九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (121)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，在△ABC中，△ABC=80°，△BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC△△BDC．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质，得DA＝DB，则∠ABD＝∠BAC＝40°，从而求得∠CBD＝40°，即可证出∠ABC∠∠BDC．
【详解】
∠DE是AB的垂直平分线，∠AD＝BD．
∠∠BAC＝40°，∠∠ABD＝40°．
∠∠ABC＝80°，∠∠DBC＝40°，∠∠DBC＝∠BAC．
∠∠C＝∠C，∠∠ABC∠∠BDC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质，题目难度不大．
77．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，△F＝△B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE△△DFE．
【答案】(1) FD=5; (2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线的性质得出DE∠AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出∠CDE∠∠DFE．
【详解】
解：（1）∠D、E分别是AC、BC的中点，
∠DE//AB，DE=1
2
AB=5
又∠DE//AB，
∠∠DEC= ∠B．
而∠F= ∠B，
∠∠DEC =∠B，
∠FD=DE=5；
（2）∠AC=BC，
∠∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∠∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∠∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∠∠CDE∠∠DFE．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线
的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．
78．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M 点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt ABM Rt MCN
∆∆
∽；
（2）当M点运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN
∆∆
∽，并请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）当M点运动到BC为中点位置时，
Rt ABM Rt AMN
∆∆
∽．
【分析】
（1）理由等角的余角相等证明MBA NMC
∠=∠，然后根据直角三角形相似的判定方法可判断Rt ABM Rt MCN
∆∆
∽；
（2）设正方形的边长为2a，若M为BC的中点，则2
AB BC a
==，BM MC a
==，理由勾股定理可得到AM=，由于
Rt ABM Rt MCN
∆∆
∽，利用相似比可计算出
MN，接着证明AB BM
AM MN
=，从而可判断Rt ABM Rt AMN
∆∆
∽．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 为正方形，
90B C ∴∠=∠=︒，
AM MN ⊥，
90AMN ∴∠=︒，
90AMB NMC ∴∠+∠=︒，
而90AMB MAB ∠+∠=︒，
MBA NMC ∴∠=∠，
Rt ABM Rt MCN ∴∆∆∽；
（2）解：当M 点运动到BC 为中点位置时，Rt ABM Rt AMN ∆∆∽．
理由如下：设正方形的边长为2a ，
四边形ABCD 为正方形，
2AB BC a ∴==，BM MC a ==，
AM ∴=，
Rt ABM Rt MCN ∆∆∽， ∴2AM AB MN MC
==，
12MN AM ∴==，
AB AM ==
BM MN == ∴AB BM AM MN
=， 而90ABM AMN ∠=∠=︒，
Rt ABM Rt AMN ∴∆∆∽．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质．梯形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
79．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE△BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且△AFE=△B
（1）求证：△ADF△△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AE的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【分析】
（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似∠ADF∠∠DEC.
（2）利用∠ADF∠∠DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt∠ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
【详解】
解：（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，
∠AB∠CD，AD∠BC
∠∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC
∠∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∠∠AFD=∠C
在∠ADF与∠DEC中，∠∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∠∠ADF∠∠DEC
（2）∠四边形ABCD 是平行四边形，
∠CD=AB=8．
由（1）知∠ADF ∠∠DEC ， ∠AD AF DE CD
=，
∠AD CD DE 12
AF ⋅===
在Rt ∠ADE 中，由勾股定理得：AE 6===
80．如图，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DFG 的斜边FG 上，G 与BC 相交于点E ，连接CF ．
（1）求证：ADG CDF ≌；
（2）求证：ABE CFE ∽
△△； （3）若正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，求FG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3 【分析】
(1)根据正方形和等腰直角三角形的边长相等可以得到两组对应边,再用直角去掉公共角得到一组对应角,即可判定全等．
(2)由(1)的全等推出∠CFE 为直角,即可利用一组直角和一组对顶角判定ABE CFE ∽△△．
(3)根据ABE CFE ∽
△△得到对应边成比例,将线段代入求出CF,EF,再由
ADC CDF ≌△△得到AG=CF,即可算出FG ．
【详解】
（1）∠四边形ABCD 是正方形,DFC △是等腰直角三角形,
∠90ADC CDF ∠=∠=︒,AD CD =,DG DF =,
∠ADG ADF ADF CDF ∠+∠=∠+∠,
∠ADG CDF ∠=∠,
在ADG 和CDF 中,
DG DF ADG CDF DA DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∠ADG CDF ≌(SAS)．
（2）由（1）知ADG CDF ≌,
∠45DGA DFC ∠=∠=︒,
又∠45DFG ∠=︒,
∠90CFE B ∠=︒=∠,
又∠AEB CEF ∠=∠,
∠ABE CFE ∽△△．
（3）由（2）知ABE CFE ∽
△△, ∠AB AE BE CF EC EF
==, ∠正方形ABCD 的边长为2,点E 是BC 的中点,
∠1BE EC ==,2AB =,
∠AE =
∠21CF EF
==,
∠CF =,EF =
由（1）知ADC CDF ≌
△△,5AG CF ==,
∠5FG AG AE EF =++=
． 【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形相似的判定和性质,关键在于熟悉相关基础知识,结合图形转换成所需条件．。