【浙教版】高中数学必修一期末第一次模拟试题附答案(1)

一、选择题
1．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t （分）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为
10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%．那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ）
A ．33分钟
B ．43分钟
C ．50分钟
D ．56分钟
2．已知函数23
()log f x x x
=-，(0,)x ∈+∞，则()f x 的零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
3．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数()
()2
21y f x f x λ=++-只有一个
零点，则实数λ的值是（ ） A ．
14
B ．
18
C ．78
-
D ．38
-
4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()2
2x
y x
x R =-∈的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知函数()()()2
331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值，则实数a
的取值范围是（ ） A ．
1
33
a <<B ．3a >C ．
31
33
a <<D ．3
3a >
6．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
7．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称
为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x x f x ⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦
的值域为（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,1-
C ．{}1,0-
D ．{}1,0,1-
8．对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若
()()2
{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．4
9．若函数()()12311a
x f x x a x x ⎧>⎪
=⎨⎪-+≤⎩
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
10．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）
A ．（0，1）
B ．()()3,01,2-⋃
C ．（－3，1）
D ．()()2,01,3-⋃
11．若集合2
{||31|2},{|
0},1
x A x x B x x -=-≥=≤-则()R C A B =（ ）
A．
1 [,2]
3
-B．∅C．
1
(,)(1,2]
3
-∞-⋃D．
1
,1(1,2]
3
⎛⎫
-⋃
⎪
⎝⎭12．已知全集U=R，集合()
{}{}
20,1
A x x x
B x x
=+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（）
A．()
2,1
-B．[][)
1,01,2
-C．()[]
2,10,1
--D．0,1
二、填空题
13．若函数2
44
y ax a x
=+-存在零点，则实数a的取值范围是______．
14．已知函数
2
()log(2)
f x x
=+与2
()()1
g x x a
=-+，若对任意的
1
[2,6)
x∈，都存在2
[0,2]
x∈，使得()()
12
f x
g x
=，则实数a的取值范围是______．
15．已知0
a>，函数()
y f x
=，其中
2
1
()log
f x a
x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，若对任意
1
,1
2
t
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，函数()
y f x
=在区间[,1]
t t+上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为_______．16．函数
()()()
2
1
2
log24
f x ax x a R
=-+∈，若()
f x的值域为(],1
-∞，则a的值为
______.
17．关于函数
2
1
()
11
x
f x
x
-
=
+-
的性质描述，正确的是_________.
①()
f x的定义域为[-1，0)∪(0，1]；②()
f x的值域为R；
③在定义域上是减函数；④()
f x的图象关于原点对称.
18．已知函数
2262
()
2
x ax x
f x a
x
x
⎧-+
⎪
=⎨
>
⎪⎩
，≤，
，
是R上的减函数，则a的取值范围为
______．
19．非空集合G关于运算⊕满足：①对任意,a b G
∈，都有a b G
+∈；②存在e G
∈使得对于一切a G
∈都有a e e a a
⊕=⊕=，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；
③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；
④{}
2,,
G x x a b a b Q
==+∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是________（请填写编号）
20．已知全集U =R 集合1|
1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭
，则U
A
_______.
三、解答题
21．已知函数4()log (41)x f x kx =++与44()log (2)3
x g x a a =⋅-，其中()f x 是偶函数． （Ⅰ）求实数k 的值； （Ⅱ）求函数()g x 的定义域；
（Ⅲ）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围． 22．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(,0)x ∈-∞时，1
()1f x x x
=++． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()()2
24g x f x x x =+-，证明：函数()g x 的图像在区间1,
内与x 轴恰有
一个交点．
23．已知函数2()46f x ax x =-+．
（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 24．设13
1()log 1ax
f x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．
（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3x
f x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭
恒成立，求实数m 的取值范围．
25．若函数f (x )()()2211,02,0
b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.
（1）求b 的取值范围；
（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式. 26．若全集U =R ，集合
{23},{27},{(4)(3)0}A x a x a B x x C x x x =-≤≤+=≤≤=-+≥.
