2019版高考数学复习平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程学案文

8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[知识梳理] 1．直线的斜率
(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．
(2)斜率公式
给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为 k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 2．直线方程的五种形式
1．概念思辨
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(3)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化
(1)(必修A2P 109A 组T 2)如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B
>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C.
(2)(必修A2P 95T 3)倾斜角为150°，在y 轴上的截距为－3的直线方程为________． 答案 y ＝－
3
3
x －3 解析 由直线的倾斜角为150°，知该直线的斜率为k ＝tan150°＝－3
3
，依据直线的斜截式方程y ＝kx ＋b ，得y ＝－
3
3
x －3. 3．小题热身
(1)(2017·贵州模拟)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4，则直线l 的方程为
( )
A ．3x ＋4y －14＝0
B ．3x －4y ＋14＝0
C ．4x ＋3y －14＝0
D ．4x －3y ＋14＝0
答案 A
解析 由点斜式方程知直线l 的方程为y －5＝－3
4(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0.故选A.
(2)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 答案 D
解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a
，得a ＝－2或a ＝1.故选D.
题型1 直线的倾斜角与斜率
典例 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
数形结合．由斜率公式求得k PA 、k PB .
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1, k BP ＝3－0
0－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
[条件探究] 若将典例中点P (1,0)改为点P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．
解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，
∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.
方法技巧
求直线倾斜角与斜率问题的求解策略
1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，直线倾
斜角的范围是[0，π)，正切函数在[0，π)上并不是单调的．因此在求解过程中要分⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．
2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的斜率，见典例．
冲关针对训练
已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段
PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．
答案 －23≤m ≤1
2
解析
如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝3
2，k PA ＝－2，k l
＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－2
3
≤m <0；
当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.
题型2 直线方程的求法
典例 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是3
5；
(2)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．
根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、
截距式、点斜式．
解 (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝3
5.
∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±3
4.
又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±3
4x －5.
即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0.
(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0， 即l 过点(0,0)和(3,2)．
∴l 的方程为y ＝2
3
x ，即2x －3y ＝0.
若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a
＝1. ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2
a
＝1.
∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.
综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan2α＝
2tan α1－tan 2
α＝－3
4
. 又直线经过点A (－1，－3)，
因此所求直线方程为y ＋3＝－3
4(x ＋1)，
即3x ＋4y ＋15＝0.
方法技巧
给定条件求直线方程的思路
1．在求直线方程时，首先应根据题意选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．
2．求直线方程常用的两种方法：
(1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如典例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论．如典例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．
3．设直线方程的常用技巧
(1)已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b 或y ＝b . (2)已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .
(3)已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)． 冲关针对训练
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
1010
； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝10
10
(0≤α<π)，
从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，
故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4)，
即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.
(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其为k ，
则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.
由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝3
4，
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.
题型3 直线方程的综合应用
角度1 由直线方程求参数问题
典例
(2017·泰安模拟)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2
＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.
l 1，l 2分别化为y －2＝a 2(x －2)，y －2＝－2
a
2(x －2)，l 1，l 2
恒过定点P (2,2)．
答案 1
2
解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形OMPN 的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2
－a ＋4＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a －122
＋154，当a ＝1
2
时，面积最小． 角度2 与直线方程有关的最值问题(多维探究)
典例 过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；
(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程．
本题采用基本不等式法求最值．
解 (1)设所求直线l 的方程为x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1
b
＝1.
又∵2a ＋1b
≥2
2
ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.
此时，直线l 的方程是x 4＋y
2
＝1，即x ＋2y －4＝0.
(2)根据题意，直线斜率存在，设为k ，且k <0，故直线方程为y －1＝k (x －2)． ∴A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，
∴截距之和为2k －1
k
＋1－2k
＝3－2k －1
k
≥3＋2
(－2k )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1k ＝3＋2 2.
此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－2
2
.
故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－2
2
(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0.
[结论探究] 若本典例条件不变，求|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解 ∵A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，
∴|PA |·|PB |＝
1
k
2
＋1·4k 2
＋4＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤1－k ＋(－k )≥4，
当且仅当k ＝－1时等号成立． 故|PA |·|PB |最小值为4，此时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 方法技巧
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．见角度1典例．
2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．见角度2典例．
冲关针对训练
已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：
(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2
＋|MB |2
取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．
设直线l 的方程为x a ＋y b
＝1，则1a ＋1
b
＝1，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a
≥2＋2
a b ·b
a
＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，
则A ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1k
，0，B (0,1－k )，
所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2
＋1k
2≥2＋2
k 2·1
k
2＝4.
