中考数学直升试题(含解析)(2021-2022学年)

2０1６年安徽省宿州市泗县中考直升数学试卷
一、选择题.
1.计算﹣３＋（﹣1)的结果是()
A．2 B．﹣２ C.4ﻩD．﹣4
２.下列运算正确的是( )
A.(ａ2）5=a７ﻩ
B.a２•a４=ａ6C．3a２ｂ﹣3ab2＝0 Ｄ．()2=
３．20１5年初,一列CRH5型高速车组进行了“3０0000公里正线运营考核"标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃,将30０００0用科学记数法表示为()
A．3×1０6ﻩB．３×10５ﻩC．０．3×１06D.30×１0４
4．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB，BC的中点.若△DBE的周长是6，则△ABＣ的周长是（)
A．８ B.１0ﻩ C.１２ﻩＤ.14
5.如图，直线a∥b,一块含6０°角的直角三角板ＡBC(∠A=60°）按如图所示放置.若∠1＝5５°，则∠2的度数为( )
Ａ．10５°Ｂ.110°C．115°ﻩ D.1２0°
6．某市举行创建文明城市志愿活动，我校初二（1）班、初二(２）班、初二(３）各班均有２名同学志愿者报名参加,现从6名同学中随机选一名志愿者,则被选中的同学恰好是初二(３)班同学的概率是(）
A. B.ﻩC．Ｄ．
７.化简﹣的结果是( )
A． B.ﻩ C. D.
8.如图,AB为⊙O的切线，切点为B,连接ＡO,AO与⊙O交于点Ｃ，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积为（ )
A.﹣
B.﹣2ﻩC．π﹣ﻩＤ.﹣
9.若二次函数y＝x2＋ｂx的图象的对称轴是经过点(2,０)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+b ｘ=5的解是()
A．ｘ1=0 ｘ2=4ﻩ B.x1=１ x2＝５Ｃ.x１=1 x2＝﹣５Ｄ．ｘ1=﹣1 x2＝５
10．如图,四边形ABＣD为矩形，过点D作对角线BＤ的垂线，交ＢC的延长线于点E,取BE的中点F，连接DＦ，DF＝4，设ＡB=x,ＡD=y,则ｘ2+(y﹣4）2的值为（)
A.4ﻩB．8ﻩC．12 D．1６
二、填空题．
1１．分解因式:x3﹣6ｘ2＋9x= ．
12.如图，点A,Ｂ,Ｃ在⊙Ｏ上,CO的延长线交ＡB于点D，∠Ａ=5０°，∠Ｂ=30°,则∠ＡDC的度数为.
1３.关于x的一元二次方程aｘ2+bx+=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数ａ,ｂ的值：a= ,b=.
14.如图,在菱形ABCＤ中，AＢ=6，∠DＡB=60°，ＡE分别交BC、ＢＤ于点Ｅ、F,CＥ=2，连接CF,以
下结论:①△ABF≌△CBF；②点E到AＢ的距离是2；③tan∠ＤCF=;④△ABF的面积为.其中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上）.
三、解答题:
15．计算：()﹣2﹣（π﹣)0＋｜﹣2|+4sｉn6０°.
1６．解方程:．
17.国务院办公厅在2015年3月１6日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛,各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题：
（１)获得一等奖的学生人数；
(2）在本次知识竞赛活动中,A,B，C,D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
18．如图,在△ＡBＣ中，ＡB＝AC,分别以B、Ｃ为圆心,BＣ长为半径在BＣ下方画弧.设两弧交于点D,与ＡＢ、ＡC的延长线分别交于点E、Ｆ,连接AＤ、BＤ、CD
(１）求证:ＡD平分∠ＢAＣ；
(2）若BＣ＝6,∠BＡC=5０°,求弧DＥ、弧DF的长度之和(结果保留π)．
ﻬ
1９.如图,已知函数y=（x＞0)的图象经过点A、B,点B的坐标为(2,２)．过点A作AＣ⊥x轴，垂足为Ｃ，过点B作ＢD⊥y轴,垂足为D，AＣ与BD交于点Ｆ．一次函数y=ａｘ+ｂ的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点Ｅ
（１)若AC=OD，求a、b的值；
(2）若BC∥AE，求BC的长．
20．如图,在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1０00米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值)．
21．(12分)如图,已知AＤ是△ABC的角平分线,⊙O经过Ａ、B、D三点．过点B作BＥ∥AＤ，交⊙Ｏ于点E,连接EＤ
（1）求证:ED∥AＣ;
（２）若BD=2CＤ,设△ＥBＤ的面积为S1，△AＤC的面积为S2，且S１2﹣16S２+4=0，求△ＡＢC的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｗ的表达式为y=﹣,抛物线w与Ｘ轴交于A、B 两点(Ｂ在A右侧）与y轴交于点Ｃ，它的对称轴与x轴交于点D,直线Ｌ经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线L的函数表达式;
(2)将抛物线W沿ｘ轴向右平移得到抛物线W′,设抛物线W′的对称轴与直线L交于点F,当△ＡCＦ是直角三角形时，求点F的坐标,并直接写出抛物线W′的函数表达式．
23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图１,图2，图３中，AF，BE 是△ＡBＣ的中线,AF⊥BE，垂足为P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a，AC＝ｂ，AB=c.