（1）当3a =时，求,()U A B A C B ；
（2）若A
C A =，求实数a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据已知条件可得出1020
0.1
0.2
m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可求得m 、a 的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后令1h =求出t 的值，即可得解. 【详解】
由题意可得10
200.10.2m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得1101202
m a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，101220t h =⨯， 令101
2120
t
h =⨯=，可得10220t =，
所以，()()210lg10lg 2101lg 210lg 2010 1.3
10log 2043lg 2lg 2lg 20.3
t ++⨯==
==≈≈（分钟）. 因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中的条件，结合给定的函数模型以及题中的数据求解函数模型的解析式，即可求解.
2．C
解析：C 【分析】
由题意结合零点存在定理确定()f x 的零点所在的区间即可. 【详解】
由题意可知函数()23
f x lo
g x x
=
-在()0,+∞上单调递减，且函数为连续函数， 注意到()130f =>，()1202f =
>，()231log 30f =-<，()3
4204
f =-<， 结合函数零点存在定理可得()f x 的零点所在的区间是()2,3. 本题选择C 选项. 【点睛】
应用函数零点存在定理需要注意： 一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上只有一个零点.
3．C
解析：C 【分析】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，结合()f x 为奇函数进行化简，利用一元二次方程判别式列
方程，解方程求得λ的值. 【详解】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，则()
()()221f x f x f x λλ+=--=-，因为()f x 是R 上
的单调函数，所以221x x λ+=-，即2210x x λ++=-.依题意可知2210x x λ++=-有且只有一个实数根，所以()1810λ∆=-+=，解得78
λ=-. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
分析函数()()2
2x
f x x
x R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.
【详解】
令()2
2=-x
f x x ，该函数的定义域为R ，()()()2
22
2x
x
f x x x f x --=--=-=，
函数()2
2=-x
f x x 为偶函数，排除B 、D 选项；
又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．C
解析：C 【分析】
令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩
，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.
【详解】
令()()()22
333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦
， 由题意可得()()()()23301log 0
126log 0g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩
，
可得311log 3
a -<<
，解得1
3a <<
故选：C. 【点睛】
思路点睛：求解一次函数不等式在区间上恒成立，一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可，即可得出关于参数的不等式，求解即可.
6．A
解析：A 【分析】
由5
51112
,2332log -<<<，81
52
log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
52
112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，1
2881582
log log >=， a b c ∴<<.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
7．C
解析：C 【分析】
先求出函数()21
122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x x
f x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
的值域. 【详解】
()21121111
=122122212
x x x x x
f x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，
()1
0,112
x
∴
∈+， ()1
1,012
x
∴-
∈-+，
1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭
， 即函数()21
122
x x
f x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：
函数()21122x x
f x ⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦
的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】
方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
8．C
解析：C 【分析】
根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值． 【详解】
由2
3(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，
2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，
∴2(1),12
()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩
或，
∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数，
∴min ()(2)1M x M ==． 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是确定新定义函数的解析式，根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式，然后根据分段函数研究新函数的性质．
9．C
解析：C 【分析】
由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】
因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a
>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩
，故23
34a <≤，
故选：C 【点睛】
本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．
10．B
解析：B 【分析】
化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】
因为2
{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，
26{|}(32)0,B x x x =+-<=-
所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.
11．D
解析：D 【分析】
解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项. 【详解】
由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.由
2
01x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩
，解得12x <≤，所以()R C A B =1,1(1,2]3⎛⎫
-⋃ ⎪⎝⎭
.
故选：D. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出
()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.
【详解】
(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}
1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，
由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，
{|21}A B x x ⋃=-<≤，
∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或
01}x ≤≤，
故选：C 【点睛】
本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.
二、填空题
13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有
解析：30,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交
点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】
解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =
-，
则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交
点， 如图：
函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-
2421a
a =+，解得33a =±，由图像可知，0a >，所以33
a =，
所以()()4f x a x =+与2()4g x x =
-3
03
a ≤≤
. 故答案为：3⎡⎢⎣⎦
.