当且仅当k 2
＝1k
2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y
－2＝0.
1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －y m
＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m n
x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.
2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝5
5
，则l 的斜率为( )
A ．－12
B ．－1
2或－2
C.1
2或2 D ．－2
答案 D
解析 ∵sin θ＋cos θ＝
5
5
，① ∴(sin θ＋cos θ)2
＝1＋sin2θ＝15
，
∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2
＝95，
易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝35
5，②
由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝25
5
，cos θ＝－5
5
，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.
3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2
相交于A ，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )
A ．150°
B ．135°
C ．120°
D ．105°
答案 A
解析 由y ＝2－x 2
得x 2
＋y 2
＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示．
由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k
2，弦长|AB |＝2
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 2
1＋k 2
，所以S △AOB ＝1
2
×
|2k |1＋k
2
×2
2－2k 2
1＋k 2≤(2k )2
＋2－2k 2
2(1＋k 2
)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2
＝13时等号成立，结合图可知k ＝－
33⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A. 4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
答案 5
解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且PA ⊥PB ，
∴|PA |2
＋|PB |2
＝|AB |2
＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2
＋|PB |
2
2
＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝
5时取“＝”)．
[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3
D.5π6
答案 D
解析 直线斜率为－
33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π
6
，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A ．40° B ．50° C ．130° D ．140°
答案 B
解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°
sin40°
＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π
4，则直线l ：ax
－by ＋c ＝0的倾斜角为( )
A.π4
B.π3
C.2π3
D.3π4
答案 D
解析 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π
4
.故选D.
4．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )
A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3
答案 A
解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.
5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1) 答案 D
解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA
＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.
6．(2017·浙江诸暨质检)直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )
A ．A ＝3，
B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1
C ．A ＝3，B ＝－1
D ．A ＝－3，B ＝1
答案 B
解析 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B
x ＋1B
.∵1
B
＝－1，∴B ＝－1.又直线3x
－y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan
2π
3＝－3，∴A ＝－3，故选B.
7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A ．x ＋2y －6＝0
B ．2x ＋y －6＝0
C ．x －2y ＋7＝0
D ．x －2y －7＝0
答案 B
解析 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.
解法二：设方程为x a ＋y b
＝1， 将(1,4)代入得1a ＋4
b
＝1.
a ＋
b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋4a b ≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． 所以直线方程为x 3＋y
6
＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B. 8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 C
解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1
b
＝1，∴a ＋b ＝
(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b
≥2＋2
b a ·a
b
＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.
9．(2017·新乡一中月考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－16
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
6，－12
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－16，12 答案 B
解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝1
2
时，
mx ＋n ＝1
2m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16
，故直线过定点⎝
⎛⎭
⎪⎫12，－1
6
.故选B. 10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2
＋n 2
的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3
答案 C
解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2
＋n 2
的最小值可先求(m －0)2
＋(n －0)2
的最小值．
而(m －0)2
＋(n －0)2
表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图． 当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.
故m 2
＋n 2
的最小值为4.故选C. 二、填空题
11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3
，－13
解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，
QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73
，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，
解得－73<a <－13
.
12．(2018·石家庄校级期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．
答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16 解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ， 直线方程为x a ＋y
12－a
＝1，
把A (－3,4)代入，得－3a ＋4
12－a ＝1，
解得a ＝－4，a ＝9.
a ＝9时，直线方程为x 9
＋y
3
＝1，
整理可得x ＋3y －9＝0.
a ＝－4时，直线方程为
x －4＋y
16
＝1， 整理可得4x －y ＋16＝0.
综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.
13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．
答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2
解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；
②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2
k
，依题意有
12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x
－2y ＋2＝0.
综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：
①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；
③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；
④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)； ⑤若直线斜率为3
4，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．
其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④
解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为3
4的
直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．
B 级
三、解答题
15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－(a ＋1)＝0，
a －2≤0，∴a ≤－1.
综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋2＝0，1－y ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝1.
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k
k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，
要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ≤－2，
1＋2k ≥1，
解得k ＞0；当k ＝0时，直线为
y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，
得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0,1＋2k )．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，
解得k ＞0.
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1＋2k k ·|1＋2k |
＝12·(1＋2k )2
k ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4
≥1
2
×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝1
2，
∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。