．5
7．已知函数
()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，
则满足()1213f x f ⎛⎫
-<
⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．2,
3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
8．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π
B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称
C ．f(x+π)的一个零点为x=
6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 9．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．a <b <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b 10．已知cos100a =︒，cos70b =︒，sin 40c =︒，这三个数的大小关系（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
11．若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,2)
B ．
[]12，
C ．[1+)∞，
D ．[2+)∞，
12．已知函数2|log ,0
(),21,0x x f x x x ⎧⎪=⎨
+-≤⎪⎩
若函数()1y f x m =-+有四个零点,零点从小到大依次为,,,,a b c d 则a b cd ++的值为( ) A ．2 B ．2-
C ．3-
D ．3
二、填空题
13．设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是______________． 14．已知锐角α终边上一点()1,3P
，则α的弧度数为________.
15．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨
-⎩(0)(0)
x x <>则1111
()()66f f -+为_____ 16．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射
f 作用下的象，则下列说法中：
① 映射f 的值域是[0,3]； ② 映射f 不是一个函数； ③ 映射
f 是函数，且是偶函数；
④ 映射
f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，
其中正确说法的序号是___________.
说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动． 三、解答题
17．已知α是第三象限角，且3sin()cos()sin()
22()sin()cos()
f ππ
ααπαααππα-⋅+⋅-=
--⋅--． （1）化简
()f α；
（2）若3cos()2πα-=1
5
，求()f α的值.
18．（1）21
log 33
04
3
211(4)()0.25(
)222
----+⨯+ （2） 已知15a a -+=，求22
a a
-+和
1
12
2
a a -
+的值．
19．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝()2log 1x +.
(1)求当x <0时，f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．
20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2千克/年；当420x <≤时，v 是x 的一次函数；当20x >时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.
（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数表达式.
（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
21．已知函数()sin f x a x b =+（,R a b ∈）．
（1）若0a <，函数()f x 的最大值为0，最小值为4-，求,a b 的值； （2）当2b =时，函数2
()()sin g x f x x =-的最大值为2，求a 的值．
22．设m 是实数，2
()()21
x
f x m x R =-∈+， （1）若函数
()f x 为奇函数，求m 的值；
（2）试用定义证明：对于任意m ，()f x 在R 上为单调递增函数；
（3）若函数()f x 为奇函数，且不等式()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的
取值范围.
解析
赣州市宁都县宁师中学2019-2020学年上学期12月考
高一数学试题
一、单选题 1．已知集合{}
2
4A x x
=<，{}0,1,2,4B =，则A B ⋂=（ ）
A ．
{}0,1 B ．
{}0,1,2
C ．
{}1,2
D ．
{}0,1,2,4
【答案】A
【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合A ，再利用交集的定义和不等式的性质求解. 【详解】
集合{}
{}2
|4|22A x x x x =<=-<<，
{}0,1,2,4B = {}01A B ∴⋂=，.
故选A. 【点睛】
本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用. 2．已知集合{}
2
20A x x
x =
-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．
}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
【答案】B
【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或，
所以{}|12A x x x =
<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =
-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 3．函数()1
212
f x x x =-+
-的定义域为（ ） A ．
[)0,2 B ．
()2,+∞
C ．()1,22,2⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()
(),22,-∞+∞
【答案】C
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【详解】 由21020
x x -≥⎧⎨
-≠⎩，解得x ≥1
2且x ≠2．
∴函数()1212f x x x =-+
-的定义域为()1,22,2⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
4．已知幂函数()f x 的图象经过点1
(2,)4
-，求()f e =（ ）
A ．e
B ．e
C ．1e
D ．1e
【答案】C 【解析】设幂函数()f x x α=，由()f x 过点1(2,)4-，知()124
α
-=，解出α，由此能求出()f
e ．
【详解】 设幂函数()f x x α=，
∵
()f x 过点1
(2,)4-，
∴()124α-=，2α=-，()2
f x x -=，
∴()
1
f e e
=，
故选：C ． 【点睛】
本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用，属于基础题. 5．函数241,[0,5]y x x x =-+∈的值域是（ ） A ．
[]1,6
B ．
[]31-，
C ．
[]36-，
D ．[3)-+∞，
【答案】C
【解析】分析二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域求得函数的最大值和最小值，由此求得函数值域. 【详解】
由于二次函数开口向上，对称轴为2x =，函数定义在区间
[]0,5上，故当5x =时，函数取得最大值为
()56f =，当2x =时，函数取得最小值为()23f =-.所以函数的值域为[]36-，.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题. 6．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】1
28,22,442
r l l r r r l S lr α+===∴==∴== ,选C. 7．已知函数
()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，
则满足()1213f x f ⎛⎫
-<
⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．2,
3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】求得函数
()f x 在(0,)+∞上单调递增，又由函数()f x 的图象关于直线0x =对称，得到()f x 在
(,0)-∞上单调递减，从而根据函数不等式列出相应的不等式，即可求解．
【详解】
当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， 所以
()()210f x f x ->恒成立，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又因为函数
()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，
若要满足(
)1213f x f ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，即112133x -<-<，解得1233x <<， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中得出函数的单调性和对称性，合理转化函数不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 8．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D
【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；
∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++
⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝－cos 2π＝0，故C 正确；
由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上不单调，故D 错误．
故选D.