【点睛】
本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.
14．【分析】由对数函数的性质可得转化条件为由二次函数的图象与性质即可得解【详解】因为所以即函数的图象开口朝上对称轴为①当函数在上单调递增所以即所以解得；②当时函数在上单调递减所以即所以解得；③当时所以解
解析：1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦
【分析】
由对数函数的性质可得()123f x ≤<，转化条件为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】
因为1[2,6)x ∈，所以()()()126f f x f ≤<即()123f x ≤<，
函数2
()()1g x x a =-+的图象开口朝上，对称轴为x a =，
①当0a ≤，函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以()()()202g g x g ≤≤， 即()2
2
21,45g x a a a ⎡⎤∈+-+⎣⎦，
所以22
12
4530a a a a ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，解得10a -≤≤；
②当2a ≥时，函数()g x 在[0,2]上单调递减，所以()()()220g g x g ≤≤， 即()2
2
245,1g x a a a ⎡⎤∈-++⎣⎦，
所以22
452
132a a a a ⎧-+≤⎪+≥⎨⎪≥⎩
，解得23a ≤≤；
③当01a <≤时，()()2
2max 245g x g a a ==-+，()()2min 12g x g a ==<，
所以245301
a a a ⎧-
+≥⎨<≤⎩，解得02a <≤
④当12a <<时，()()2
2max 01g x g a ==+，()()2min 12g x g a ==<，
所以21312
a a
⎧+≥⎨<<⎩2a
≤<；
综上，实数a 的取值范围是1,22,3⎡⎡⎤-⎣
⎣⎦
. 故答案为：1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦
.
【点睛】
解决本题的关键是将条件转化为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.
15．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上
解析：23⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， 【分析】
由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，
+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
因为()f x 在区间[1]t t ，
+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，
+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则221
1()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
， 得1
121a a t
t ⎛⎫+≤+
⎪+⎝⎭
，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立．
令2
()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a
=-
-<的抛物线，
所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2
(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
， 即2
11(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭
，解得23a ≥，
所以a 的取值范围为2
3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，． 故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
. 【点睛】
关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2
(1)10at a t ++-≥对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，根据二次函数性质求解. 16．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题
解析：27
【分析】
根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】
因为()()
()2
12
log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>，
函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪
⎩
，解得2
7a =，
故答案为：2
7
【点睛】
本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.
17．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单
解析：①②④ 【分析】
求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】
函数()f x =2
1011
x x ⎧-⎪⎨
+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为
[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．
当[1x ∈-，0)时(][
)(]2
211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒=
==-∞∈⇒， 当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞
⇒()[0f x =
==，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．
③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．
④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]
，()11f x x x
==+-，则()()f x f x -=-，
()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
18．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键
解析：[2，20 9
]
【分析】
由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求．【详解】
解；
226,2
()
,2
x ax x
f x a
x
x
⎧-+
⎪
=⎨
>
⎪⎩
是R上的减函数，
∴
2
446
2
a
a
a
a
⎧
⎪
⎪
>
⎨
⎪
⎪-+
⎩
，
解可得，
20
2
9
a．
故答案为：
20 2,
9⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．
19．①④【分析】逐一验证每个选项是否满足融洽集的两个条件若两个都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】①对于任意的两非负整数仍为非负整数所以取及任意的非负整数则因此是非负整数集：实数的加法是融洽集解析：①④
【分析】
逐一验证每个选项是否满足“融洽集”的两个条件，若两个都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”.
