1621分式的乘除

第十六章 分式
16.2 分式的运算
16.2.1 分式的乘除
Ⅰ．核心知识扫描
1．分式乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．
2．分式除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
3．分式的乘方法则为：分式乘方就是分子、分母分别乘方．
4．分式的乘方、乘、除法的混合运算：首先要注意运算顺序，即先乘方，后乘除．
Ⅱ．知识点全面突破
知识点1：分式乘除法则(重点)
定义：乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母． 除法法则：两个分式相除，○C 将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
上述法则用式子可表示为：
a c ac
b d bd ⋅=；a
c a
d ad
b d b
c bc
÷=⋅=. 其中a 、b 、c 、d 是整式，且b 、c 、d 不为零．
例1：计算：
（1）23
1554xy z
z xy
⋅； （2）23133a a a a +⋅-+． 解：（1）231554xy z z xy ⋅
＝231554xy z z xy ⋅⋅＝2253
54xy z xy z y ⋅⋅＝34y
； （2）
23133a a a a +⋅-+＝3
(3)(3)a a a a +-⋅⋅+＝213a a
-． 点拨：（1）式的分子与分母都是单项式，先用分子的积作为积的分子，分母的积作积的分母，再分别写成分子与分母的公因式与另一个因式的乘积形式，然后约分．（2）式的分子与分母都是多项式，先把各个分式的分子与分母分解因式，再用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，最后约分．
例2：计算：
（1）22
635y xy x -÷；（2）22211
444
a a a a a --÷-+-．
解：（1）原式＝2
2536x xy y -⋅＝22
356xy x
y -⋅＝－252x ；
（2）原式＝
21(2)(2)(2)(1)(1)a a a a a a --+-+-＝2
(2)(1)
a a a +-+．
点拨：（1）除式的分子与分母都是单项式，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘．（2）由于分子、分母都是多项式，我们先将分子、分母因式分解，再把除式的分子、分母颠倒后与被除式相乘．
【易错警示】准确确定分式乘除的符号
例3：计算：22
266
(3)443x x x x x x x
-+-÷+⨯-+-； 解：原式＝
22(3)1(2)(3)
(2)3(3)
x x x x x x --+⨯⨯-+--＝22x -- 点拨：因为分式的分子、分母都是多项式能因式分解，故应先因式分解再进行乘除运算，
○
C 但在因式分解之前分子、分母的多项式须按字母的降幂（或升幂）排列，否则容易搞错符号；另外题目中出现的x ＋3是一个整式，在运算中，需把(x ＋3)看作分母为1的分式，然后再按照乘除法法则进行计算.
知识点2：分式的乘方（重点）
定义：根据乘方的意义和分式乘法的法则，有
2
2
2a a a a a a
b b b b b b ⋅⎛⎫=⋅=
= ⎪⋅⎝⎭；
33
3a a a a a a a a
b b b b b b b b ⋅⋅⎛⎫=⋅⋅=
= ⎪⋅⋅⎝⎭
；
444a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b
⋅⋅⋅⎛⎫=⋅⋅⋅=
= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭；
…
当n 为正整数时，有n n
n
n n n a a a a a a a a
a a
b b b b b b b b
b b
⋅⋅⎛⎫
=⋅⋅
=
= ⎪⋅⋅⎝⎭
个
个
个
， 所以，n
n n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（n 为正整数）．
可得分式的乘方法则为：○
C 分式乘方就是分子、分母分别乘方． 例：计算
（1）2
32x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）42ab c ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）3
xm n ⎛⎫
- ⎪⎝⎭；（4）3
xy x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭． 解：（1）2
32x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝22(3)(2)x y ＝22
94x y ； （2）4
2ab c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝44()(2)ab c ＝44416a b c ；
（3）3
xm n ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝3[(1)()]xm n -⋅＝3
3(1)()xm n -⋅＝333x m n -；
（4）3
xy x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
＝33()()xy x y -＝33
3
()x y x y -． 点拨：（1）、（2）按照法则计算即可；（3）分式的前面带有负号，可看作（－1）与
xm
n
相乘，再由3
(1)1-=-确定结果的符号是负号；（4）将分母中的多项式()x y -看成一个整体．
知识点3：分式的乘、除、乘方混合运算（难点）
对于分式的乘方、乘、除法的混合运算，首先要注意运算顺序，○
C 即先乘方，后乘除；其次要注意正确运用符号法则（奇负偶正），最后还要考虑约分，如果分子、分母是多项式，则应先进行因式分解．
例1： 计算：()23
4a b ab b a ⎛⎫⎛⎫
-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：()23
4
a b ab b a ⎛⎫⎛⎫-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=232341a b b a ab ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2346231
a b a b a b
=
点拨：计算过程中可以用奇负偶正确定符号，避免把符号搞错，最后不要忘记约分
＝2a a b +．当a =－12，b =23
时，原式＝1
2()21223
⨯--+=－6． 点拨：分式乘方与乘除的混合运算，一般情况下先算乘方，再算乘除，并把除法统一改为乘法，以便同时进行约分．利用分式的乘除运算先化简原式，再代入化简后的式子求值．
反思：通分、约分、去分母时，一般都需先分解因式，分解因式是进行分式运算和解分式方程的关键.分解因式熟悉与否，直接影响分式的加减乘除运算及解分式方程的速度和准确性.因此，能够准确而熟练地把多项式分解因式，并且理解掌握通分、约分及去分母的意义和方法，是学好本章知识的必要条件.
