常微分方程13微分方程的向量场
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解：等倾线：1 xy k; 极值曲线：1 xy 0. 在极值曲线上，y 0, y ... y, 当 y 0, y 0, 极小值；当y 0, y 0, 极大值。 拐点曲线：y x dy y x(1 xy) 0 dx x ( x2 1) y 0.
y fx x, y fy x, y f x, y 0
11
例1.3.4 讨论方程 y y ex 的拐点曲线。
解：由方程得 y y ex y e2x ,令 y 0,得 y 2ex
容易验证 y 2ex 不是方程的积分曲线，
dx x
dx y
(1)等倾线 y kx, 积分曲线 y kx。
(2)等倾线 y 1 x, k
积分曲线：以坐标原点为中心的同心圆。
拐点曲线： dy f x, y
dx
设 f (x, y)有连续的偏导数，则一个点成为 y x 的拐点的必要条件是 x 0 ，
几何意义：极值曲线可能是积分曲线，
若不是，积分曲线在其上的切线平行于x轴。
练习： 画出微分方程的向量场的图形。
(1) dy x2 y, (2) dy y x.
dx
dx
等倾线：（1）y x2 k, (2) y x k.
10
练习：（1）dy y , (2) dy x .
13
内容小结
微分方程的向量场 积分曲线的图解法
作业
P28 1（1）（2），2（1）（2）
14
方程的向量场的方向都相同。
我们把 f x, y c 所确定的曲线 称为微分方程 dy f x, y的等倾线。
dx
几何意义：向量场中方向相同点的几何轨迹。
9
例如：微分方程 y y 的等倾线为 y c
y x2 y2 的等倾线为 x2 y2 c2
零等倾线 f x, y 0 称为极值曲线。
§1.3 微分方程的向量场
一、 向量场
设一阶微分方程 dy f x, y
dx 满足解的存在唯一性定理的条件。
过 D 中任一点 x0, y0 有且仅有 一个解
y x ，满足 x0 y0 x f x, x
1
几何意义: 解 y x 就是通过点 x0, y0 的一条曲线，
# 画向量场及积分曲线
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程 y' y
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
它将 xy 平面分为 D1 和 D2两部分， 在区域 D1上，y 2ex y 0 在区域 D2 上，y 2ex , y 0
y 2ex 是方程的拐点曲线。
通解：y e x ( x c).
y
D1
0
xLeabharlann 2D1y 2ex
12
练习：dy 1 xy, 求等倾线，极值曲线，拐点曲线。 dx
• 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 • 该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法
求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的 性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律 就有很重要的指导意义。
8
dy f x, y
dx
方程 f x, y c所决定的曲线上任意一点 P x, y处
将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。
2
dy f x, y
dx
从几何上看，方程的一个解 y x就是位于
向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与 向量场在这一点的方向相切。
形象的说，解 y x 就是始终沿着向量场中的 方向行进的曲线，求方程 满足初始值 y x0 y0的解， 就是求通过点 x0, y0 的一条曲线。
3
定理1.3
曲线 L为 dy f x, y 的积分曲线的充要条件是：
dx
在L上任一点，L的切线与
dy dx
f
x, y所确定的向量场
在该点的向量相重合。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究 微分方程的几何性质极为重要，
因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线， 同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。
axes=NORMAL;
# 定义坐标系类型类型
6
回车后Maple就在 1 1 的网格点上画出了向量场 44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2,1) (-2, 2) 的
三条积分曲线。
7
二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式， 根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。
4
例1.3.1 在区域 D x, y | x 2, y 2内画出方程
dy y 的向量场和几条积分曲线。 dx 解：可以用计算各点斜率的方法在网格点上 手工画出向量场的方向可以得到向量场， 但手工绘图误差较大。我们用Maple 软件包来完成。
5
Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
f x, x就是该曲线上的点 x, x处的切线斜率，
曲线上点 x0, y0 的切线斜率就是 f x0, y0 。
尽管我们不一定能求出方程的解，但我们知道
解曲线在区域中任意点 x, y的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域内每一点 x, y都画上一个以值 f x, y 为斜率中心在 x, y 点的线段，我们 就得到一个方向场.