【详解】
①对于任意的两非负整数,,a b a b +仍为非负整数， 所以a b G +∈，取0e =及任意的非负整数a ， 则00a a a +=+=，因此G 是非负整数集，
⊕：实数的加法是“融洽集”；
②对于任意的偶数a ，不存在e G ∈， 使得a e e a a ⊕=⊕=成立， 所以②的G 不是“融洽集”； ③对于{G
二次三项式}，若任意,a b G ∈时，
则,a b 其积就不是二次三项式，故G 不是“融洽集”；
④{}
,G x x a a b Q ==+∈，设1,x a a b Q =+∈，
212,,(,x c c d Q x x a c b d a c b d Q =+∈+=+++++∈，
所以12x x G +∈；取1e =，任意,11a G a a a ∈⨯=⨯=， 所以④中的G 是“融洽集”. 故答案为:①④. 【点睛】
本题考查对新定义的理解，以及对有关知识的掌握情况，关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件，属于中档题.
20．【分析】先解分式不等式确定集合A 再求补集即可【详解】则故答案为：【点睛】本题考查补集运算准确求得集合A 是关键是基础题 解析：[0,1)
【分析】
先解分式不等式确定集合A,再求补集即可 【详解】
()1|1=,0[1,)A x x ⎧⎫
=≤-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭
，则
[0,1)U
A
故答案为：[0,1) 【点睛】
本题考查补集运算，准确求得集合A 是关键，是基础题
三、解答题
21．（Ⅰ）1
2
k =-；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）{}()31,-⋃+∞． 【分析】
（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解； （Ⅱ）转化条件为4
203
x
a a ⋅-
>，按照0a >、0a <分类，即可得解；
（Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程()
()
2
2
42
12
23
x
x
x
a a +=-
⋅有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解. 【详解】
（Ⅰ）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =-，∴44log (41)log (41)x x
kx kx -++=+-，
∴441log 241x x kx -+=-+，∴44(41)
log 241x x x
x kx +==-+， 即(21)0k x +=对一切x ∈R 恒成立，
∴1
2
k =-
； （Ⅱ）要使函数()g x 有意义，需4
203
x
a a ⋅->， 当0a >时，4
23x
>，解得24log 3
x >， 当0a <时，423x <
，解得24log 3
x <， 综上可知，当0a >时，()g x 的定义域为24log ,3⎛
⎫+∞ ⎪⎝
⎭
； 当0a <时，()g x 的定义域为2
4,log 3⎛
⎫
-∞ ⎪⎝⎭
； （Ⅲ）∵()()()F x f x g x =-4414log (41)log 223x
x x a a ⎛
⎫=+--⋅- ⎪⎝
⎭只有一个零点， ∴方程4414log (41)log 223x
x x a a ⎛
⎫+=
+⋅- ⎪⎝
⎭有且只有一个实根， 即方程2
444444log (41)log 4log 2log 2233x
x x
x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=+⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦有且只有一个实根，
亦即方程()
()
2
2
42
1223
x
x
x
a a +=-
⋅有且只有一个实根， 令2x t =（0t >），则方程2
4(1)103
a
a t t ---=有且只有一个正根， ①当1a =时，3
4
t =-
，不合题意； ②当1a ≠时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，
由0∆=可得2
44(1)03a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，解得34a =或3- 若3
4
a =
，则2t =-不合题意，舍去；
若3a =-，则1
2
t =
满足条件； 若方程有两根异号，则2
44(1)03101
a a a ⎧⎛⎫
∆=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨-⎪<⎪-⎩，∴1a >， 综上所述，实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．（1）()11,00,01
1,0
x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪
==⎨⎪⎪+->⎩
；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，利用()()f x f x =-- 求当(0,)x ∈+∞时的解析式，结合(0)(0)f f =-即可得答案；
（2）先利用定义证明当(1,)x ∈+∞时， 1
()1f x x x
=+
-递增，结合224y x x =-在(1,)+∞单调递增，可得()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，利用零点存在性定理可
得答案. 【详解】
（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，
所以11()()11f x f x x x x x ⎛⎫
=--=--+
+=+- ⎪-⎝
⎭ 当0x =时，(0)(0)f f =-， 所以()0f x =.
