【备考期末】北京市七年级数学上册期末压轴题汇编

【备考期末】北京市七年级数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．如图，O 为直线AB 上的一点，过点O 作射线OC ，∠AOC=30°，将一直角三角板
（∠M=30°），的直角顶点放在O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方，将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）几秒后ON 与OC 重合？
（2）如图2，经过t 秒后，OM 恰好平分∠BOC ，求此时t 的值．
（3）若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画出图并说明理由．
2．如图，在数轴上点A 表示的数是－3，点B 在点A 的右侧，且到点A 的距离是18；点C 在点A 与点B 之间，且到点B 的距离是到点A 距离的2倍．
（1）点B 表示的数是；点C 表示的数是；
（2）若点P 从点A 出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当P 运动到C 点时，点Q 与点B 的距离是多少？
（3）在（2）的条件下，若点P 与点C 之间的距离表示为PC ，点Q 与点B 之间的距离表示为QB ．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB ＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．
3．数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ．
（1）线段AB 的长= ；
（2）如图，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发沿数轴向右运动，点P 的速度是每秒2个单位长度，点Q 的速度是每秒4个单位长度，当BQ ＝2BP 时，点P 对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M 从原点与点P ，Q 同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x 个单位长度（24x <<），若在运动过程中，2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关，求x 的值．
4．已知a 是最大的负整数，b 是15的倒数，c 比a 小1，且a 、b 、c 分别是A 、B 、C 在数轴上对应的数．若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q 同时从点B 出发也沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度．
（1）在数轴上标出点A 、B 、C 的位置；
（2）运动前P 、Q 两点间的距离为 ；运动t 秒后，点P ，点Q 运动的路程分别为 和 ；
（3）求运动几秒后，点P 与点Q 相遇？
（4）在数轴上找一点M ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于11，直接写出所有点M 对应的数．
5．已知：a 是最大的负整数，且a 、b 满足|c-7|+(2a+b)2=0，请回答问题：
（1）请直接写出a 、b 、c 的值：a =_____，b =_____，c =_____；
（2）数a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值（或用这两点所表示的数中较大的数减去较小的数），若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，试计算此时BC-AB 的值；
（3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，则经过t 秒钟时，请问：BC-AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值．
6．阅读绝对值拓展材料：a 表示数a 在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而550=-，即50-表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：()5353+=--表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为a b -． 回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是 ，如果A 、B 两点之间的距离为2，那么x = ． （3）2x +可以理解为数轴上表示x 和 的两点之间的距离．
（4）23x x -+-可以理解为数轴上表示x 的点到表示 和 这两点的距离之
和．21x x ++-可以理解为数轴上表示x 的点到表示 和 这两点的距离之和． （5）23x x -+-最小值是 ，21x x ++-的最小值是 ．
7．如图，点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b 请你利用数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和2-的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示x 和1两点之间的距离为_______，数轴上表示x 和3-两点之间的距离为________．
（3）若x 表示一个实数，且53x -<<，化简35x x -++=________． （4）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为________．
（5）13x x +--的最大值为________．
8．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．
例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．
如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．
（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出
[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？
9．已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足()2
50c a b -++=，请回答问题．
(1)请直接写出a 、b 、c 的值．
a =
b =
c =
(2) a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：1125x x x (请写出化简过程)．
(3)在(1)(2)的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
10．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC ＝30°，将一直角三角板（∠D ＝30°）的直角顶点放在点O 处，一边OE 在射线OA 上，另一边OD 与OC 都在直线
AB 的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OD 恰好平分∠BOC ．