y fx x, y fy x, y f x, y 0
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例1.3.4 讨论方程 y y ex 的拐点曲线。
解：由方程得 y y ex y e2x ,令 y 0,得 y 2ex
容易验证 y 2ex 不是方程的积分曲线，
dx x
dx y
(1)等倾线 y kx, 积分曲线 y kx。
(2)等倾线 y 1 x, k
积分曲线：以坐标原点为中心的同心圆。
拐点曲线： dy f x, y
dx
设 f (x, y)有连续的偏导数，则一个点成为 y x 的拐点的必要条件是 x 0 ，
几何意义：极值曲线可能是积分曲线，
若不是，积分曲线在其上的切线平行于x轴。
练习： 画出微分方程的向量场的图形。
(1) dy x2 y, (2) dy y x.
dx
dx
等倾线：（1）y x2 k, (2) y x k.
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练习：（1）dy y , (2) dy x .
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内容小结
微分方程的向量场 积分曲线的图解法
作业
P28 1（1）（2），2（1）（2）
14
方程的向量场的方向都相同。
我们把 f x, y c 所确定的曲线 称为微分方程 dy f x, y的等倾线。
dx
几何意义：向量场中方向相同点的几何轨迹。
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例如：微分方程 y y 的等倾线为 y c
y x2 y2 的等倾线为 x2 y2 c2
零等倾线 f x, y 0 称为极值曲线。
§1.3 微分方程的向量场
一、 向量场
设一阶微分方程 dy f x, y
dx 满足解的存在唯一性定理的条件。
过 D 中任一点 x0, y0 有且仅有 一个解
y x ，满足 x0 y0 x f x, x
1
几何意义: 解 y x 就是通过点 x0, y0 的一条曲线，
# 画向量场及积分曲线
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程 y' y
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
它将 xy 平面分为 D1 和 D2两部分， 在区域 D1上，y 2ex y 0 在区域 D2 上，y 2ex , y 0
y 2ex 是方程的拐点曲线。
通解：y e x ( x c).
y
D1
0
xLeabharlann 2D1y 2ex
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练习：dy 1 xy, 求等倾线，极值曲线，拐点曲线。 dx
• 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 • 该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法
求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的 性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律 就有很重要的指导意义。
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dy f x, y
dx
方程 f x, y c所决定的曲线上任意一点 P x, y处
将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。
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dy f x, y
dx
从几何上看，方程的一个解 y x就是位于
向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与 向量场在这一点的方向相切。
形象的说，解 y x 就是始终沿着向量场中的 方向行进的曲线，求方程 满足初始值 y x0 y0的解， 就是求通过点 x0, y0 的一条曲线。
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定理1.3
曲线 L为 dy f x, y 的积分曲线的充要条件是：
dx
在L上任一点，L的切线与
dy dx
f
x, y所确定的向量场
在该点的向量相重合。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究 微分方程的几何性质极为重要，
因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线， 同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。
axes=NORMAL;
# 定义坐标系类型类型
6
回车后Maple就在 1 1 的网格点上画出了向量场 44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2,1) (-2, 2) 的
三条积分曲线。
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二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式， 根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。
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例1.3.1 在区域 D x, y | x 2, y 2内画出方程
dy y 的向量场和几条积分曲线。 dx 解：可以用计算各点斜率的方法在网格点上 手工画出向量场的方向可以得到向量场， 但手工绘图误差较大。我们用Maple 软件包来完成。
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Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
f x, x就是该曲线上的点 x, x处的切线斜率，
曲线上点 x0, y0 的切线斜率就是 f x0, y0 。
尽管我们不一定能求出方程的解，但我们知道
解曲线在区域中任意点 x, y的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域内每一点 x, y都画上一个以值 f x, y 为斜率中心在 x, y 点的线段，我们 就得到一个方向场.