8.4 闵可夫斯基空间解析
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'
四维矢量
即， 变换为一阶张量。 x
2. 两矢量的标积为一不变量 ' A av Av
av ' x xv
' B a B A' B' av Av a B v Av B Av Bv
13
a v a ' ' x x xv x xv xv
(V1 i V4 ) V2 V3
四维矢量的坐标变换关系
（16）
(V4 i V1 )
例： （1）定义四维位矢为：
x ( x, y, z, ict ) (r , ict )
（17）
（18）
dx (dr , icdt )
（2）定义速度矢量为：
dr dt ( , ic ) d d d r dr r dt ( , ic ) r d r d (rui , icr ) (i ,4 )
k j k j
代表正交变换条件
（6）
2. 四维空间(four-dimensional space)
将三维空间坐标的线性正交变换推广为四维情况。
( x, y, z, t ) ( x, y, z, ict ) x1 x x2 y x3 z P( x1, x2 , x3 , x4 ) x4 ict
x' ( x i x ) 1 4 1 x' x 1 2 2 （10） 2 ' v x3 x3 1 2 c ' x4 ( x4 i x1) x4 ict v c
写出（10）的矩阵方程(matrix equation)：
z z t v2 x c t v2 1 2 c
洛仑兹逆变换的变换矩阵为： a 的转置矩阵 0 0 i
a a 0 0 a 的逆矩阵 i
1
7
1 0 0 1 0 0
0 A 0
（14）
10
dx
rd dt
（19）
分析：
① 四维 的空间分量与三位速度分量相比较，
i ui ； ② 四维 的时间分量与 c 密切联系，4 ic ； i 0,4 ic ； ③ 在事件为静止的坐标中， ④ c 时，i ui 变为三维速度。
[3]、 定义四维加速度 d d 2r d 2t a ( 2 , ic 2 ) （20） d d d 3. 四维二阶张量 16 个分量，洛仑兹规范下的变换关系为： 11
（8）
（9）dimensional form of Lorentz transformation)
x vt x ' 2 v 1 2 c y' y z' z t v2 x ' c t 2 v 1 2 c
复四维空间
闵可夫斯基空间
（7）
S 2 x2 y 2 z 2 c2t 2 const 2 2 2 即： S 2 x12 x2 x3 x4 ' ' x x x x '2 2 x x const 1, 2,3, 4
8
2. 四维矢量(4-vectar) —一阶张量
定义
4 个分量 V 在洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换规律相
V
同，即 V avVv
'
（15）
Vu 的集合构成一个四维矢量。
V (Vi ,V4 )
空间分量 时间分量
按（15）式 V 的变换关系为：
9
V1' ' V2 ' V3 V ' 4
'2 '2 2 2 x1'2 x2 x3 x12 x2 x3
xi' xi' xi xi const
线性正交变换（保长变换）
（4）
（3）代入 （4）式得： aij x j aik xk xi xi
（5）
1 kj 0 aij aik kj
3
T' v a av T
（21）
16 个分量的集合，构成一个四维二阶张量
当 Tv Tv 时，称为二阶对称张量
当 Tv Tv 时，称为二阶反对称张量 可以证明，对称张量变换后仍是对称张量，即
T' v Tv'
反对称张量变换后仍是反对称张量，即
T' v T' u
三维坐标线性变换具有如下形式：
x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3
1
' x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ' x3 a31 x1 a32 x2 a33 x3
矩阵形式为：
x1' a11 a12 ' x2 a21 a22 ' a a x3 31 32
4. 四维高阶张量 三阶张量 43 64
12
T'v a a avT n 阶张量，4n 个分量。 T'12 n a11 a22 ann T12
n
0 阶张量——标量， 1 阶张量——矢量，
1.