①此时t 的值为 ；（直接填空）
②此时OE 是否平分∠AOC ？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分∠DOE ？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分∠DOB ？请画图并说明理由． 11．已知∠AOB ，过顶点O 作射线OP ，若∠BOP ＝1
2∠AOP ，则称射线OP 为∠AOB 的“好
线”，因此∠AOB 的“好线”有两条，如图1，射线OP 1，OP 2都是∠AOB 的“好线”． （1）已知射线OP 是∠AOB 的“好线”，且∠BOP ＝30°，求∠AOB 的度数．
（2）如图2，O 是直线MN 上的一点，OB ，OA 分别是∠MOP 和∠PON 的平分线，已知∠MOB ＝30°，请通过计算说明射线OP 是∠AOB 的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON ＝120°，∠NOB ＝40°．射线OP 和OA 分别从OM 和OB 同时出发，绕点O 按顺时针方向旋转，OP 的速度为每秒12°，OA 的速度为每秒4°，当射线OP 旋转到ON 上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP 能否成为∠AOB 的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
12．如图1，在平面内，已知点O 在直线AB 上，射线OC 、OE 均在直线AB 的上方，AOC α∠=（030α︒<<︒），2COE α∠=，OD 平分COE ∠，DOF ∠与AOC ∠互余． （1）若:1:5AOE BOE ∠∠=，则α=________°；
（2）当OF 在BOC ∠内部时
①若20α=︒，请在图2中补全图形，求EOF ∠的度数；
②判断射线OF 是否平分BOD ∠，并说明理由；
（3）若4EOF AOC ∠=∠，请直接写出α的值．
13．如图，点O 在直线AB 上，90COD ∠=︒．
（1）如图①，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 上（即OC 与OA 重合），另一边射线OD 在直线AB 上方时，OF 是BOD ∠的平分线，则COF ∠的度数为_______．
（2）在图①的基础上，将COD ∠绕着点O 顺时针方向旋转（旋转角度小于360︒），OE 是AOC ∠的平分线，OF 是BOD ∠的平分线，试探究EOF ∠的大小．
①如图②，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的上方时，求EOF ∠的度数． 小红、小英对该问题进行了讨论：
小红：先求出AOC ∠与BOD ∠的和，从而求出EOC ∠与FOD ∠的和，就能求出EOF ∠的度数．
小英：可设AOC ∠为x 度，用含x 的代数式表示EOC ∠、FOD ∠的度数，也能求出EOF ∠的度数．请你根据她们的讨论内容，求出EOF ∠的度数．
②如图③，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 的上方，另一边射线OD 在直线AB 的下方时，小红和小英认为也能求出EOF ∠的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出EOF ∠的度数；若不同意，请说明理由．
③如图④，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的下方时，能否求出EOF ∠的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出EOF ∠的度数．
14．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O ，
90AOB ∠=︒，30COD ∠=︒
（1）如图1，将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动，当OB 恰好平分COD ∠时，求AOC ∠的度数；
（2）如图2，当三角尺OCD 摆放在AOB ∠内部时，作射线OM 平分AOC ∠，射线ON 平分BOD ∠，如果三角尺OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动，MON ∠的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
15．如图，∠AOB ＝150°，射线OC 从OA 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD 从OB 开始，绕点O 顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC 和OD 同时旋转，设旋转的时间为t 秒（0≤t≤25）．
（1）当t 为何值时，射线OC 与OD 重合；
（2）当t 为何值时，∠COD ＝90°；
（3）试探索：在射线OC 与OD 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC 、OB 与OD 中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t 的取值，若不存在，请说明理由．
16．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线MN 的点O 处重合，三角板AOB 的边OA 落在直线MN 上，三角板COD 绕着顶点O 任意旋转．两块三角板都在直线MN 的上方，作BOD ∠的平分线OP ，且45AOB ∠=︒，60COD ∠=︒．
（1）当点C 在射线ON 上时（如图1），BOP ∠的度数是_______．
（2）现将三角板COD 绕着顶点O 旋转一个角度x ︒（即CON x ∠=︒），请就下列两种情形，分别求出BOP ∠的度数（用含x 的代数式表示）
①当CON ∠为锐角时（如图2）；
②当CON ∠为钝角时（如图3）；
17．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．
（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线．
①如图1，0a =，80b =，则m =______；
②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值； ③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．
（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．
18．已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D ，E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧． （1）若AB ＝15，DE ＝6，线段DE 在线段AB 上移动．
①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；
②点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，AF ＝3AD ，CF ＝3，求AD 的长；
（2）若AB ＝2DE ，线段DE 在直线AB 上移动，且满足关系式AD EC BE +＝32