9．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．a <b <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 【考点】幂函数的图像特征．
10．已知cos100a =︒，cos70b =︒，sin 40c =︒，这三个数的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】A
【解析】利用诱导公式可得sin 40cos50=，根据余弦弦函数的单调性进行判断. 【详解】
sin 40cos50=，因为cos y x =在0180x <<是减函数，1007050>>，所以有cos100cos70cos50<<，即a b c <<，故本题选A.
【点睛】
本题考查了利用余弦函数的单调性判断余弦值大小问题，考查了诱导公式.
11．若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．
[]12，
C ．[1+)∞，
D ．[2+)∞，
【答案】A
【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a 的取值需令真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，且函数u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减． 详解：令u=x 2﹣2ax+1+a ，则f （u ）=lgu ，
配方得u=x 2﹣2ax+1+a=（x ﹣a ）2 ﹣a 2+a+1，故对称轴为x=a ，如图所示：
由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上单调递减， 又真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，二次函数u=x 2﹣2ax+1+a 在（﹣∞，1]上单调递减， 故只需当x=1时，若x 2﹣2ax+1+a ＞0， 则x ∈（﹣∞，1]时，真数x 2﹣2ax+1+a ＞0， 代入x=1解得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2） 故选：A ．
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间
[],a b 上单调，则该函数在
此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 12．已知函数2|log ,0
(),21,0x x f x x x ⎧⎪=⎨
+-≤⎪⎩
若函数()1y f x m =-+有四个零点,零点从小到大依次为,,,,
a b c d 则a b cd ++的值为( ) A ．2 B ．2-
C ．3-
D ．3
【答案】C 【解析】函数()1y f x m =
-+有四个零点，即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点，
可设四个交点横坐标a b c d ,,,
满足a b c d <<<，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得1cd =，利用
对称性得到4a b +=-，从而可得结果. 【详解】
作出函数()2log ,0
21,0
x x f x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩的图象如图,
函数
()1y f x m =-+有四个零点，即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标a b c d ,,,
满足a b c d <<<， 则，
()()f a f b =，2121a b +-=+-,
可得31a b --=+, 4a b +=- 由
()()f c f d =，得22log log c d =，
则22log log c d -=，可得2log 0cd =， 即1cd
=，413a b cd ++=-+=-，故选C.
【点睛】
函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.
二、填空题
13．设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是______________． 【答案】[2,)+∞
【解析】由题意{|}N x x k =≤，因为M N ⊆，所以2k ≥.
14．已知锐角α终边上一点()1,3P ，则α的弧度数为________.
【答案】
3
π
. 【解析】根据三角函数的定义求出tan α的值，于此可得出锐角α的弧度数。

【详解】
由三角函数的定义得3
tan 31
α==，由于α是锐角，因此，3πα=，故答案为：3π。

【点睛】
本题考查由三角函数值求角，解题时要充分利用三角函数的定义取值，同时还要熟悉一些特殊角的三角函数组，考查计算能力，属于基础题。

15．已知
sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)
x x <>则1111
()()66f f -+为_____
【答案】0
【解析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解. 【详解】 因为
sin ()(1)
x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)
(0)x x <>
则
11111()sin()sin 6662f ππ-
=-==, 11511()()()sin()66662
f f f π==-=-=-, 所以1111
()()066
f f -+=.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.
16．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射
f 作用下的象，则下列说法中：
① 映射f 的值域是[0,3]； ② 映射f 不是一个函数； ③ 映射f 是函数，且是偶函数；
④ 映射
f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，
其中正确说法的序号是___________.
