微波技术电场强度与电位函数共27页

电 荷 集
z (x, y, z)
源 点S
R r r
场 点(x, y, z)
P
中 在
r
r
一
点
O
y
x 图2 - 2 场点与源点
第2章 静电场分析
F qR
Elim
q qt 0 t 4 0R3
（ V/m ）
R的大小和方向
重
点
R a x ( x x ') a y ( y y ') a z ( z z ')
第2章 静电场分析
第2章 静电场分析
2.1 电场强度与电位函数 2.2 静电场的基本方程 2.3 电介质的极化与介质中的场方程 2.4 导体的电容 2.5 静电场的边界条件 2.6 恒定电场
第2章 静电场分析
导论：静电场（Static Electric Field)和恒定电场
静电场 定义：静态场，即对于观察者静止且量值不随时间
第2章 静电场分析
当r>a时，
S 2 πdr a1a 2R d R S 4 π a 2Q 4 π0ε 0 r－ aRar 4 π0 rε 4 π0 rε
当r<a时，
S
2 π
a r
d
1a 2Rd R
S
4 π aQ
4 π0ε 0 a － r Rar 4 π0ε 4 π0 a ε
R
R ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2
第2章 静电场分析
n个点电荷，场点的电场等于：
Hale Waihona Puke nE E 1E 2 E n
i 1
q iR i 40R i3
第2章 静电场分析
⑵ 分布电荷的电场强度
①电荷分布
线电荷密度：
l
lim q l0 l
面电荷密度：
S
lim S0
s
ind l ( 4πε0
c
o1－ s c
os2)
E
l 4πε0
2 1
c
osd l ( 4πε0
s
in1－s in2)
第2章 静电场分析
如果直线无限长，则θ1=0，θ2=π，此时Ez=0， 线密度为ρl的无限长直线电荷的电场强度为
E
l， 2πε0
即
ρl
E a ρ
ρ
2πε ρ 0
(2-1-10)
dS
a
a
O
图2 - 6 孤立带电导体球的场
第2章 静电场分析
解 因而它在空间产生的电位也是球对称的。为了方便，
我们将场点选在z轴上。电荷面密度 元dS′，
S
Q ， 在球面上取面 4πa2
坐标为S(a, θ′, φ′)，它在场点P(r, 0, φ)产生的电
位 d S dS ， 此时整个导体球所产生的电位为
E 410V VR(3r)R dV
重 点
应用：运用矢量积分公式，已知电荷分布时，可求其电 场强度。
第2章 静电场分析
【例2-1】 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如 图2-4所示， 求线外一点的电场强度。
z
2
l
dz R
2
z
dEz
dE
dE P ( , , z)
O
y
l
2
1
图2 - 4 有限长直线电荷的电场
q S
体电荷密度：
V
limq V0 V
电荷连续分布
第2章 静电场分析
②电场强度
微小体积元dV′ 点电荷
dqV(r)dV'
R dV V
r
dE 4d 0q R R 34 V (r0 )R R 3dV
O
P (r) r
图2 - 3 体电荷产生的场
第2章 静电场分析
体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为：
变化的电荷产生的电场。 电荷分布：以某种形式在空间中分布
恒定电场： 定义：恒定电流周围存在的场 匀速运动电荷分布：以某种形式在空间分布
第2章 静电场分析
2.1 电场强度与电位函数
1、库仑定律 (Coulom’s Law)
1785年，库仑发明扭秤，用它来测量静电力， 推导出
库仑定律。
F12
F 12a R4q1q 0R 224q1q0R 23R
第2章 静电场分析
由图2-4知，R=ρcscθ，z′=z－ρ cotθ, 而dz′=ρcsc2θdθ，因此 有
dE
1 lcs2cdsin 1 l sind
4πε0 2cs2c
4πε0
dE
1 lcs2cdcos 1 l cosd
4πε0 2cs2c
4πε0
将上两式积分得
E
l 4πε0
2 1
体电荷
得 到 ： 410v
v(r)dV
R
注：①电位函数证明了静电场是无旋场；
②参考点的选择原则：表达式简捷、有意义； ③电位通过梯度运算求得电场强度，更简单
第2章 静电场分析
【例2-2】 真空中一个带电导体球， 半径为a， 所带电量为Q， 试计算球内外的电位与电场强度。
z P
R S ( a , , ) r
由无限长线电荷产生的电场是以线电荷为轴沿径向发散分 布的， 这如图2-5所示
第2章 静电场分析
解题过程：
① 作图分析，选择合适的坐标系 ② 写出三个方向的分量 ③ 找出变量，根据电场强度的表达式进行积分运算
第2章 静电场分析
3、电位函数(Electric Potential Function) 定义：在静电场中， 某点P处的电位定义为把单位正电荷从P
4πε0R
S
1 dS
4πε0 S R
S
π π 1 a2sindd
4πε0 0 0 R
第2章 静电场分析
其中， R2=r2+a2－2arcosθ′
上式两边微分得
sind R dR
ar
第2章 静电场分析
其电场强度：
E－ar
Q ，r＞a 4πε0r2
0,ra
上述结果表明，总带电量为Q的导体球产生的电位和电场与集 中在球心处的电荷为Q的点电荷所产生的电位和电场相同， 在r=a处电位是连续的，导体是一等电位体，它的表面是等位 面； 电场在r=a处有一跃变，这是由于球面上存在面电荷的缘 故，导体球的内部电场为零，而在导体的表面上只有电场的 法向分量，切向分量等于零。这是在静电平衡状态下导体普
q2 R
q1
(aRR R,036 1109F/m )图2 - 1 两个点电荷的相互作用
电荷在其周围产生电场，电场对放入其中的电荷有力的作用
第2章 静电场分析
2、电场强度 (Electric Field Intensity)
⑴ 点电荷
ElimF qR （ V/m ） q qt 0 t 4 0R 3
点移到参考点Q的过程中静电力所作的功(W)
表达式：
limW
Q
Edl
q qt0 t
P
Q∞
Edl
P
F qR
Elim q qt0 t
40R3
点 电 荷
q 40
R1 (
0)
第2章 静电场分析
q
40
1 R
(
0
)
E
E
q
40
1 R
（R1）aR
1 R2
重 点
1
E40
V
V(r)R 1dV
积分号和微分号互换