天津市静海县第一中学高三数学下学期开学考试(寒假作

静海一中2015-2016第一学期高三数学（理）
寒假作业检测试卷
生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（135分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共150分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

知 识 技 能
学习能力 习惯养成 总分
内容 函数
数
列 三
角
立体几何
解析几何
转化化归推理证明
卷面整洁
分数 50
20
20
20
40
10
3-5分 一、选择题（每小题5分，共40分）
1.已知复数1z i =-，则2
1
z z =- （ ）
A. 2
B. －2
C. 2i
D. －2i
2.设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x
B ,03, 则A ∩B= （ ） A ．]2,3(-- B ．]25,0[]2,3(⋃--
C ．),25[]3,(+∞⋃--∞
D ．),25
[)3,(+∞⋃--∞ 3. 在5)(x
a x +
二项展开式中,第4项的系数为80,则a 的值为 （ ）
A ．-2
B ． -2或2
C ．2
D ．22-或22
4.如图，是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为
（ ） A.1321
B.
2113 C. 813 D. 138
5.已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线22
21,(0)x y a a
-=>交于,A B 两点，点F 为抛物
线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( ) A 36 C ．2 D ．3 6．下列说法错误．．
的是( ) A ．命题“若1,0232
==+-x x x 则”的逆否命题为：“若1x ≠则2
320x x -+≠”
B ．命题"01,:"2
<++∈∃x x R x p 使得，则"01,:"2
≥++∈∀⌝x x R x p 均有
C ．若“q p 且” 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题
D ．若0,a a b a c ≠⋅=⋅r r r r r r 则“”是“c b =”的充要条件
7.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的最小正周期是π，若其图象向右平移
6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （ ）
A ．关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．关于直线12
x π
=
对称
C ．关于点)0,6
(
π
对称
D ．关于直线6
π
=
x 对称
8．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，
2|x-1.5|
-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)
x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1
()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围 （ ）
A ．(-∞，-2]U (0，l]
B ．[-2，0) U [l ，+∞)
C ．[-2，l]
D ．[-2，0)U (0，l) 二、填空题（共30分）
9. 若关于x 的方程
2||
4
x kx x =+有四个不同的实数解, 则k 的取值范围为_____________.
10.如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均
为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则 该几何体的体积为____________.
11.在△ABC 中，边 AC=13，AB=5，cosA=
65
13
，过A 作P BC AP 于⊥，AC AB AP μλ+=，则________=λμ.
12. （1） 设0,0x y >>，若2是x 2与y
4的等比中项，则2
2
2y x +的最小值为 .
（2）1,0,=+>n m n m ,求1
22
2+++n n m m 的最小值 . （3）设,0,2>=+b b a 则
b
a a |
|||21+的最小值 .. (4) 根据以上小题的解答，总结说明含条件等式的求最值问题的解决策略（写出两个）①_________________________ ②______________________
三、解答题（本大题共5题，共65分） 13.( 12分）
已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x b x x a ==设函数23
()||.2
f x a b b =⋅++r r r
（1）当[,]62
x ππ∈,求函数)(x f 的值域； （2）当[
,]62x ππ
∈时，若)(x f =8, 求函数()12
f x π
-的值. 14.( 13分）
设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F , 离心率为3
3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的
线段长为
43
3
. (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.
15.( 13分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//BC AD ，CD ⊥平面PAD ，点,O E 分别是,AD PC 的中点，已知PA PD =，222PO AD BC CD ====. （1）求证：AB DE ⊥；
（2）求二面角A PC O --的余弦值；
（3）点F 为PC 上一点，若直线DF 与平面POC 所成角的正弦值为24
，求DF 的长．
16.( 13分）
已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b
x a y ，其下焦点1F 与抛物线y x 42
-=的焦点重合，离心率
2
2
=
e ，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点， （1）求椭圆的方程；
（2）求过点O 、1F （其中O 为坐标原点），且与直线c
a y 2
-=（其中c 为椭圆半焦距）相切的圆的方程；
（3）求22F A F B ⋅u u u u r u u u u r =4
5
时，直线l 的方程，并求当斜率大于0时的直线l 被（2）中的圆（圆心在第四象限）
所截得的弦长.
17.( 14分）
已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220,()n n x x b n N *
-+=∈的两根，且11a =
（1）求证：数列123
n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩
⎭
是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）若0n n b mS ->对任意的n N *
∈都成立，求m 的取值范围.
（4）数列中不等式恒成立问题，一般要转化为最值问题。