特例探索
（1)如图1，当∠ABＥ＝４5°,c=2时,a= ，b=．
如图２，当∠ABE=30°，ｃ=4时,a= ,b＝.
归纳证明
(2）请你观察(1）中的计算结果，猜想a２,b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.
拓展应用
(3)如图4,在▱ABCD中，点E、Ｆ、Ｇ分别是AD,BC，CD的中点，ＢE⊥EG,AD=２，AＢ=3,求AF的长．
ﻬ2０１６年安徽省宿州市泗县三中中考直升数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．
１．计算﹣3＋(﹣１)的结果是（）
A．2ﻩ B.﹣２C.4ﻩ D.﹣4
【考点】有理数的加法．
【分析】根据同号两数相加的法则进行计算即可.
【解答】解:﹣３＋(﹣１)=﹣（3+1)=﹣4,
故选:D．
【点评】本题主要考查了有理数的加法法则,解决本题的关键是熟记同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加．
２.下列运算正确的是( )
Ａ．(a2)5=ａ７ﻩ B.a2•ａ４=a６ﻩC．3a2ｂ﹣3ab2=0 D．()2＝
【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项；同底数幂的乘法.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并计算即可.
【解答】解:A、（ａ2）5=a10,错误;
B、a2•a４＝a6,正确;
Ｃ、3a2b与3aｂ2不能合并,错误;
D、(）2=,错误;
故选B.
【点评】此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并,关键是根据法则进行计算．
3.2015年初，一列CRＨ5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核"标志着中国高速快车从“中国制造"到“中国创造"的飞跃,将300000用科学记数法表示为（）
A.３×１0６
B.3×105Ｃ.0．３×106ﻩ D.30×1０4
【考点】科学记数法-表示较大的数．
ﻬ【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时,n是负数.
【解答】解：将３０0００0用科学记数法表示为:3×1０5．
故选:B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜ａ|<10，ｎ为整数，表示时关键要正确确定ａ的值以及ｎ的值.
４.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AＢ,BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABＣ的周长是（）
A．8 B.10 C．12ﻩD．14
【考点】三角形中位线定理．
【分析】首先根据点Ｄ、E分别是边AＢ,BＣ的中点,可得DＥ是三角形ＢC的中位线,然后根据三角形
中位线定理，可得DE=AC,最后根据三角形周长的含义，判断出△ＡBＣ的周长和△ＤＢE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6,即可求出△AＢC的周长是多少.
【解答】解:∵点D、Ｅ分别是边ＡB,BC的中点,
∴ＤE是三角形BＣ的中位线，AB=2ＢD,BC=2BE,
∴ＤE∥BC且DE＝AC，
又∵AB=2BＤ，BC=２ＢE,
∴ＡＢ+ＢC＋AC=２(ＢD＋BE+DE），
即△ABC的周长是△DＢE的周长的2倍,
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是:
6×2=12.
故选:C.
ﻬ【点评】(1)此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
(2)此题还考查了三角形的周长和含义的求法,要熟练掌握．
5．如图,直线a∥b，一块含６０°角的直角三角板ABC（∠A=６0°)按如图所示放置.若∠１=５5°,则∠2的度数为( )
A．1０５°ﻩＢ．11０°ﻩ C.1１5°ﻩ D.12０°
【考点】平行线的性质.
