高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质讲义 新人教A版选

2．4.2 抛物线的简单几何性质
1．抛物线的简单几何性质
※[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆]
20抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，□21过焦点的直线与抛物线相交所得□
弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种
标准形式下的焦点弦，焦半径公式为
标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦半 径|PF | |PF |＝x 0＋p
2
|PF |＝□22p 2
－x 0 |PF |＝
□23y 0＋p 2
|PF |＝□
24p 2
－y 0 焦点 弦|AB | |AB |＝
x 1＋x 2＋p
|AB |＝ □25p －x 1－x 2
|AB |＝ □26y 1＋y 2＋p
|AB |＝ □27p －y 1－y 2
※[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求]
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径，如图所示．
对于抛物线y 2
＝2px (p >0)，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，－p ，可得|AB |＝2p ，故抛物线的通径长
为2p .
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形．( )
(2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．( ) (3)抛物线是轴对称图形．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)顶点在原点，对称轴为y 轴且过点(4,1)的抛物线方程是_______________． (2)已知点(－2,3)与抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. (3)抛物线y ＝2px 2
(p >0)的对称轴为__________________________________．
(4)(教材改编P 72T 3)过抛物线y 2
＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．
答案 (1)x 2
＝16y (2)4 (3)y 轴 (4)16
解析 (4)由抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝xy 2
＝8x ，得(x －2)2
＝8x ，即x 2
－12x ＋4＝0.
∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.
探究1 抛物线的简单几何性质
例1 (1)已知抛物线y 2
＝8x ，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的X 围；
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2
＋4y 2
＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[解] (1)抛物线y 2
＝8x ，p ＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的X 围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.
(2)椭圆的方程可化为x 24＋y 2
9＝1，其短轴在x 轴上，
∴抛物线的对称轴为x 轴， ∴设抛物线的方程为
y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p
2＝3，
∴p ＝6.
∴抛物线的标准方程为y 2
＝12x 或y 2
＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 拓展提升
与抛物线几何性质相关问题的求解策略
(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．
(2)几何性质中X 围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的X 围求解．
【跟踪训练1】 如图，已知边长为2的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴．
(1)求以O 为顶点且过AB 的抛物线方程；
(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e . 解 (1)如图，
设AB ⊥x 轴于E ，则由AB ＝2得E (3，0)，
∴A (3，1)．设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，则1＝2·p ·3， ∴2p ＝
33
. ∴抛物线方程为y 2
＝
33
x . (2)由(1)知2p ＝
33，∴p 2＝312
， ∴抛物线的准线方程为x ＝－
3
12
， 焦点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
312，0，离心率e ＝1. 探究2 抛物线的焦点弦问题
例2 已知AB 是抛物线y 2
＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，直线AB 的倾斜角为θ.求证：
(1)|AB |＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x 0＋p 2；
(2)|AB |＝
2p
sin 2
θ
； (3)x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2
；
(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p ； (5)S △AOB ＝p 2
2sin θ
.
[证明] (1)∵x 1＋x 2＝2x 0， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2⎝
⎛
⎭⎪⎫
x 0＋p 2.
(2)(ⅰ)当θ≠90°时，设直线AB 的方程为
y ＝k ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －p 2(k ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
y 2＝2px ，
消去y ，得k 2x 2
－p (k 2
＋2)x ＋
k 2p 2
4
＝0，
∴x 1＋x 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋2k 2p .
又k ＝tan θ＝sin θcos θ，代入|AB |＝x 1＋x 2＋p ，得
|AB |＝sin 2
θ＋2cos 2
θsin 2
θ·p ＋p ＝2p sin 2θ
. (ⅱ)当θ＝90°时，直线AB 的方程为x ＝p 2，此时|AB |＝2p ，也满足|AB |＝2p
sin 2
θ
，综上，|AB |＝
2p
sin 2
θ
. (3)由(2)得x 1x 2＝p 2
4(定值)．
∴y 21y 2
2＝4p 2
x 1x 2＝p 4
.
∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2
(定值)． (4)由抛物线的定义，知 |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p
2，
∴
1
|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋
p
2
＝⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x2＋
p
2
＋
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x1＋
p
2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x1＋
p
2⎝
⎛⎭⎪⎫
x2＋
p
2
＝
x1＋x2＋p
x1x2＋
p
2
(x1＋x2)＋
p2
4
＝
x1＋x2＋p
p2
4
＋
p
2
(x1＋x2)＋
p2
4
＝
x1＋x2＋p
p
2
(x1＋x2＋p)
＝2
p
(定值)．
(5)如图，∵抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)．∴其焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0.