试写出解决数列最值问题的策略（写出两个）.
第Ⅱ卷 提高题（共15分）
18.( 15分）
已知函数()x x f =，函数()()x x f x g sin +=λ是区间[-1，1]上的减函数。

（1）求λ的最大值；
（2）若()12
++<t t x g λ在[]1,1-∈x 上恒成立，求t 的取值范围；
（3）讨论关于x 的方程()
m ex x x f x
+-=2ln 2的根的个数.
静海一中2015-2016第一学期高三数学（理）
寒假作业检测试卷答题纸
得分框
知识与技能
学法题
卷面
总分
第Ⅰ卷基础题（共138分）
一、选择题（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
二、填空题（共30分）
9._______ 10._________ 11. _ ___ 12.(1)_________(2)________(3)________
(4)①__________________________ ②_________________________ 三、解答题（本大题共5题，共65分）
13. （12分）
14.（13分）
15.（13分）
16.（13分）
17.(14 分)
第Ⅱ卷 提高题（共15分）
18. （15分）
数学（理）答案 一、选择题
ADCD BDBA 二、填空题
9. 4 10.____ 1(,)4
+∞ 112+π 12．21≤≤m 13.
4
1 14.92
三、解答题
15.
解：（1）2
3
sin cos 4cos 2cos sin 3523||)(2222
++++=+
+⋅=x x x x x x f
2
522cos 152sin 32525cos 5cos sin 352++⋅+=+
+=x x x x x 5)6
2sin(5++
=π
x 由
26π
π
≤
≤x ，得
67622ππ
π≤
+
≤x ，1)6
2sin(21≤+≤-∴π
x
2
6π
π≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为]10,25[
(2)3()5sin(2)58,sin(2)665f x x x ππ=++=+=则,67622,26
π
ππππ≤+≤≤≤x x 得；
所以4
cos(2),65
x π+=-
()12
f x π
-
=5sin 255sin(2)57.66x x π
π=+=+
-+=+
17.（本小题满分13分）
（I ）因为CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD ，又PA PD =，O 是AD 的中点，则PO AD ⊥，且平面ABCD PAFD AD ⋂=平面，所以PO ⊥平面ABCD ……………2分
P
A
B O
E
D
C
x y
z
如图，以O 为原点，以,,OB OD OP u u u r u u u r u u u r
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
(0,1,0)A -(1,0,0)B (1,1,0)C (0,1,0)D 11
(,,1)22
E (0,0,2)P ，
(1,1,0)AB =u u u r 11
(,,1)22
DE =-u u u r ，0AB DE ⋅=u u u r u u u r ，所以AC DE ⊥……………4分
（Ⅱ）(1,2,0)AC =u u u r ，(1,1,2)PC =-u u u r
，
设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =m ，
则02020
0AC x y x y z PC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩u u u r u u u r m m 令2x =，得1
(2,1,)2
=-m .……………6分
又0BD PO ⋅=u u u r u u u r ，0BD OC ⋅=u u u r u u u r
，
所以平面POC 的法向量(1,1,0)BD =-u u u r
，……………8分
cos ,||||
BD BD BD ⋅=
=u u u r
u u u r u u u r m m m 42
7-，所以二面角O PC A --的余弦值为42
7
.……………10分 （III ）设,OC BD 交于点G ，则2
2
DG =，且DG ⊥平面POC ，则直线DF 与平面POC 所成角即为DFG ∠，……………12分
若2
sin 4
DG DFG DF ∠=
=，故2DF =．……………13分 注：若采用传统方法，可相应给分
18.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b
x a y ，其下焦点1F 与抛物线y x 42
-=的焦点重合，离心率
2
2
=
e ，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点， （Ⅰ）求椭圆的方程；
（II ）求过点O 、1F （其中O 为坐标原点），且与直线c
a y 2
-=（其中c 为椭圆半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求22F A F B ⋅u u u u r u u u u r =4
5
时直线l 的方程，并求当斜率大于0时的直线l 被（I I ）中的圆（圆心在第四象限）
所截得的弦长.
18．（Ⅰ）由抛物线方程得)1,0(1-F …………1分 设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b x a y ，22
==a c e
解得,12=b 22=a ，所以椭圆方程为1222
=+x y …………4分
（II ）∵1,1,2===c b a ，∴22
-=-c a
∵圆过点Ｏ（０，０），)1,0(1-F ，∴ 圆心Ｍ在直线21
-=y 上，设)21
,(-t M …5分
依题意圆Ｍ半径|)2(21
|---=r ＝23
，…………6分
故r OM =，即23412=+t ，∴22
=t 解得2±=t …………7分
∴圆的方程为()49
2122
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++±y x …………8分
（Ⅲ）)1,0(1-F ，)1,0(2F 由题意可知直线斜率一定存在，令直线ＡＢ方程为1-=kx y
⎩⎨⎧=+-=22122x y kx y 得012)2(22=--+kx x k 令),(),,(2211y x B y x A ,21
,22221221+-=+=+k x x k k
x x …………9分
)1,(),1,(222112-=-=y x B F y x A F
4)(2)1()1)(1(21212212122++-+=--+=⋅x x k x x k y y x x B F A F ＝45
274242)
1(2222
22=+-=++-+++-k k k k k k
解得2±=k ，…………10分
此时直线012012:=++=--y x y x l 或…………11分
当0>k 时，直线012:=--y x l
圆心在第四象限圆Ｍ49
)21()2(22=++-y x
圆心M 到直线l 的距离23
=d …………12分
∴截得的弦长为6222=-d r …………13分
19.已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220,()n n x x b n N *
-+=∈的两根，且11a =
（1）求证：数列123n n a ⎧⎫
-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）若0n n b mS ->对任意的n N *
∈都成立，求m 的取值范围。