【分析】如图,首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ＡNM=55°,借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【解答】解：如图,∵直线a∥ｂ，
∴∠ＡMO=∠２;
∵∠ANＭ＝∠1，而∠1=５5°,
∴∠ＡＮＭ=55°,
∴∠AMO＝∠Ａ+∠ＡＮM=6０°+55°＝115°，
∴∠2=∠AMO=115°.
故选Ｃ．
【点评】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题;牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
６.某市举行创建文明城市志愿活动,我校初二(1）班、初二(2）班、初二（3）各班均有2名同学志愿者报名参加,现从６名同学中随机选一名志愿者，则被选中的同学恰好是初二(3)班同学的概率是()
A．ﻩ B. C.ﻩＤ．
【考点】概率公式．
【分析】用初二（３)班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案.
【解答】解:∵共有6名同学,初二(３)班有２人,
∴P（初二3班)=＝，
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．
7.化简﹣的结果是（)
A．B．ﻩＣ.ﻩD．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项约分后,利用同分母分式的减法法则计算,即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣
=﹣
＝
=,
故选A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.如图,AB为⊙O的切线，切点为B，连接ＡO，AO与⊙O交于点Ｃ，ＢＤ为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积为( )
Ａ.﹣ﻩＢ．﹣２ﻩＣ．π﹣D．﹣
【考点】扇形面积的计算;切线的性质．
【分析】过O点作OＥ⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠ＡOＢ＝60°,再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=3０°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE,CD的长,再根据阴影部分的面积=扇形OCＤ的面积﹣三角形ＯCD的面积，列式计算即可求解.
【解答】解：过O点作OE⊥ＣＤ于Ｅ,
∵AＢ为⊙O的切线，
∴∠ＡBＯ=90°,
∵∠Ａ=3０°,
∴∠ＡOＢ=6０°,
∴∠CＯD＝１20°，∠ＯCD＝∠ODC=3０°，
∵⊙O的半径为2,
∴OE=１，CＥ=DＥ=,
∴ＣＤ=2,
∴图中阴影部分的面积为：﹣×２×1＝π﹣.
故选:A．
【点评】考查了扇形面积的计算,切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形ＯCD的面积﹣三角形OＣD的面积.
９．若二次函数y=x２＋bｘ的图象的对称轴是经过点(2,０）且平行于ｙ轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解是()
A．ｘ1=0 x2=4ﻩ B.x1=1 x2=5 Ｃ.x1=1 x2=﹣５ﻩ D.x1=﹣1 x２＝５
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】根据对称轴方程﹣=2，得ｂ=﹣4,解x2﹣4x=5即可．
【解答】解:∵对称轴是经过点（2,0)且平行于y轴的直线,
∴﹣=2,
解得：b＝﹣4，
解方程x2﹣4x=5,
解得x1=﹣1，x2＝5,
故选:D.
【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系,解题的关键是求出b的值,难度不大．
１0.如图,四边形ABCD为矩形,过点Ｄ作对角线ＢD的垂线，交BＣ的延长线于点E，取BＥ的中点Ｆ，连接ＤF,DF＝4,设ＡＢ=x,AD=y,则x2+（ｙ﹣4）２的值为(）
A．4 Ｂ．8ﻩC．1２ﻩD．16
【考点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
【分析】根据矩形的性质得到ＣD=AB＝x，BC=AD＝y，然后利用直角△BＤE的斜边上的中线等于斜边的一半得到:ＢF=ＤＦ=ＥＦ=４,则在直角△DCF中,利用勾股定理求得ｘ2+(y﹣4)2＝DＦ2.
【解答】解:∵四边形ＡＢCＤ是矩形,AB=ｘ，AD=ｙ,
∴CD＝AＢ=x，BC＝AD=y,∠BCD=90°.
又∵BD⊥DE,点F是ＢE的中点,ＤF=4,
∴ＢＦ=DF=EF＝4．
∴CF=4﹣BC=4﹣ｙ．
∴在直角△DＣＦ中，DC2+CＦ2=DＦ2，即x2+（４﹣y)2=42=１6，
∴ｘ２+(y﹣4)2＝x2＋（４﹣ｙ）2＝16.
故选:D.