说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动． 【答案】③
【解析】根据A 滚动的过程在坐标平面中画出A 的运动的轨迹后可得正确的选项．
【详解】
A 运动的轨迹如图所示：则映射f
是一个函数且为偶函数，
()f x 的值域为[]0,2，也是一个周期函数，周
期为6T =，其增区间为[]6,62k k +和[]63,64k k ++，k Z ∈，故选③．
【点睛】
几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．
三、解答题
17．已知α是第三象限角，且3sin()cos()sin()
22()sin()cos()
f ππ
ααπαααππα-⋅+⋅-=
--⋅--． （1）化简
()f α；
（2）若3cos()2πα-=1
5
，求()f α的值. 【答案】（1）
()sin f αα= （2）()1
5
f α=-
【解析】（1）根据诱导公式化简即可得()sin f αα=；（2）由已知得1
sin 5
α-=，代入即可得最后结果.
【详解】
解：（1）()()cos sin sin sin sin cos f ααα
αααα-⋅⋅=
=⋅-
（2）由已知：331cos cos sin 2
25ππααα⎛⎫⎛⎫
-
=-=-= ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
1
sin 5α∴=-
故()1
5
f α=-
【点睛】
本题主要考查了通过诱导公式化简、求值，熟练掌握诱导公式是解题的关键，属于基础题.
18．（1）21
log 33
43211(4)()0.25(
)222
----+⨯+
（2） 已知15a a -+=，求22a a -+和11
22a a -+的值．
【答案】（1）0；（2）7.
【解析】试题分析：（1）根据指数的运算性质，可得答案； （2）由已知利用平方法，可得()
2
2212a a a a --+=+-及2
1
11222a a a a --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，进而得到答案．
试题解析：
（1）原式()
4
1
412352302
=--+⨯
+=-++=
（2）(
)
2
221
2a a a a --+=+- 23=
∵2
111
2
2
27a
a
a a -
-⎛⎫+=++= ⎪⎝
⎭
， ∴由
112
2
0a a
-
+>得1
1
227a a -
+=
19．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝()2log 1x +.
(1)求当x <0时，f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．
【答案】(1) 当x <0时，f (x ) 2log (1)x -(2) 递减区间是(－∞，0]，递增区间是[0，＋∞)．
【解析】【详解】试题分析：利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0时的解析式；作函数图象最好先观察一下函数的解析式的形式特点，了解一下函数的简单性质，利用图象变换作图象又快又准，2log y x =左移2个单位得出2log (1)x +的图象，取0x ≥的部分，y 轴左边的图象与y 轴右边的图象关于y 轴对称.根据图象写出单调区间. 试题解析：
(1)当x <0时，－x >0，
∴f (－x )＝22log [()1]log (1)x x -+=-， 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，
∴当x <0时，2()log (1)f x x =- .
(2)由(1)知，
22log (1),0()log (1),0
x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
作出f (x )的图象如图所示：
由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，0]，递增区间是[0，＋∞)． 【点睛】
利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,偶函数借助f(x)=f(-x)求出x<0时的解析式，奇函数借助f(x)=-f(-x)求出函数在x<0的解析式；作函数图象最好先观察一下函数的解析式的形式特点，了解一下函数的简单性质，利用图象变换作图象
20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2千克/年；当420x <≤时，v 是x 的一次函数；当20x >时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.
（1）当020x <
≤时，求v 关于x 的函数表达式.
（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）2,04,15,420,8
2x x N v x x x N
**
⎧<≤∈⎪
=⎨-+<≤∈⎪⎩（2）当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【解析】（1）由题意：当04x <≤时，2v =．当420x <≤时，设v ax b =+，利用函数单调性及最值列方程组可求出,a b ，进而能求出函数v ；
（2）依题意并由（1），得22,04,()15,420,8
2x x x N f x x x x x N
*
*
⎧<≤∈⎪
=⎨-+<≤∈⎪⎩，当04x <≤时，利用()f x
的单调性，
求出
()()max 4f x f =，当420x <≤时，利用()f x 的二次函数的性质，可求出()()max 10f x f =，比较
大小即可求出最大值． 【详解】
（1）由题意得当04x <≤时，2v =. 当420x <≤时，设v ax b =+，
由已知得200,42,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,8
5,
2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以1582v x =-+.
