创新设计(浙江专用)高考数学二轮复习 大题规范天天练 星期五 第三周 综合限时练(2021年整理)

星期五(综合限时练）
2017年____月____日
解答题综合练（设计意图:训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟）
1.（本小题满分14分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，已知a＝b cos C＋错误!c sin B.
(1)若a＝2，b＝7，求c；
(2)若错误!sin错误!－2sin2错误!＝0，求A.
解(1）∵a＝b cos C＋错误!c sin B，
∴sin A＝sin B cos C＋错误!sin C sin B,
∴cos B sin C＝错误!sin C sin B，又sin C≠0，
∴tan B＝错误!,∵B∈错误!，∴B＝错误!.
∵b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴c2－2c－3＝0，
∴c＝3,c＝－1（舍去）.
(2)∵错误!sin 错误!－2sin2错误!
＝错误!sin错误!－1＋cos错误!
＝错误!sin错误!＋cos错误!－1
＝错误!sin错误!－cos错误!－1
＝2sin错误!－1.
∴由2sin错误!－1＝0,及错误!＜A＜错误!,可得A＝错误!。

2.(本小题满分15分)甲、乙两人组成“星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队"得3分；如果只有一个人猜对,则“星
队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是3
4
，乙每
轮猜对的概率是2
3
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星
队"参加两轮活动，求：
(1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2)“星队"两轮得分之和X的分布列和数学期望E（X）。

解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”,
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD。

由事件的独立性与互斥性，
P（E)＝P(ABCD）＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋
P（ABCD)＋P（ABCD）
＝P（A)P(B）P（C)P（D）＋P（A）P（B)P(C)P（D）＋
P（A)P(B)P(C)P(D）＋P（A)P(B)P（C)P（D)＋
P（A）P(B)P（C）P(D)
＝错误!×错误!×错误!×错误!＋2×错误!错误!＝错误!。

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为错误!。

（2）由题意，随机变量X可能的取值为0,1，2，3，4,6。

由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0）＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!，
P(X＝1）＝2×错误!＝错误!＝错误!,
P（X＝2）＝错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!，
P(X＝3）＝错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!，
P（X＝4）＝2×错误!＝错误!＝错误!.
P（X＝6)＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!。

可得随机变量X的分布列为
所以数学期望错误!错误!错误!错误!错误!＋6×错误!＝23
.
6
3。

(本小题满分15分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形，DA
＝AB＝2,BC＝1
2
AD,E是线段AB的中点。

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
（2)试问线段PB上是否存在点F,使二面角C－DE－F的余弦值为错误!？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由。

解(1)因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，
所以AD⊥PE.
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点,
所以PE⊥AB.
因为AD∩AB＝A,所以PE⊥平面ABCD。

由DA＝AB＝2，BC＝错误!AD，可得BC＝1.
因为△PAB是等边三角形，可求得PE＝3。

所以V P－ABCD＝错误!S ABCD·PE＝错误!×错误!(1＋2）×2×错误!＝错误!。

(2)以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
E－xyz.则有A（0,1，0），E（0，0，0），B（0,－1，0)，C(1，－1，0)，D（2，1，0）,P（0，0,错误!)。

设F（x0,y0,z0)，错误!＝λ错误!(0＜λ＜1)，
则（x0,y0，z0－错误!)＝λ（0，－1，－错误!)。

所以F（0，－λ，3－错误!λ）.
设n＝(x，y，z)为平面DEF的法向量，错误!＝(2，1,0），
错误!＝（0,－λ，错误!－错误!λ），错误!
即错误!
所以错误!∴n＝错误!.
又平面CDE的法向量为m＝(0，0，1）.
∴|cos<m,n〉|＝错误!＝错误!，化简得3λ2＋2λ－1＝0,
解得λ＝错误!或λ＝－1(舍去)。

所以存在点F，
且PF＝错误!PB.则点F在靠近P的三等分点上.
4。

（本小题满分15分）设A1(－2错误!，0),A2（2错误!，0），P是动点,且直线A1P与A2P 的斜率之积等于－错误!。

5.（本小题满分15分)已知函数f（x）＝ln x,g（x)＝错误!x2－2x。

(1)设h(x)＝f(x＋1)－g′(x)（其中g′(x)是g（x）的导函数）,求h(x)的单调区间；（2)设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x－1）＜xf（x)＋3g′(x)＋4恒成立，求k的最大值.解（1）h（x)＝f（x＋1）－g′（x）＝ln(x＋1)－x＋2，x＞－1，所以h′(x）＝错误!－1＝错误!。

当－1＜x＜0时，h′（x)＞0；
当x＞0时,h′(x）＜0。

因此,h(x)在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞)上单调递减.
（2)当x>1时，不等式k（x－1)＜xf(x)＋3g′（x)＋4化为k＜错误!＋2，
所以k＜错误!＋2对任意x＞1恒成立.
令g（x)＝错误!＋2,则g′(x）＝错误!.
令h(x)＝x－ln x－2（x＞1）,则h′（x）＝1－错误!＝错误!＞0，
所以函数h(x）在（1，＋∞)上单调递增.
因为h(3）＝1－ln 3＜0，h（4)＝2－2ln 2＞0，
所以方程h(x)＝0在(1，＋∞）上存在唯一实根x0，且满足h（x0）＝x0－ln x0－2＝0,x0∈（3,4).
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时,h(x）＞0，即g′(x)＞0，所以
函数g(x)＝x＋x ln x
x－1
＋2在（1,x0）上单调递减,在(x0,＋∞）上单调递增。

所以错误!错误!＝g(x0)＝错误!＋2＝错误!＋2＝x0＋2∈(5，6)。

所以k＜[g（x）]min＝x0＋2∈(5，6)。

故整数k的最大值是5.。