40 1 41 4
四. 四维矢量的微分算符
V avVv
（1）式可写为：
a13 x1 a23 x2 a33 x3
i 1, 2,3
（1）
x aij x j
' i
3
（2）
（3）
xi' aij x j
j 1
(i, j 1,2,3)
爱因斯坦约定
2
aij为变换常数。
由于坐标轴转动使两点之间的距离保持不变，故有
容易验证，变换式（13）满足正交条件 aa I 单位矩阵，四维空间中的线性正交变换
三. 四维张量—物理量按空间变换的性质分类
1. 四维标量——零阶张量(zero order tensor) 在洛仑兹变换下保持不变，在四维空间中没有 取向关系的量称为四维标量或不变量,或为洛仑兹 标量.
S2
时空间隔 固有时，是一标量
x av xv
'
四维形式的正交变换条件
（12）
洛伦兹变换系数
0 a 0 i
(av ) a
0 1 0 0
洛伦兹变换矩阵
0 i 0 0 1 0 0
（13）
6
洛仑兹逆变换
x vt x v2 1 2 c y y
§8.4 闵可夫斯基空间
基本内容：在四维时空的框架下建立相对论的四 维形式，将物理方程改写成满足相对论要 求的协 变性方程,从而开拓新的研究领域
一.闵可夫斯基空间(Minkowski space)
1. 三维空间(three dimensional space) '相对于 转过了某一角度 ( x1 , x2 , x3 ) 系： ' ' ( x1' , x2 , x3 ) ' 系：
四维不变量
2 2 xv
2 1 2 2 2 c t 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x3 x4 是达朗伯算符(d’alembertian)，是一个四维标量 算符。
五. 物理规律的协变性
等式两边的物理量是同阶张量——协变式。 例： 系： A B ' ' 系：A a v Av
x1' ' x2 0 ' 0 x3 x ' i 4 0 1 0 0 0 i x1 0 0 x2 1 0 x3 0 x 4
5
（11）
（11）式可表示为：
' B a v Bv
14
' ' 故： A av Av av Bv B
由此可见 ，要判断物理规律是否满足相对性原 理 ，只要看其方程是否是协变的即可。
15
四维矢量
即， 变换为一阶张量。 x
2. 两矢量的标积为一不变量 ' A av Av
av ' x xv
' B a B A' B' av Av a B v Av B Av Bv
13
a v a ' ' x x xv x xv xv
(V1 i V4 ) V2 V3
四维矢量的坐标变换关系
（16）
(V4 i V1 )
例： （1）定义四维位矢为：
x ( x, y, z, ict ) (r , ict )
（17）
（18）
dx (dr , icdt )
（2）定义速度矢量为：
dr dt ( , ic ) d d d r dr r dt ( , ic ) r d r d (rui , icr ) (i ,4 )
k j k j
代表正交变换条件
（6）
2. 四维空间(four-dimensional space)
将三维空间坐标的线性正交变换推广为四维情况。
( x, y, z, t ) ( x, y, z, ict ) x1 x x2 y x3 z P( x1, x2 , x3 , x4 ) x4 ict
x' ( x i x ) 1 4 1 x' x 1 2 2 （10） 2 ' v x3 x3 1 2 c ' x4 ( x4 i x1) x4 ict v c
写出（10）的矩阵方程(matrix equation)：
z z t v2 x c t v2 1 2 c
洛仑兹逆变换的变换矩阵为： a 的转置矩阵 0 0 i
a a 0 0 a 的逆矩阵 i
1
7
1 0 0 1 0 0
0 A 0
（14）
10
dx
rd dt
（19）
分析：
① 四维 的空间分量与三位速度分量相比较，
i ui ； ② 四维 的时间分量与 c 密切联系，4 ic ； i 0,4 ic ； ③ 在事件为静止的坐标中， ④ c 时，i ui 变为三维速度。
[3]、 定义四维加速度 d d 2r d 2t a ( 2 , ic 2 ) （20） d d d 3. 四维二阶张量 16 个分量，洛仑兹规范下的变换关系为： 11
（8）
（9）dimensional form of Lorentz transformation)