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BＤＥ的斜边上的中线等于斜边的一半”求得ＢF的长度是解题的突破口.
二、填空题.
11.分解因式:ｘ3﹣6x２+9x= x(ｘ﹣3)2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】先提取公因式ｘ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解：x3﹣6x２+9ｘ，
=x（ｘ2﹣6x+9)，
=x（x﹣３)2.
故答案为：x(x﹣３)2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因式．
12.如图,点A,B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点Ｄ，∠A=50°,∠Ｂ=3０°，则∠ADC的度数为11０°.
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理求得∠ＢOC＝100°,进而根据三角形的外角的性质求得∠ＢＤC=７０°,然后根据邻补角求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠Ａ=５0°，
ﻬ∴∠ＢOC=２∠A=１０0°,
∵∠Ｂ=30°,∠ＢOC=∠B＋∠BDC，
∴∠BDC=∠BＯＣ﹣∠B＝100°﹣30°=70°,
∴∠ADＣ=180°﹣∠ＢＤC=11０°,
故答案为1１0°.
【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质,圆心角和圆周角的关系是解题的关键．
１３．关于x的一元二次方程ax２+ｂx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a,b的值：a=4，ｂ= 2．
【考点】根的判别式.
【专题】开放型.
【分析】由于关于x的一元二次方程ａｘ2＋ｂx+=0有两个相等的实数根,得到a=b2,找一组满足条件的数据即可.
【解答】关于ｘ的一元二次方程ax2+ｂx+＝０有两个相等的实数根,
∴△＝b2﹣４×a=ｂ2﹣a=0，
∴a=b２，
当ｂ=2时，a=4,
故b=2，a＝4时满足条件．
故答案为:４,2.
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键.
１4.如图，在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=６0°,AE分别交BC、BＤ于点Ｅ、F,CE=２,连接CF,以下结
论:①△ＡＢF≌△CBＦ；②点E到AB的距离是2；③ｔaｎ∠DCF=;④△ABＦ的面积为.其中一定成立的是①②③ (把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【考点】四边形综合题.
【专题】压轴题.
【分析】利用SAS证明△ABF与△ＣＢＦ全等,得出①正确,根据含３0°角的直角三角形的性质得出点
E到ＡB的距离是2,得出②正确，同时得出;△ABF的面积为得出④错误,得出ｔan∠DＣ
F=,得出③正确．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴ＡB＝ＢＣ=6,
∵∠DAB=6０°,
∴ＡB＝AD=DB，∠ABD＝∠DＢC=60°,
在△ABF与△CBＦ中，
,
∴△ABF≌△CBF（ＳAS）,
∴①正确;
过点E作EG⊥AB，过点F作MＨ⊥CD,MＨ⊥AＢ,如图：
∵ＣＥ=2,BC=6,∠ABＣ=120°，
∴BE=6﹣2=４,
∵EG⊥AB，
∴EG=,
∴点Ｅ到AB的距离是2,
ﻬ故②正确;
∵ＢE＝4,EC=2,
∴S△ＢFＥ:Ｓ△ＦEC=4:2=２:1，
∴S△ＡＢF:S△ＦＢE=3：2,
∴△ABF的面积为=,
故④错误;
∵,
∴=,
∵，
∴ＦM=,
∴DM＝,
∴CM=ＤC﹣DＭ=6﹣，
∴ｔan∠DＣＦ=,
故③正确；
故答案为：①②③
【点评】此题考查了四边形综合题,关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
三、解答题:
1５.计算:(）﹣２﹣(π﹣)0+|﹣2|+４siｎ60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解:原式=4﹣1＋2﹣+4×=５＋．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16．解方程:.
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是2(2ｘ﹣1）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解：方程的两边同乘２(2ｘ﹣1),得
2=2ｘ﹣１﹣３,
解得x=3.
检验：把x=３代入２(2ｘ﹣1)≠０.
所以原方程的解为:x=3.