∴S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF
＝12|OF |·|AF |·sin(π－θ)＋12|OF |·|BF |·sin θ＝12·p
2·si n θ·|AB |. 由(2)知，|AB |＝2p sin 2θ，∴S △AOB ＝p 2
2sin θ.
拓展提升
抛物线焦点弦问题的求解方法
解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
【跟踪训练2】 已知直线l 经过抛物线y 2
＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.
又F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，
所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －32. 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，
消去y 得x 2
－5x ＋94
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ，
所以|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋
x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，
所以x 1＋x 2AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－3
2，所以M 到准线的距离等于3
＋32＝92
. 探究3 抛物线中的定值、定点问题
例3 已知抛物线x 2
＝2py (p >0)，其焦点FF 作抛物线的两条弦AB 和CD (点A ，C 在第一象限)，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．
(1)若AB ⊥CD ，求△FMN 面积的最小值；
(2)设直线AC 的斜率为k AC ，直线BD 的斜率为k BD ，且k AC ＋4k BD ＝0，求证：直线AC 过定点，并求此定点．
[解] (1)抛物线的方程为x 2
＝2y ，设AB 的方程为y ＝kx ＋12，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋12，x 2＝2y ，
得x 2
－2kx －1＝0，
M ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
k ，k 2
＋12，同理N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1k ，1k 2＋12
，
∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |＝12k 2＋k 4
·
1
k 2
＋1k 4＝1
2
2＋k 2
＋1k
2≥1.
当且仅当k ＝±1时，△FMN 的面积取最小值1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，AB 的方程为y ＝kx ＋1
2，联立
⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋12，x 2＝2y
得
x 2－2kx －1＝0，
∴x 1x 2＝－1，同理，x 3x 4＝－1，故
k AC ＋4k BD ＝y 1－y 3x 1－x 3＋4·y 2－y 4
x 2－x 4
＝12(x 21－x 23)x 1－x 3＋4·12(x 22－x 2
4)x 2－x 4
＝1
2
(x 1＋x 3)＋2·(x 2＋x 4)
＝12(x 1＋x 3)－2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1＋1x 3 ＝(x 1＋x 3)⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12－2x 1x 3＝0. 注意到点A ，C 在第一象限，x 1＋x 3≠0，故得x 1x 3＝4， 直线AC 的方程为y －x 21
2＝
x 1＋x 32
(x －x 1)，
化简得y ＝
x 1＋x 32
x －x 1x 32
即y ＝x 1＋x 3
2
x －2.
所以直线AC 恒经过点(0，－2)． 拓展提升
直线与抛物线位置关系的判断方法
判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，，在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解此类问题的方法一般有两种：
(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关； (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线． 【跟踪训练3】 如图，过抛物线y 2
＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．
证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，
即直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －4)＋2，
y 2
＝x ，
消去y 后，整理得k 2x 2
＋(－8k 2
＋4k －1)x ＋16k 2
－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解，
∴4·x B ＝16k 2
－16k ＋4
k
2
， 即x B ＝4k 2
－4k ＋1k
2
， 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2
＋4k ＋1k
2
， ∴k BC ＝
y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]
x B －x C
＝
k (x B ＋x C －8)x B －x C
＝
k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2
＋2k 2－8－8k
k 2
＝－1
4
.
∴直线BC 的斜率为定值．
探究4 与抛物线有关的最值问题
例4 求抛物线y ＝－x 2
上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离． [解] 设A (t ，－t 2
)为抛物线上的点，
则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2
－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8
＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋4
3. ∴当t ＝23时，d 有最小值4
3
.
[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ 解 如图，
设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－8)，由
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2
，
4x ＋3y ＋m ＝0，
消去y 得3x 2
－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，
∴m ＝－4
3
.
∴最小距离为⎪
⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435
＝2035
＝43
.
拓展提升
解决与抛物线有关的最值问题的思路
求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决．
【跟踪训练4】 如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2
＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.
(1)证明：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．
解 (1)证明：显然直线OA 存在斜率且不等于0. 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ， 则直线OB 的方程为y ＝－1
k
x .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y 2
＝2x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
k 2
，y ＝2
k ，
即A 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k
2，2k .
同理，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1k x ，
y 2＝2x ，
解得B 点的坐标为(2k 2
，－2k )．
∴AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝
2k
＋2k
2
k
2
－2k
2
(x －2k 2
)，
化简并整理，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k
－k y ＝x －2.
不论实数k 取何不等于0的实数，当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．
(2)A ，B 所在直线过定点P (2,0)，所以可设A ，B 所在直线的方程为x ＝my ＋2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋2，
y 2
＝2x ，
消去x 并整理得y 2
－2my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. 于是|y 1－y 2|＝(y 1－y 2)2
＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝(2m )2
＋16＝2m 2
＋4.
