河南省许昌高级中学2019-2020学年高二上学期尖子生期初考试 数学(理)试题

2021届高二尖子生上学期期初考试
数学试题（理科）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题
1.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3
2.在△ABC 中,若sinA>sinB,则A 与B 的大小关系为( ) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B 的大小关系不能确定
3.已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( ) A.
B.
C.
D.
4.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，桌面所在的平面一定存在直线与笔所在直线（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
5.已知某等差数列共有20项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A.1 B.
C.2
D.
6.设{a n }是由正数组成的等比数列，且a 5a 6＝81，那么log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值是（ ）.
A.30
B.20
C.10
D.5 7.下列推理错误的是（ ） A. 11
0a b a b
<<⇒
> B.,a b c d a c b d ><⇒->- C.0,0a b c d ac bd >><<⇒< D. 22a b ac bc >⇒>
8.已知非零向量(,0)a t =，(1,3)b =-，若4a b =-，则2a b +与b 的夹角为（ ）
A ．
3π B.2π C.6
π
D.23π
9.在ABC ∆中，2
cos 22A b c
c
+=
，则ABC ∆的形状为（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
220(,2)(4,),(),.(5)(2)(1).(2)(5)(1).(1)(2)(5).(2)(1)(5)
ax bx c f x ax bx c A f f f B f f f C f f f D f f f ++>-∞-⋃+∞=++<<-<<--<<<-<10.若的解集为则对于函数有
（ ）
11.如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( ) A.
海里/时 B.
海里/时 C.
海里/时 D.
海里/时
[)2
1(),,22()111.,2,.,,3341119.,,.,,4934f x x ax b a x f x x b A B C D ⎡⎤=++∈⎢⎥
⎣⎦
≥⎛⎤⎛⎤⎡⎫
-∞-⋃+∞-∞-⋃+∞ ⎪
⎥⎥⎢⎝⎦⎝⎦⎣⎭⎛⎤⎡⎫⎛⎤⎡⎫
-∞⋃+∞-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪
⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎭⎝⎦⎣⎭
12.设二次函数若对任意的实数，都存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
二、填空题（20分）
13.01,01,(,)x y f x y <<<<=已知则二元函数
14.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A ＝a cos C
.
若a ＝3，则△ABC 周长的最大值为 ．
15.已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________.
{}{}1(1)21,80n n n n n a a a n a ++-=-16.已知数列满足则的前项和为_____________.
三解答题（70分）
17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积S .
18.（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米,池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x 米. (1)求底面积并用含x 的表达式表示池壁面积S ; (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
19．（12分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10， b 2b 4＝a 5.
(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
20.（12分）某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：
利用散点图，可知x y ，线性相关。

（1）求出y 关于x 的线性回归方程，若4月6日星夜温差5C ︒，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；
（2）若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两
天数据的概率.
1
2
21
)
n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-=
=--∑∑(参考公式：，
21.（12分）已知集合]2,2
1[=P ，函数)22(log 2
2+-=x ax y 的定义域为Q ，
（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围；
（2）若方程2)22(log 2
2=+-x ax 在]2,2
1[内有解，求实数a 的取值范围.
{}{}1131212
11
22.,.
44(1)2(1),21
3
(2)4
n n n n n n n n a a a a b b a a
a a n a a a ++==-=
-++
+
<+（12分）已知数列满足设求证：数列是等差数列；
求证：
参考答案
一、选择题（每题5分共60分）CAADBBDADDAD 二、填空题 （每题5分，共20分） 13.22. 14.9 15.5
6
2<
≤-a 16.3240 三、解答题（17题10分，18-22每题12分共计70分）
17.解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0，
由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，
所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝
⎛⎭
⎫
－
22，解得c ＝－42(舍去)或c ＝22， 所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22×2
2＝2.
18.解:(1)设水池的底面积为S 1,池壁面积为S , 则有S 1==1 600(平方米),则池底长方形宽为
米,
所以S =6x +6×
=6(x +
)(x >0).
(2)设总造价为y ,则y =150×1 600+120×6 (x +)≥240 000+57 600=297 600,当且仅当
x =
,即x =40时取等号,
即x =40时,总造价最低为297 600元.（文科用对勾函数求最小值相应给分）
19解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10.解得d ＝2.所以a n ＝2n －1.
(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9.解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q
2n －2
＝3
n －1
.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3
n －1
＝3n －1
2
.
20.【答案】（1）6425y x =-
+；36y =；（2）35
【详解】 （1）
()191011812105x =++++=，()1
3830244117305
y =++++=，51500xy =．
5
1
9381030112484112171438i i
i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
91011812510i i x ==++++=∑，25500x =．
由公式，求得1221 1438150065005ˆ150
n
i i i n i i x y n x y b x nx ==-⋅⋅-===---∑∑，630ˆ10425a y bx =-=+⨯=． 所以y 关于x 的线性回归方程为6
425
y x =-
+,当5x =，36y = （2）设五组数据为1,2,3,4,5则所有取值情况有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件总数为10．
设“这两组恰好是不相邻两天数据”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（13），（14），（15），（24），（25），（35）所以P （A ）63105=
=，故事件A 的概率为35
． 21..解：（1）若φ≠⋂Q P ，则在]2,2
1
[∈x 内，至少有一个值x 使得0222>+-x ax 成立，
即在]2,21[∈x 内，至少有一个值x 使得x x a 2
22
+->成立，--------- --------2分 设21)211(2222+--=+-=x x x
μ，当]2,21[∈x 时，]21
,4[-∈μ-------------4分
4->∴a
所以实数a 的取值范围是：}4|{->a a --------------------------------6分（2）方程
2)22(log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，则0222=--x ax 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21内有解.
即在]2,21[∈x 内有值x 使得x x a 2
22+=成立，------------------------8分
21)211(22222-+=+=x x x μ
当]2,21[∈x 时，]12,23[∈μ，]12,2
3
[∈∴a --------------------10分
所以实数a 的取值范围为：]12,2
3
[∈a ------------------------12分
22题。