所以()11,00,0
1
1,0
x x x f x x x x x ⎧
++<⎪⎪
==⎨⎪⎪+->⎩
（2）当(1,)x ∈+∞时，由（1）知1
()1f x x x
=+
-，
设121x x <<，则12121211
()()11f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
121211
x x x x =-+
-()()()1212121212111x x x x x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->, 所以12())0(f x f x -<，即
12()()f x f x <,所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增.又因为224y x x =-在(1,)+∞单调递
增，
所以()()2
24g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，
又因为()()()3
11210,202
g f g =-=-<=>，即()()120⋅<g g ， 所以函数()g x 在1,
恰有一个零点．
即函数()g x 的图象在区间1,内与x 轴恰有一个交点.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断
()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x ->
可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 23．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（2）[)2,+∞.
【分析】
（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；
（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】
（1）因为(
)
2
2log 46y ax x =-+的值域为R ，所以2
46y ax x =-+的值域包含
()0,∞+，
当0a =时，2
46y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足； 当0a ≠时，则有016240
a a >⎧⎨
∆=-≥⎩，所以2
03a <≤，
综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）当1a >时，log a
y x =在()0+∞，
上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上
递增，
所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩
，所以2a ≥，
当01a <<时，log a y x =在()0+∞，
上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，
所以()2
330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩
，此时a 无解，
综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】
思路点睛：形如()()()2
lg 0f x ax bx c
a =++≠的函数，
若函数的定义域为R ，则有0
0a >⎧⎨∆<⎩；
若函数的值域为R ，则有00a >⎧⎨∆≥⎩. 24．（1）1a =-；（2）8
9
m <.
【分析】
（1）由奇函数的性质()()
0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；
（2）转化条件为131log 1
13x
x x m x +<⎛⎫
- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令
()[]131log ,2,41
13x
x g x x x x ⎛⎫
-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.
【详解】
（1）因为1
3
1()log 1ax
f x x -=-为奇函数， 则1
113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤
⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ ()
2
12
3
1log 01ax x -==-， 则()2
2
111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()1
133
1()log log 11x
f x x -==--，不合题意；
当1a =-时，13
1()log 1x f x x +=-，由
101x
x +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；
（2）由1()3x
f x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131lo
g 113x
x x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，
则131log 113x
x x m x +<⎛⎫
- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，
令()[]131log ,2,41
13x x g x x x x ⎛⎫
-+=+⎝⎭∈- ⎪，
因为函数12111x y x x +=
=+--在[2,4]上单调递减， 所以函数1
3
1log 1x
y x +=-在[2,4]上单调递增， 所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 3
2log 18
299
3g x g -
===+， 所以89
m <
. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.
25．（1）12b ≤≤；（2）()()2
3610,2323,2x x f g x x x ⎧
+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩
；
[]2
65,0
()23,0
x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】
（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果； （2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]
()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式. 【详解】
解：（1）因为任意的12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有
()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，
故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12
b >
；
当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202
b x -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ .
综上，b 的取值范围是12b ≤≤；
（2）当b =2时，231,0(),0
x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-
时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32
x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩
； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，
当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22
()()23g f x g x x =-=-+， 故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨
-+≤⎩
. 【点睛】
关键点点睛： 本题解题关键在于：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.
26．（1）[2,6],()(,6](7,)U A
B A
C B ==-∞+∞；（2）(,6][6,)a ∈-∞-+∞. 【分析】
（1）由集合的交、并、补的运算即可得解；
（2）由集合的包含关系可得：因为A
C A =，所以A C ⊆，再列不等式33a +≤-或
24a -≥，求解即可. 【详解】
解：（1）因为3a =，所以[1,6],A =又因为[2,7],B =所以(,2)(7,)U C B =-∞+∞， 故[2,6]A B =，()(,6](7,)U A C B =-∞+∞；
（2）因为A C A =，所以A C ⊆，
{}(4)(3)0(,3][4,)C x x x =-+≥=-∞-⋃+∞又 又集合{}
23[2,3],A x a x a a a =-≤≤+=-+
所以33a +≤-或24a -≥，
即6a ≤-或6,a ≥
故实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞.
【点睛】
本题考查了集合的交、并、补的运算，重点考查了集合的包含关系，属基础题.。