S △AOB ＝1
2
×|OP |×(|y 1|＋|y 2|)
＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12×2×2m 2
＋4 ＝2m 2
＋4.
∴当m ＝0时，△AOB 的面积取得最小值4. 探究5 直线与抛物线的位置关系
例5 已知抛物线C ：y 2
＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？
[解] 直线l ：y －1＝k (x －1)，
将x ＝－y 2
2
代入整理得，ky 2
＋2y ＋2k －2＝0.
(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2
＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1.
(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2
＋8k ＋4. 由Δ＝0得，k ＝1±3
2
，
∴当k <1－32或k >1＋3
2时，Δ<0，l 与C 无公共点．
当k ＝1±3
2时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．
当
1－32<k <1＋3
2
且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32
时，l 与C 无公共点；
k ＝
1±3
2
或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点； 1－32<k <0或0<k <1＋3
2时，l 与C 有两个公共点． 拓展提升
直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2
＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于
x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，
①若a ≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
【跟踪训练5】 已知点A (0,2)和抛物线C ：y 2
＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．
解 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知， 直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝0，y 2
＝6x ，
得y 2
＝0.
因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)． 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.
这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，y 2
＝6x ，
由方程组消去x 得方程，ky 2
－6y ＋12＝0.①
当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，2.
当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .
由Δ＝0得k ＝3
4，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y
＝3
4
x ＋2，即3x －4y ＋8＝0. 因此，直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋8＝0或y ＝2. 探究6 与抛物线有关的中点弦问题
例6 已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．
(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．
[解] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p
2＝1，解得p ＝2.
所求抛物线方程为y 2
＝4x .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 2
1＝4x 1①，y 2
2＝4x 2②， 且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，
由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， 所以
y 2－y 1
x 2－x 1
＝2， 所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.
[变式探究] 若例6中条件“线段AB 恰被M (2,1)所平分”改为“线段AB 恰被M (1,1)所平分”，问这样的直线AB 是否存在？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，说明理由．
解 存在．
设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 2
1＝4x 1，①
y 22＝4x 2, ②
且y 1＋y 2＝2，
由②－①，得y 2
2－y 2
1＝4(x 2－x 1)，∴
y 2－y 1
x 2－x 1
＝2. ∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 拓展提升
“中点弦”问题的两种解题策略
(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k ＝y 1－y 2
x 1－x 2
求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
【跟踪训练6】 已知抛物线y 2
＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点的轨迹方程．
解 设弦AB 的中点为M ，并设A ，B ，M 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x ，y )． 由题意有
⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝2x 1，①
y 2
2＝2x 2，②x 1＋x 2＝2x ，③y 1
＋y 2
＝2y . ④
由①－②，得y 2
1－y 2
2＝2(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝1
y
. 又因为k AB ＝k MQ ，即
y 1－y 2x 1－x 2＝y －1
x －2
. 所以
y －1x －2＝1y
，即y 2
－y ＝x －2， 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122
＝x －74.
故弦AB 的中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122
＝x －74.
，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.
y 2＝2px (p >0)上任一点A (x 1，y 1)，焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，则|AF |＝x 1＋p 2
，这就是焦半径公式．若直线
AF 交抛物线另一点B (x 2，y 2)．由焦半径公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p .
4.直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A ．x 2
＝±3y B ．y 2
＝±6x C ．x 2
＝±12y D ．x 2
＝±6y
答案 C
解析 因为顶点在原点，对称轴是y 轴，则开口向上或向下，由p
2＝3，得px 2
＝±2py ＝
±12y .
2．抛物线x 2
＝－8y 的通径为线段AB ，则AB 长是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．1 答案 C
解析 抛物线x 2＝－8y ，通径为|－8|＝8.故选C.
3．已知点P (6，y )在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )
A ．2
B ．1
C ．4
D ．8 答案 C
解析 抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到
焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p
2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离
等于4.故选C.
4．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于________． 答案 14
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝ax 2＋1，
y ＝x ，消y 得ax 2
－x ＋1＝0.
∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2
＋1相切， ∴方程ax 2
－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2
－4a ＝0，∴a ＝14
.
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．
解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2
＝ax (a ≠0)．
设抛物线与圆x 2
＋y 2
＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2
＝ax (a ≠0)与圆x 2
＋y 2
＝4都关于x 轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝23，
∴|y1|＝|y2|＝3，代入圆x2＋y2＝4，得
x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，3)或A(±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.。