【点评】本题考查了解分式方程，注意:
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根．
１７．国务院办公厅在２0１5年３月１6日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识,传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题:
(１)获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A,Ｂ,C，D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率．
【考点】列表法与树状图法;扇形统计图．
【分析】(1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数;
（２）列表将所有等可能的结果列举出来,利用概率公式求解即可．
【解答】解:(1)∵三等奖所在扇形的圆心角为９0°，
∴三等奖所占的百分比为25%，
∵三等奖为50人，
∴总人数为50÷25%=20０人,
∴一等奖的学生人数为200×(1﹣20％﹣25%﹣４0％）=30人;
(2)列表：
ＡB C D
A A
B A
C AＤ
B BA B
C BＤ
C CA CB CＤ
D DA DＢDC
∵共有１2种等可能的结果,恰好选中A、Ｂ的有2种,
∴P(选中Ａ、Ｂ)==．
【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来,然后利用概率公式求解,难度不大．
18．如图，在△ABC中,AＢ＝AC,分别以B、C为圆心，BC长为半径在BＣ下方画弧．设两弧交于点D,与ＡB、AＣ的延长线分别交于点Ｅ、F,连接AD、BD、ＣＤ
(1)求证：ＡD平分∠ＢＡC；
（２)若BＣ=6,∠BAＣ=５0°,求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）.
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;弧长的计算．
【专题】证明题．
【分析】（1)根据题意得出BＤ=CD=ＢC,由SSＳ证明△ＡBD≌△ACD,得出∠ＢAD=∠CAD即可;
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABＣ＝∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC＝∠DCＢ=６0°，再由平角的定义求出∠DBE=∠ＤCＦ=5５°,然后根据弧长公式求出、的长度,即可得出结果．
【解答】(1）证明:根据题意得：ＢD=CD=BC，
在△ＡＢD和△ACＤ中，
,
∴△ＡBＤ≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD=∠ＣAＤ,
即AＤ平分∠BAC;
（2)解：∵AＢ＝AC，∠BＡC=50°，
∴∠ABC=∠ACB＝65°,
∵BD＝CＤ=BC，
∴△BＤＣ为等边三角形,
∴∠DBC=∠ＤＣB=6０°,
∴∠DBE=∠DＣF=5５°，
∵ＢＣ=6,∴BD＝CD=6，
∴的长度=的长度==;
∴、的长度之和为+=.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算;熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
１9．如图,已知函数y=(x＞０）的图象经过点Ａ、Ｂ,点B的坐标为（2,2).过点A作AＣ⊥x轴,垂足为Ｃ,过点Ｂ作BＤ⊥y轴,垂足为D,AC与BD交于点F．一次函数y＝ａx＋b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E
（1)若AC=ＯD，求a、b的值;
(2)若ＢC∥AE，求BＣ的长．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值,再得出A、D点坐标，进而求出a,ｂ的值;
（2)设A点的坐标为:(m，),则Ｃ点的坐标为：(m,0）,得出tan∠ADＦ＝=，tａn∠AEC＝
＝,进而求出m的值,即可得出答案．
【解答】解;（1）∵点Ｂ（2,２)在函数ｙ=(x>0）的图象上,
∴k=4，则y=,
∵ＢD⊥y轴,∴Ｄ点的坐标为:（0,2）,OＤ=２,
∵AC⊥x轴，AC＝OＤ,∴AC=3,即Ａ点的纵坐标为：3，
∵点A在y=的图象上,∴A点的坐标为：(，3),
∵一次函数y＝ａx＋ｂ的图象经过点A、D,
∴,
解得：;
(２)设Ａ点的坐标为:(m,),则C点的坐标为:（m，0)，
∵BD∥CE,且ＢＣ∥DE,
∴四边形ＢCED为平行四边形,
∴CE=BD=2,
∵ＢＤ∥CE，∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中,ｔan∠ADＦ==,
在Ｒt△ACE中,tan∠AEC==,
∴=,
解得：m＝1，
∴C点的坐标为：（1，0）,则BC=.
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识,得出A,D点坐标是解题关键．
20．如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西６0°方向前进实施拦截，红方行驶10０0米到达Ｃ处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西4５°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值)．
ﻬ
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过Ｂ作AB的垂线,过C作AB的平行线，两线交于点E;过Ｃ作ＡＢ的垂线，过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠Ｅ=∠F=9０°,拦截点D处到公路的距离DA=ＢＥ+CF.解Ｒt△BCE，求出BE=
ＢC=×10００=500米；解Rt△ＣDF,求出CF=CD=50０米,则DA=BE+CF=(5０0+500)米.