，求CD BD 的值．
19．综合与探究：射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若12
C A BO O C ∠=∠，则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，60AOB ∠=︒，20AOC CO
D BOD ∠=∠=∠=︒，
则12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线；同时，由于12
BOD AOD ∠=∠，称射线OD 是射线OB 的伴随线．
完成下列任务：
（1）如图2，150AOB ∠=︒，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ︒，若AOB ∠的度数是x ，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含x 的代数式表示）
（2）如图3，如180AOB ∠=︒，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒6︒的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒10︒的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20︒，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；
②当t 为多少秒时，射线OC ，OD ，OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．
20．（概念提出）
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n （n ≥1），则称这个点是另外两点的n 阶伴侣点．如图，O 是点A 、B 的1阶伴侣点；O 是点A 、C 的2阶伴侣点；O 也是点B 、C 的2阶伴侣点．
（初步思考）
（1）如图，C 是点A 、B 的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M 、N 分别表示－1和4，则M 、N 的32
阶伴侣点所表示的数为 ； （深入探索）
（3）若数轴上A 、B 、C 三点表示的数分别为a 、b 、c ，且点C 是点A 、B 的n 阶伴侣点，请直接用含a 、b 、n 的代数式表示c ．
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一、七年级上册数学压轴题
1．（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）根据∠AOC ＝30°、OM 恰好平分∠BOC 知∠BOM ＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t ；
解析：（1）10秒；（2）5秒；（3）70
3
秒．
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；
（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．
【详解】
（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合；
（2）∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝2∠COM＝150°，
∴∠COM＝75°，
∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC−∠CON＝30°−15°＝15°，
解得：t＝15°÷3°＝5秒；
（3）如图
∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，
∴∠COM为1
2
（90°−3t），
∵∠BOM＋∠AON＝90°，
可得：180°−（30°＋6t）＝1
2
（90°−3t），
解得：t＝70
3
秒．
【点睛】
此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
2．（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）算出点P运动到点C的时间即可求解；
（3）分点在点左侧时，点
解析：（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或
113
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点B 表示的数；根据线段的倍分关系可求点C 表示的数； （2）算出点P 运动到点C 的时间即可求解；
（3）分点P 在点C 左侧时，点P 在点C 右侧时两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）点B 表示的数是31815-+=；点C 表示的数是131833-+⨯=．
故答案为：15，3；
（2）当P 运动到C 点时，3[3(3)]42t =--÷=s ，
则，点Q 与点B 的距离是：3232⨯=； （3）假设存在，
当点P 在点C 左侧时，64PC t =-，2QB t =，
4PC QB +=，
6424t t ∴-+=，
解得1t =．
此时点P 表示的数是1；
当点P 在点C 右侧时，46PC t =-，2QB t =，
4PC QB +=，
4624t t ∴-+=， 解得53
t =． 此时点P 表示的数是113
． 综上所述，在运动过程中存在4PC QB +=，此时点P 表示的数为1或
113． 【点睛】
考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
3．（1）36；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数；
（3）首先根据题意得出2M
解析：（1）36；（2）6；（3）83
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数； （3）首先根据题意得出2MP−MQ ，然后根据2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关求解即可．
【详解】
（1）∵多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ，
12,24a b ∴=-=，
()2412241236AB ∴=--=+=；
（2）设运动的时间为ts ，由BQ=2BP 得：
4t=2(36−2t)，
解得：t=9，
因此，点P 所表示的数为：2×9−12=6，
答：点P 所对应的数是6．
（3）由题意得：点P 所表示的数为(−12+2t)，点M 所表示的数为xt ，点Q 所表示的数为(24+4t)，
∴2MP−MQ=2[xt−(−12+2t)]−(24+4t−xt)=3xt−8t=(3x−8)t ，
∵结果与t 无关，
∴3x−8=0，
解得：x=83
． 【点睛】
本题主要考查数轴与一元一次方程的结合，数形结合是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）6，3t ，t ；（3）1.5；（4）3或-3．
【分析】
（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点； （2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度×时间