Ⅲ．提升点全面突破
提升点1：分式的混合运算
例1： （2010，山东威海市）化简a a b a b -÷⎪⎭
⎫
⎝⎛-2的结果是 （ ）
A ．1--a
B ．1+-a
C ．1+-ab
D ．b ab +-
答案：B
点拨：先把分式的除法转化为乘法，再约分即可，分式的运算在中考题中出现频率很高，主要考查学生代数变形能力．
例2：先化简再求值：
222141
2211
a a a a a a --⋅÷+-+-，其中a 满足20a a -=． 解：原式＝
()()()
()()22211121a a a a a a a +--⋅⋅+⋅-+- ＝()()21a a -+＝2
2a a --．
将2
0a a -=代入上式求得－2．
点拨：分式的求值题一般都要先化简，本题化简后正好是2
2a a --，把2
a a -看成整体即2
0a a -=代入求值
例3：先化简，再求值：42()xy x y ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦×32x xy x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
×410x y ÷5
2x xy y ⎛⎫
⎪-⎝⎭.其中x ＝－2，y ＝4.
解 42()xy x y ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦×32x xy x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
×410x y ÷5
2x xy y ⎛⎫
⎪-⎝⎭ ＝448()x y x y -×()333x x y x -×410x y ×()5
55
y x y x - ＝y
x 3.
当x ＝－2，y ＝4时，原式＝
()3
24
-＝－2.
点拨：先利用分式的乘方和乘除法则对已知分式化简，然后再按代数式求值的方法求解.
提升点2：分式与其他知识的综合运用
例4： （2010，四川凉山州）已知：2
44x x -+与 |1y -| 互为相反数，则式子
()x
y x y y x ⎛⎫
-÷+ ⎪⎝⎭
的值等于 ． 答案：
12
点拨：代数式22
44(2)x x x -+=-，因为2
44x x -+与 |1y -| 互为相反数，所以由
非负数的性质得x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以
211()(21)122x y x y y x -÷+=-÷+=⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭． 例5：已知025862
2
=+--+y x y x ,则2
22
44)(2y
x x y --=_______. 答案：
114
点拨：由025862
2
=+--+y x y x ，可得22(3)(4)0x y -+-=，解得3,4x y ==；
22244)(2y
x x y --＝22()4()()y x x y x y -+-＝2()x y x y --+，将3,4x y ==代入，原式＝1
14．
解：由题意得22()()22()2a b a b a b a b m
a b m m m a b
-++-÷=⋅=-+．
点拨：先用分式分别表示出一班和二班的平均分为222a b a b
m m
-+和
，然后再列出分式除法算式，利用分式的乘除法同样可以解决生活中的一些问题，注意结果要化成最简化式
或整式．
Ⅳ．综合能力养成
解：A B ，互为相反数正确， 因为：x x B -⋅+=
1211221
A x -==-- 点拨：要判断三个结论哪个正确，只要将三个式子分别计算和化简，然后再进行比较． 例2．（2010，改编，探究题）光明中学有一块边长为x m 的正方形空地,现设想按图1,图2两种方式去种植草皮:如图1,在正方形空地上留两条宽为2m m 的小路;如图2,在正方形空地四周各留一块边长为m m 的小正方形空地植树.学校准备用5000元购进草皮.
(1) 试写出按图1,图2两种方式种植草皮的单价. (2) 试化简图1,图2两种草皮价格之比.
图1 图2
分析：根据所给的正方形空地的规划方式,求出它们阴影部分的面积的表达式,再用5000元去除以它们,即可得到第(1)问的解;在第(1)问题两种草皮单价表达式出来之后,求其比即是用两个分式相除,注意因式分解后再化简即可.
解：(1)按题中图1,图2两种方式种植草皮的单价分别为每平方米
2
5000
(2)x m -元, 每平方
米
5000
(2)(2)
x m x m +-元.
(2)由题意,得
25000(2)x m -÷5000(2)(2)x m x m +-=25000(2)(2)2(2)50002x m x m x m
x m x m
+-+⋅=--.