【解答】解:如图,过B作AＢ的垂线，过Ｃ作AB的平行线,两线交于点Ｅ；过Ｃ作AB的垂线，过D作AＢ的平行线,两线交于点F，则∠E=∠F=9０°，拦截点D处到公路的距离DA=BE＋ＣF.
在Rｔ△BCE中，∵∠E=90°,∠ＣBE=６0°,
∴∠BCE＝30°，
∴BE=BＣ=×1００0=５00米；
在Rｔ△ＣＤF中,∵∠Ｆ=9０°,∠DCF=４５°,CD=BC=100０米,
∴CF=CD=500米，
∴ＤA=BE＋CF=(500+５０0)米，
故拦截点Ｄ处到公路的距离是（50０+５０0）米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,锐角三角函数的定义,正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2１．如图,已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过Ａ、B、Ｄ三点．过点Ｂ作BＥ∥AD，交⊙Ｏ于点E,连接ED
(１）求证:EＤ∥ＡC;
ﻬ(2)若BD＝2CD，设△ＥBD的面积为S1，△ＡDC的面积为S2,且S12﹣１6Ｓ2+4＝０,求△ＡBC的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程﹣配方法；圆周角定理．
【分析】（１)由ＡＤ是△ABC的角平分线，得到∠ＢAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD,等量代换得到∠Ｅ
=∠DAC，根据平行线的性质和判定即可得到结果；
(２)由BＥ∥ＡD，得到∠EＢD=∠ADC,由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果.
【解答】（１）证明:∵AD是△ＡBC的角平分线，
∴∠BAD＝∠ＤＡＣ，
∵∠E＝∠ＢAＤ,
∴∠E=∠DAC，
∵BE∥ＡD,
∴∠E＝∠ＥＤＡ,
∴∠EＤA=∠DＡC,
∴ED∥AC;
(2)解：∵BE∥AD,
∴∠EBD＝∠ADＣ,
∵∠E=∠ＤAC，
∴△ＥBD∽△ADC,且相似比k=，
∴=ｋ2=4,即ｓ1=4s2,
∵﹣16S2+4=0,
∴１6﹣１6S2＋4＝０,
即=0,
ﻬ∴Ｓ2＝，
∵===＝3,
∴S△AＢＣ＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,角平分线的性质,平行线的性质,记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
２2．如图,在平面直角坐标系中,抛物线w的表达式为y=﹣,抛物线w与Ｘ轴交于A、B 两点（B在A右侧）与y轴交于点Ｃ，它的对称轴与ｘ轴交于点D,直线L经过C、D两点.
(1)求A、B两点的坐标及直线Ｌ的函数表达式;
（２)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′,设抛物线Ｗ′的对称轴与直线L交于点F,当△AＣF 是直角三角形时，求点F的坐标,并直接写出抛物线W′的函数表达式．
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换.
【分析】（1)根据自变量与函数值对应关系,当函数值为零时,可得A、B点坐标,当自变量为零时,可得Ｃ点坐标,根据对称轴公式,可得D点坐标,根据待定系数法,可得l的解析式；
（2）根据余角性质，可得∠1与∠3的关系,根据正切的定义,可得关于F点的横坐标的方程,根据解方程，可得Ｆ点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式．
【解答】解:（1)当y＝0时,﹣ x2+x+４=0,
解得x1=﹣3,ｘ2=７，
∴点Ａ坐标为（﹣3,0)，点Ｂ的坐标为(7,0）.
∵﹣=2,
∴抛物线ｗ的对称轴为直线ｘ＝２,
∴点D坐标为(2，0).
当x=0时,ｙ＝4,
∴点C的坐标为(0，4).
设直线l的表达式为ｙ＝kx＋b，,
解得，
∴直线ｌ的解析式为y=﹣2x＋4;
（２)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求,
即∠ＦAC＝90°，如图．
此时抛物线ｗ′的对称轴与x轴的交点为G,
∵∠1+∠2=90°∠2+∠３=9０°，
∴∠1=∠3，
∴tａn∠1＝tａn∠3，
∴＝.