解析：（1）见解析；（2）6，3t ，t ；（3）1.5；（4）3或-3．
【分析】
（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度×时间进行求解；
（3）根据速度和×时间=路程和，列出方程求解即可；
（4）分当M 在C 点左侧，当M 在线段AC 上，当M 在线段AB 上（不含点A ），当M 在点B 的右侧，四种情况列出方程求解．
【详解】
解：（1）∵a 是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是1
5
的倒数，
∴b=5，
∵c比a小1，
∴c=-2，
如图所示：
（2）运动前P、Q两点之间的距离为5-（-1）=6；
运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为3t和t，
故答案为：6，3t，t；
（3）依题意有3t+t=6，
解得t=1.5．
故运动1.5秒后，点P与点Q相遇；
（4）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于11，①当M在C点左侧，（-1）-x+5-x+（-2）-x=11．
解得x=-3，即M对应的数是-3．
②当M在线段AC上，x-（-2）-1-x+5-x=11，
解得：x=-5（舍）；
③当M在线段AB上（不含点A），x-（-1）+5-x+x-（-2）=11，解得x=3，即M对应的数是3．
④当M在点B的右侧，x-（-1）+x-5+x-（-2）=11，
解得：x=13
3
（舍），
综上所述，点M表示的数是3或-3．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离．
5．（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2
【分析】
（1）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即
解析：（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2【分析】
（1）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得b，c的值；
（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；
（3）先求出BC=3t+5，AB=3t+3，从而得出BC-AB，从而求解．
【详解】
解：（1）∵a 是最大的负整数，
∴a=-1，
∵|c-7|+（2a+b ）2=0，
∴c-7=0，2a+b=0，
∴b=2，c=7．
故答案为：-1，2，7；
（2）BC-AB
=（7-2）-（2+1）
=5-3
=2．
故此时BC-AB 的值是2；
（3）BC-AB 的值不随着时间t 的变化而改变，其值为2．理由如下：
t 秒时，点A 对应的数为-1-t ，点B 对应的数为2t+2，点C 对应的数为5t+7．
∴BC=（5t+7）-（2t+2）=3t+5，AB=（2t+2）-（-1-t ）=3t+3，
∴BC-AB=（3t+5）-（3t+3）=2，
∴BC-AB 的值不随着时间t 的变化而改变，其值为2．
【点睛】
此题考查有理数及整式的混合运算，以及数轴，正确理解AB ，BC 的变化情况是关键． 6．（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝
解析：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；
（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出23x x -+-和21x x ++-的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x 和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x 的点到表示2和3这两点的距离之和， |x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x 的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x 在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x 在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】
本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x 与-2的距离），即可求解．
7．（1）4，3；（2）|x-1|，|x+3|；（3）8；（4）6；（5）4
【分析】
（1）（2）直接代入公式即可；
（3）实质是在点表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；
（4）
解析：（1）4，3；（2）|x-1|，|x+3|；（3）8；（4）6；（5）4
【分析】
（1）（2）直接代入公式即可；
（3）实质是在点表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和； （4）可知x 对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；
（5）分当-1＜x ＜3时，当x≤-1时，当x≥3时，三种情况分别化简，从而求出最大值．
【详解】
解：（1）|6-2|=4，|-2-1|=3，
答案为：4，3；
（2）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x 和1两点之间的距离为|x-1|，
数轴上表示x 和-3两点之间的距离为|x+3|，
故答案为：|x-1|，|x+3|；
（3）x 对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8，
故答案为：8；
（4）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示数x 到1，2，3，4，5的距离之和，
可知：当x 对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6，
故答案为：6；
（5）当-1＜x ＜3时，|x+1|-|x-3|=x+1+x-3=2x-2，
-4＜2x-2＜4，
当x≤-1时，|x+1|-|x-3|=-x-1+x-3=-4，
当x≥3时，|x+1|-|x-3|=x+1-x+3=4， 综上：13x x +--的最大值为4．
【点睛】
此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
8．（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离
解析：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】
解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】
本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
9．（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b
解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】