19．解：
（1）∵a n +a n+1=2n )231
(23111n n n n a a ⋅--=⋅-∴++
12312
311
1-=⋅-⋅-++n n n n a a 是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⋅-∴n n a 2
31
等比数列
])1(2[311,31
321n n
n a q a --=∴-==-∴
（2）S n =a 1+a 2+……+a n 2211
1
1
[(222)((1)(1)(1))]
312(12)(1)(1(1))
[]
3121111(1)[22]3222
3321
33n n n n
n
n n n n n +++=+++--+-++-----=--+-+-=--⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩L L 偶
奇
（3）b n =a n ·a n+1
]1)2(2[91
]
)1(2][)1(2[91
121
1>----=----=+++n n n n n n n n n s m b b Θ
21111(
1)1
[2(2)1][22]0932n n n n m ++--∴----⋅-->
∴当n 为奇数时
奇数都成立
对∈∀+<∴>---+++n n n n n m m
)12(31
)12(3]122[91
112
∴m<1
当n 为偶数时
2
3
)12(610
)12(32]122[91
)22(3]122[91
112112<∴∈∀+<>---->----++++m m m
m
n n n n n n n n 偶数都成立
对
综上所述，m 的取值范围为m<1
20.已知函数()x x f =，函数()()x x f x g sin +=λ是区间[-1，1]上的减函数。

（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若()12++<t t x g λ在[]1,1-∈x 上恒成立，求t 的取值范围；
()()()()()1
-1,00,1-cos -cos 0cos sin 1'≤∴-=≤≤+=∴+=λλλλ单调递增
单调递减，在在即x y x x x g x
x x g Θ
恒成立在而上恒成立）上单调递减在（令1,01sin t -0
11sin )1(0
1)1(,11sin )1()()1(011sin )1(1
sin 11
sin )(1,1-)(0cos )(,sin )(1
sin )2(22222max 2-≤>+⎩⎨⎧>++++-≤+-≤++++=-≤>++++-->++--=∴≤+='+=++<+t t t t t t t f t t t t x g x g x x g x x x g t t x x λλλλλλλλλλλλ
两解
时，即当一解
时，即当无解
时，即当单调递减
在单调递增在由题可知：e e m e e m e e m e e m e e m e e m e m e m e x m ex x x f e
e f x f e e o x x x
x f x x
x f m
ex x x x
1
1
1
11
1
)(,2)(1
)()(),(,),(),0(ln 1)(,ln )(2ln )3(2222222222max 22+<<-+==-+>>--≤-+-+-===+∞>-='=+-=。