江苏省淮安市六校联盟2021届高三数学第三次学情调查试题 理

江苏省淮安市六校联盟2021届高三数学第三次学情调查试题 理
试卷满分：160分
考试时长：120分钟
注意事项：
1.试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题•第20题）两部 分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在答題卡相应位置上. 1. 已知集合{}
{}12,1,2,3,4A x x B =≤≤=，则A
B = ▲
. 2. 已知复数z,满()2
2z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ . 3. 函数3sin 46y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期是 ▲ .
4. 已知数列{}n a 是等差数列，且515a =,则9S 的值为 ▲ •
5. 已知0(2,F ）是双曲线
22
122
x y m -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ • 6. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x f x x =-，则()()10f f -+的值为 ▲ 7. 若命题“存在2
,40x R ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲. 8.若函数()x x a
f x e
-=
在区间()0,2上有极值，则实数a 的取值范围为 ▲ . 9. 已知等比数列{}n a 的前"项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且83a =，则5a 的值为
▲ .
10. 若()0,0,lg lg lg 2a b a b a b >>+=+，则2 a b +的最小值为 ▲ .
11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的
左顶点为"A ，左焦点为F ,上顶点为B ,若，则椭圆
的离心率是 ▲ .
12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知是圆()()22
:345C x y -+-=上的两个动点，
且2AB =，则OA OB ⋅的取值范围为 ▲ . 13. 已知
.均为锐角，且()sin cos sin α
αββ
+=
，则的最大值是 ▲ .
14. 已知函数()3
,3,x x a
f x x x x a
≥⎧
=⎨
-<⎩'若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，
则实数a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字
说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)
已知向量()sin ,cos 2sin a ααα=-,()1,3b = ⑴若a b ，求的tan α值；
(2)若a b a b +=-，求cos2α的值.
16.(本小題满分14分)
如图.在ABC ∆中，边上的中线AD 长为3,且101cos ,cos 84
B AD
C =∠=. ⑴求sin BA
D ∠的值； (2)求AC 边的长.
17.（本小题满分14分）
如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园， 其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。

经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即
）为
23
π
、半径为
1千米。

为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路分别与射 线OA OB 、交
于M N 、两点，并要求与扇形弧PQ 相切于点S 。

设POS α∠=（单位：弧度），假设所有
公路的宽度均忽略不计.
（1）试将公路的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： （2）试确定α的值，使得公路的长度最小，并
其最小值.
18.（本小题满分16分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =,经过点13,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，,, ,A B C D
为椭圆的四个顶点（如图），直线l 过右顶点A 且垂直于x 轴.
（1）求该椭圆的标准方程； （2）
若P 为l 上一点（x 轴上方），直线,PC PD
分别交椭圆于, E F 两点，且2PCD PEF S S ∆∆=，求点P 的坐标.
19.(本小题满分16分)
已知函数()32ln ,f x ax x x a R =--∈
(1) 若曲线()y f x =在 1x =处的切线方程为) y b =,求 a b +的值：
(2) 在(1)的条件下，求函数零点的个数；
(3) 若不等式()()21f x x a ++≥对任意都成立，求a 的取值范围.
20.对于n N *
∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为型数列”.
(1) 已知数列：2
1,1,m m +是“K 型数列”，求实数m 的取值范围；
(2) 是否存在首项为-1的等差数列{}n a 为“K 型数列”，且其前n 项和n S 满足
()21
2
n S n n n N *<-∈?若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由：
(3) 已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 型数列”，数列1
2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是“K 型数列”，若1
1
n n a b n +=
+，试判断数列{}n b 是否为“K 型数列”.并说明理由.
六校联盟2021届高三年级第三次学情调查
附加试题（12月18日）
试卷满分：40分
考试时长：30分钟
【必做题】第21.22题共两题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.在平面直角坐标系xOy 中，
已知直线32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩’（l 为参数）与曲线
218x t y t ⎧=⎪⎨
⎪=⎩'（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
22.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩(α为参数)，以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
(1) 求圆1C 的普通方程和圆2C 的直角坐标方程; (2) 判断圆1C 与圆2C 的位置关系.
【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. (本小题满分10分)
箱中有4个白球和m 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和.
(1) 若()1
65
P X ==
，求m 的值： (2)当4m =时，求随机变量X 的分布列与数学期望.
24. (本小题满分10分)
甲乙丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1
2
,(),01a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数为ξ.
(1) 求ξ的分布列及数学期望：
(2) 在概率()()0,1,2,3P i i ξ==中，若()1P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围.
六校联盟2021届高三年级第三次学情调查
数学（理科）试题 参考答案
1.{}1,2
2.3
3.
2
π
4.45
5.y x =±
6.-1
7.()2,+∞
8.()1,1- 12.[]8,48 14.3,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
15.
16.
17.
18.
19.
20.
六校联盟2021届高三年级第三次学情调查
附加试题参考答案
21.
22.
23.
24.。