故函数2,04,15,420,8
2x x N v x x x N *
*
⎧<≤∈⎪
=⎨-+<≤∈⎪
⎩ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得22,04,()15,420,8
2x x x N f x x x x x N
*
*
⎧<≤∈⎪
=⎨-+<≤∈⎪⎩， 当04x <≤时，
()2f x x =()04x <≤，()()max 4248f x f ==⨯=；
当420x <≤时，()()2
215125108282
f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==. 所以当020x <
≤时，()f x 的最大值为12.5，
即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 【点睛】
本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数在生产生活中的实际应用．
21．已知函数()sin f x a x b =+（,R a b ∈）．
（1）若0a <，函数()f x 的最大值为0，最小值为4-，求,a b 的值； （2）当2b =时，函数2
()()sin g x f x x =-的最大值为2，求a 的值．
【答案】（1）2
2
a b =-⎧⎨
=-⎩（2）0a =
【解析】（1）由一次函数的性质可得sin 1x =-时，()f x 最大，sin 1x =时，()f x 最小，列出方程组解
出即可；（2）令[]s in ,1,1t
x t =∈-，将原函数转化为含有参数的一元二次函数来进行处理，分为
12
a
<-，112
a
-≤
≤和12a >三种情形，结合二次函数的性质分别列出方程解出即可.
【详解】
（1）由题意0a <，所以sin 1x =-时，
()f x 最大，sin 1x =时，()f x 最小.
可得04a b a b -+=⎧⎨
+=-⎩，∴2
2a b =-⎧⎨=-⎩
；
（2）∴22
()()sin 2sin sin g x f x x a x x =-=+-2
22sin 42a a x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，
令[]sin ,1,1t x t =∈-，()2
2242a a g t t ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
，
若
12
a
<-，即2a <-， ()()max 1212g x g a =-=--=，故1a =-；（舍去）；
若112
a
-≤
≤，即22a -≤≤， ()2
max
2224a a g x g ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
，得0a =；
若
12
a
>，即2a >，()()max 1212g x g a ==+-=，得1a =（舍去） ∴综上可得：0a =．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，解题时注意配方法的应用，属于中档题． 22．设m 是实数，2
()()21
x
f x m x R =-∈+， （1）若函数
()f x 为奇函数，求m 的值；
（2）试用定义证明：对于任意m ，()f x 在R 上为单调递增函数；
（3）若函数()f x 为奇函数，且不等式()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的
取值范围.
【答案】（1）1m =（2）证明见解析（3）122k <-+
【解析】（1）由奇函数的定义，可得
()()0f x f x -+=，化简整理，解方程可得m 的值；（2）运用单调
性的定义证明，分取值、作差、变形和定符号、下结论等；（3）由于()f x 为奇函数且在R 上为增函数，由
题意可得23
(1)320x
x k -++>，等价于2(1)20t k t -++>对任意0t >恒成立，将二次函数的对称轴与0
进行比较，结合二次函数的最值即可得到所求k 的范围． 【详解】
（1）∵222()2112
x
x x
f x m m -⋅-=-=-++，且()()0f x f x -+= ∴(
)2122012x x
m +-
=+，∴1m =.
（2）证明：设1212,,x x R x x ∈<，则()()1212222121x x f x f x m m ⎛
⎫⎛⎫
-=-
-- ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭
(
)
(
)(
)
12
21122222221212121
x x x x x x -=-=++++ ∵1212,,x x R x x ∈<∴(
)12
220x
x -<
∴
()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上为增函数．
（3）因为()f x 为奇函数且在R 上为增函数， 由(
)()
3
3
920x
x
x f k f ⋅+--<得：()()()
3392392x x x x x f k f f ⋅<---=-++
∴3392x x x k ⋅<-++即23(1)320x x k -++>对任意x ∈R 恒成立． 令3x
t =()0t >问题等价于2(1)20t k t -++>对任意0t >恒成立．
令2
()(1)2f t t k t =-++，其对称轴1
2
k x += 当
1
02k +<即1k <-时，(0)20f =>，符合题意． 当1
02
k +≥时，即1k ≥-时，对任意0t >，()0f t >恒成立，等价于2(1)80k ∆=+-< 解得：1122k
-≤<-+
综上所述，当122k <-+时，不等式()()33920x x x
f k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，注意运用定义法，考查不等式恒成立问题的解法，考查了含有参数的二次函数最值的求法，属于中档题．。