点拨：本题主要体现了数形结合思想,考查了分式的构建,分式乘除运算、化简等知识点。

Ⅴ．分层实战训练
A 组．基础训练
1．（2010，苏州）化简
211
a a a a
--÷的结果是 （ ）（知识点1） A ．
1a B ．a C ．a －1 D ．1
1
a -
2． 计算3
2232b a ⎛⎫
⎪⎝⎭的结果是（ ）（知识点2）
A ． 9
2
92b a
B ．9
2
272b a
C ．9
296b a
D ．9
2
278b a
3． 计算22
()a b a b a b
--÷+的结果正确的是（ ）（知识点1）
A ．1
B ．
1a b - C ．1a b + D ．a b a b
-+ 4．当x ＝1时，计算2263
356
x x x x x x ---÷--+的结果为（ ）（知识点1）
A ．－4
B ．－3
C ．3
D ．4
5．在下列各式中：①22)2(b a mn -； ②25248bm an b a n m ⋅-；③ 2
2
22⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-a nb ab m ； ④m a ab mn 3
2
22÷，相等的两个式子是（ ）（知识点1、2） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④
6．（2010，山东滨州)化简:2221211
a a a
a a a --÷
+++= . （知识点1） 7．（2010，湖北襄樊）计算：22164
81628a a a a a --÷+++=____________．（知识点1）
8． 计算：2
3
231344x y xy y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭＝_____________. （知识点1、2）
9．计算：（知识点1、2）
（1）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷x y y x 34634
2
； （2）2226926
93x x x x x x -+-÷-+
10．（2010，重庆綦江县）先化简，再求值：211
x x x
x x -÷
++，其中x
1．（知识点1、2）
B 组．培优训练
1．若代数式
32
34
x x x x ++÷--有意义，则（ ）（提升点1） A ．x ≠3，x ≠4
B ．x ≠3，x ≠4，x ≠－2
C ．x ≠±3，x ≠4
D ．x ≠±3，x ≠4，x ≠－2
A ．2x y
B ．－2
x y
C ．x y
D ．－x y
3．下列各式中，运算结果等于
a b
ab
+的是（ ）（提升点1） A ．22ab a b a b ab -⨯+ B ．22
()a b a b ab -÷+ C ．222
21()a ab b a ab ab a -+-÷ D ．
22
()a b a b b a
-÷-÷ 4．化简2
2
32x y xz yz z y x ⎛⎫⎛⎫
⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
等于( ) （提升点1）
A ．23
2y z x
B ．33x y z
C ．44xy z
D ．5y z
5．d
d c c b b a 1
112
⋅÷⋅÷⋅
÷＝_______. （提升点1） ○
C 6．已知2
2
2450x y x y +-++=，求2
44222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫
--+⋅÷ ⎪-++⎝⎭
的值．
（提升点1、2，图文信息题）
第十六章 分式 16.2 分式的运算
16.2.1 分式的乘除
A 组．基础训练
1．B ，点拨：本题属于基础题，考查分式的乘除运算.
2．D ，点拨：3
2232b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝2323(3)(2)b a ＝9
2
278b a ． 3．A ，点拨：22()a b a b a b --÷+＝()()()
a b
a b a b a b +-⋅+-＝1．
4．B ，点拨：2263356
x x x x x x ---÷--+＝(3)(2)(2)(3)33x x x x x x -+--⋅--＝2
4x -，将x
＝1代入后的结果为－3.
5．B ，点拨：22)2(b a mn -＝22424m n a b ，2
222⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-a nb ab m ＝22
424m n a b 6．
1
a
，点拨：考查分式的化简,应先把分子、分母因式分解,然后约分,原式2(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a +-+⋅
+-＝1a
．
7．－2，点拨：分式的除法，通常转化为分式的乘法运算，把分子分母分别分解因式，进行约分化简，原式=
2
(4)(4)2(4)
2(4)4
a a a a a -+-+⋅=-+-． 8．
23
4x
，点拨：根据分式混合运算的顺序 9．（1）y x 329-；（2）2x -；（3）y
x xy
x +-22；（4）21a a --；
10．解：原式＝
()2111
111x x x x x x x x x x x
--++⨯=⨯=-++ 把x
1
点拨：分式是每年中考必考考点，这是一道典型的分式化简求值问题，问题直指分式的四则运算、因式分解，针对性很强．
B 组．培优训练
1．B ，点拨：要使得代数式有意义，则分母不为0，除数不等于0，因此在本题中30
2040x x x -≠⎧⎪
+≠⎨⎪-≠⎩
．
3．B ，点拨：22
()a b a b ab
-÷+＝()()1a b a b ab a b +-⋅+＝a b ab +．
4． B ，点拨：2
2
32x y xz yz z y x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭＝622224x y xz y z z y x ⋅⋅＝33
x y z
5．2222
d
c b a ，点拨:根据分式混合运算顺序，先把除法改为乘法再做乘法
易错警示：111
b c d b c d
⋅⋅⋅
，，不能先做乘法 6．解：∵222450x y x y +-++=，∴22(1)(2)0x y -++= 解之得：x ＝1，y ＝－2， 当x ＝1，y ＝－2时，
原式＝222
2222
()()()()()()x y x y x y x y y x y y x y x y ++--⋅⋅-++
＝
22y x y +＝－25
点拨：一般的求值题要先化简再求值，简化计算。