x vt x ' 2 v 1 2 c y' y z' z t v2 x ' c t 2 v 1 2 c
复四维空间
闵可夫斯基空间
（7）
S 2 x2 y 2 z 2 c2t 2 const 2 2 2 即： S 2 x12 x2 x3 x4 ' ' x x x x '2 2 x x const 1, 2,3, 4
8
2. 四维矢量(4-vectar) —一阶张量
定义
4 个分量 V 在洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换规律相
V
同，即 V avVv
'
（15）
Vu 的集合构成一个四维矢量。
V (Vi ,V4 )
空间分量 时间分量
按（15）式 V 的变换关系为：
9
V1' ' V2 ' V3 V ' 4
'2 '2 2 2 x1'2 x2 x3 x12 x2 x3
xi' xi' xi xi const
线性正交变换（保长变换）
（4）
（3）代入 （4）式得： aij x j aik xk xi xi
（5）
1 kj 0 aij aik kj
3
T' v a av T
（21）
16 个分量的集合，构成一个四维二阶张量
当 Tv Tv 时，称为二阶对称张量
当 Tv Tv 时，称为二阶反对称张量 可以证明，对称张量变换后仍是对称张量，即
T' v Tv'
反对称张量变换后仍是反对称张量，即
T' v T' u
三维坐标线性变换具有如下形式：
x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3
1
' x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ' x3 a31 x1 a32 x2 a33 x3
矩阵形式为：
x1' a11 a12 ' x2 a21 a22 ' a a x3 31 32
4. 四维高阶张量 三阶张量 43 64
12
T'v a a avT n 阶张量，4n 个分量。 T'12 n a11 a22 ann T12
n
0 阶张量——标量， 1 阶张量——矢量，
1.
40 1 41 4
四. 四维矢量的微分算符
V avVv
（1）式可写为：
a13 x1 a23 x2 a33 x3
i 1, 2,3
（1）
x aij x j
' i
3
（2）
（3）
xi' aij x j
j 1
(i, j 1,2,3)
爱因斯坦约定
2
aij为变换常数。
由于坐标轴转动使两点之间的距离保持不变，故有
容易验证，变换式（13）满足正交条件 aa I 单位矩阵，四维空间中的线性正交变换
三. 四维张量—物理量按空间变换的性质分类
1. 四维标量——零阶张量(zero order tensor) 在洛仑兹变换下保持不变，在四维空间中没有 取向关系的量称为四维标量或不变量,或为洛仑兹 标量.
S2
时空间隔 固有时，是一标量
x av xv
'
四维形式的正交变换条件
（12）
洛伦兹变换系数
0 a 0 i
(av ) a
0 1 0 0
洛伦兹变换矩阵
0 i 0 0 1 0 0
（13）
6
洛仑兹逆变换
x vt x v2 1 2 c y y
§8.4 闵可夫斯基空间
基本内容：在四维时空的框架下建立相对论的四 维形式，将物理方程改写成满足相对论要 求的协 变性方程,从而开拓新的研究领域
一.闵可夫斯基空间(Minkowski space)
1. 三维空间(three dimensional space) '相对于 转过了某一角度 ( x1 , x2 , x3 ) 系： ' ' ( x1' , x2 , x3 ) ' 系：
四维不变量
2 2 xv
2 1 2 2 2 c t 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x3 x4 是达朗伯算符(d’alembertian)，是一个四维标量 算符。
五. 物理规律的协变性
等式两边的物理量是同阶张量——协变式。 例： 系： A B ' ' 系：A a v Av
x1' ' x2 0 ' 0 x3 x ' i 4 0 1 0 0 0 i x1 0 0 x2 1 0 x3 0 x 4
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（11）
（11）式可表示为：
' B a v Bv
14
' ' 故： A av Av av Bv B
由此可见 ，要判断物理规律是否满足相对性原 理 ，只要看其方程是否是协变的即可。
15