专题27 含参不等式恒成立问题(原卷版)-2021年高考数学导数中必考知识专练

专题27：含参不等式恒成立问题（原卷版）
三个两次之间的关系
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数
),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩
⎨⎧<∆>⇔00
a ;
2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0
⎩⎨⎧<∆<⇔a
例1：若不等式02)1()1(2
>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔
例2、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔
2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔ 例3、已知(],1x ∈-∞时，不等式(
)2
124
0x
x
a a
++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例4．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2
>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2
>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。

我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；
2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例5．设x x x f 4)(2--=
, a x x g -+=
13
4
)(, 若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.
含参不等式恒成立问题针对练习
1．已知当23x ≤≤时，不等式2290x x a -+<恒成立，求a 的取值范围．
2．设二次函数
2()1=++f x x ax ，
（1）已知对于任意的实数x ，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若对于任意的[1,2]x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
3．已知关于x 的不等式210ax x a -+-≤. （1）当a R ∈时，解关于x 的不等式；
（2）当[]2,3x ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求a 的取值范围.
4．已知函数()()()2
24f x x a x a R =-++∈．
（1）若对任意的(),0x R f x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若对任意的(](),1,10x f x a ∈-∞++≥恒成立，求实数a 的取值范围．
5．设函数2()2f x mx mx =--
（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于任意[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对于任意[]1,3m ∈，()5f x m >-+恒成立，求实数x 的取值范围.
6．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-.
（1）求不等式2210ax x --≥的解集；
（2）若关于x 的不等式260ax x b ++≤在[]0,2上恒成立，求实数b 的取值范围.
7．已知二次函数2()(f x ax bx c a =++，b 为常数，且0)a ≠满足条件：(2)()4f x f x x +-=-，且方程()6f x x =有两个相等的实根． （1）求()f x 的解析式；
（2）若对于任意的[]
2,4x ∈，()20f x mx ->恒成立，求实数m 的范围．
8．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈. （1）求不等式()0f x <的解集；
（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.
9．已知()()2
224f x x a x =+-+.
（1）如果x R ∀∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果()1,3x ∃∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围.
10．若()f x 为二次函数，1-和3是方程()40f x x --=的两根，()01f =. （1）求()f x 的解析式；
（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.。