设点F的坐标为(x F,﹣2ｘF+４),
∴＝，
解得xＦ=5,﹣2x F+4=﹣6，
∴点F的坐标为（5，﹣6），
此时抛物线w′的函数表达式为y=﹣x2+x;
ﻬ
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,(１）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式;（2)利用了余角的性质,正切函数的性质,利用等角的正切函数值相等得出关于F点横
坐标的方程是解题关键
23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形"，例如图1,图2,图3中,AＦ,BE是△ＡBC的中线，AF⊥BE,垂足为P,像△ＡBC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a,AC=ｂ，ＡB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°,c=２时,ａ=2，ｂ= 2．
如图2,当∠ABＥ＝3０°,c=4时，a= ２ ,b=2．
归纳证明
（2）请你观察（1)中的计算结果,猜想a2,b２，c２三者之间的关系,用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
(3)如图4,在▱ＡＢCD中，点E、F、G分别是AD，BＣ，ＣＤ的中点，ＢE⊥ＥG，ＡD＝2,AB=3，求AF的长．
【考点】相似形综合题.
【专题】压轴题．
ﻬ【分析】（１）由等腰直角三角形的性质得到AＰ=BP＝AＢ=2，根据三角形中位线的性质,得到
EF∥AB,EF＝AB=，再由勾股定理得到结果；
（２)连接EF,设∠ABＰ=α,类比着(1）即可证得结论．
(３）连接AC交EF于Ｈ，设BＥ与AF的交点为P,由点Ｅ、G分别是AD,CＤ的中点,得到EG是△ACD 的中位线于是证出BE⊥ＡC，由四边形ABCD是平行四边形,得到AＤ∥BC，ＡD=BC=2,∠ＥAH=∠FCH
根据E，F分别是AD,BC的中点，得到AE=BF=ＣＦ=AD=，证出四边形ABＦE是平行四边形,证得ＥH=FＨ,推出EH，AH分别是△AＦE的中线,由(２）的结论得即可得到结果．
【解答】解：(1)∵ＡＦ⊥BE,∠ABE＝４５°,
∴AP＝BP=AB=2,
∵AF，BE是△ABC的中线,
∴EF∥ＡB，EF=AB=,∴∠ＰFE=∠PEF＝45°,
∴PE＝ＰF=1,
在Rt△FＰB和Rt△PEA中, AE=BＦ==,
∴ＡＣ=BＣ=２,
∴a＝ｂ=2,
如图2，连接EF,
同理可得:EＦ=×4=2,
∵EＦ∥ＡB,
∴△PＥF~△ＡBP，
∴,
在Rｔ△ABＰ中，
AB=4,∠AＢP=3０°，
∴AP=2,PB=2,
∴PF=１,PE=,
在Ｒｔ△APE和Ｒt△BＰＦ中,
AE=,ＢF=,
∴a=２，b=2，
故答案为：２,2,2,2;
(2)猜想:a2+b2=5c2，
如图3,连接EＦ,
设∠ABＰ=α,
∴AＰ＝csｉnα,PB＝ccoｓα,
由(1）同理可得,ＰF＝PA=,PE=＝，
ＡE２=AP２+PE2＝c2sin2α+,BF2=PB2+PＦ2=+c2cｏs２α,
∴=c２sin２α+， =＋c２cos2α,
∴＋=+c2ｃｏs2α＋c２sin2α+,
∴ａ2+b２=5ｃ2;
（3)如图4,连接ＡＣ,EＦ交于Ｈ，ＡC与ＢE交于点Ｑ，设ＢE与AF的交点为Ｐ，∵点E、Ｇ分别是ＡD，ＣD的中点，
∴EＧ∥AC,
∵BE⊥EG,
∴BE⊥AＣ，
∵四边形ＡBCD是平行四边形，
∴AD∥BＣ，AD=BC＝2,
∴∠EAH＝∠ＦＣＨ,
∵E,Ｆ分别是AD,ＢC的中点,
∴AE=ＡD,BF＝BＣ，
∴AE＝BF=CF=AD=,
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3,AＰ=ＰF,
在△AＥH和△CＦH中，
,
∴△AEH≌△CＦH，
∴EH＝ＦH,
∴EＰ,AH分别是△ＡFE的中线,
由（２）的结论得:ＡＦ2+ＥF2＝5AE２,∴AＦ２＝5﹣EF2=16，
∴ＡＦ=４.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理，锐角三角函数,注意类比思想在本题中的应用．
ﻬ。