解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
根据题意得：c-5=0且a+b=0，
∴a=-1，b=1，c=5．
故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（1-x）+2（x+5）
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12；
（3）不变．理由如下：
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
10．（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5秒或69秒时，OC平分
∠DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分∠DOB．画图说明理由见解析．【分析】
（1）①根据题意可直接求解；
②根据题意易得∠C
解析：（1）①3，②是，理由见解析；（2）t ＝5秒或69秒时，OC 平分∠DOE ；理由见解析；（3）经
21011秒时，OC 平分∠DOB ．画图说明理由见解析． 【分析】
（1）①根据题意可直接求解；
②根据题意易得∠COE ＝∠AOE ，问题得证；
（2）根据题意先求出射线OC 绕点O 旋转一周的时间，设经过x 秒时，OC 平分∠DOE ，然后由题意分类列出方程求解即可；
（3）由（2）可得OD 比OC 早与OB 重合，设经过x 秒时，OC 平分∠DOB ，根据题意可列出方程求解．
【详解】
（1）①∵∠AOC ＝30°，∠AOB ＝180°，
∴∠BOC ＝∠AOB ﹣∠AOC ＝150°，
∵OD 平分∠BOC ，
∴∠BOD ＝12BOC ＝75°，
∴t ＝907535
︒-︒=； 故答案为3；
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE ＝15°，
∴∠COE ＝∠AOC ﹣∠AOE ＝15°，
∴∠COE ＝∠AOE ，
即OE 平分∠AOC ．
（2）三角板旋转一周所需的时间为＝
3605
＝72（秒），射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为3608＝45（秒）， 设经过x 秒时，OC 平分∠DOE ，
由题意：①8x ﹣5x ＝45﹣30，
解得：x ＝5，
②8x ﹣5x ＝360﹣30+45，
解得：x ＝125＞45，不合题意，
③∵射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为
3608＝45（秒），45秒后停止运动， ∴OE 旋转345°时，OC 平分∠DOE ，
∴t ＝3455
＝69（秒）， 综上所述，t ＝5秒或69秒时，OC 平分∠DOE ．
（3）如图3中，由题意可知，
OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣
30）÷8＝
3
18
4
（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x﹣（180﹣30）＝1
2
（5x﹣90），
解得：x＝210 11
，
所以经210
11
秒时，OC平分∠DOB．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可．
11．（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒. 【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB 外部时，两种情况分别求值即可
解析：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或15
2
秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t，分两种情况：当OP在OB上方时，当OP在OB下方时，分别列出方程即可求解.
【详解】
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30°
∴∠AOP=2∠BOP=60°
∴当OP在∠AOB内部时，∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2)∵OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线
∴∠AOB =∠BOP +∠AOP =12 (∠MOP +∠NOP )=90︒，∠BOP =∠BOM =30°，
∴∠AOP =90°-30°=60°
∴∠BOP =12∠AOP
∴OP 是∠AOB 的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP =12t ，∠BOA =4t ，
当OP 在OB 上方时，∠BOP =80°-12t ，∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ，
∴()80828012t t -=-
解得：t =5；
当OP 在OB 下方时，∠BOP = 12t -80°， ∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ，
∴()80821280t t -=-，
解得：t =152
综上所述：运动时间为5秒或
152秒. 【点睛】
本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键.
12．（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF 平分 ，理由见解析；（3）或 ．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE ：∠BOE=1：5，再根据
∠AOE=∠AOC+∠COE 即可求解；
解析：（1）10︒；（2）①补全图形见解析；50EOF ∠=︒；②OF 平分 BOD ∠，理由见解析；（3）15α=︒或 22.5︒．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE ：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE 即可求解；
（2）①根据题意即可补全图形；根据∠DOF 与∠AOC 互余，可求出∠DOF ，又因为OD 平分∠COE ，可求得∠DOE ，根据∠EOF=∠DOF-∠DOE 即可求解；②根据∠DOF=90︒-∠AOC ，∠BOF=180-AOC COD DOF ︒∠-∠-∠，即可求证；
（3）分两种情况进行计算：①OF 在∠BOC 内部，根据∠EOF=4∠AOC=4α，OD 平分∠COE ，∠COE=2α，可得∠DOE=∠COD=α，继而可得
∠DOF=∠DOE+∠EOF=α+4α=5α=∠BOF ，根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出α的值；②OF 在∠BOC 外部，根据∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF ，可得到∠AOF=α，又因为∠DOF 与∠AOC 互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，继而可求出α的值．
【详解】
解：（1）∵AB 为直线，
∴∠AOE+∠BOE=180°，。