中考数学(四川专版) 中考总复习专项复习资料专题21 整式及其运算

考点二十一：整式及其运算
聚焦考点☆温习理解 一、单项式：
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式． 二、多项式：
由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项． 三．整式：
单项式和多项式统称为整式． 四．同类项：
多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 五．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：a m ·a n
＝a
m ＋n (m ，n 都是整数，a ≠0)
(2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn
(m ，n 都是整数，a ≠0) (3)积的乘方：(ab)n ＝a n ·b n
(n 是整数，a ≠0，b ≠0) (4)同底数幂相除：a m ÷a n
＝a m －n (m ，n 都是整数，a ≠0)
六．整式乘法
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式． 单项式乘多项式：m (a ＋b )＝ma+mb ；
多项式乘多项式：(a ＋b )(c ＋d )＝ac+ad+bc+bd 七．乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
(2)完全平方公式：(a ±b)2
=a 2
±2ab+b 2
． 八．整式除法
单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加． 名师点睛☆典例分类
考点典例一、整式的加减运算
【例1】 (2015.河北省，第21题，10分)老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
－3x ＝x 2
－5x ＋1.
(1)求所捂的二次三项式： (2)若61=
+x ，求所捂二次三项式的值.
【答案】 (1)x 2－2x ＋1; (2) 6
考点:整式的加减运算，代数式的值
【点睛】整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果． 【举一反三】
（2015.重庆市B 卷，第21题，10分）化简：
22(1)(1)(12)a a a +++-；
【答案】3a+3； 【解析】
试题分析：利用提取公因式法进行提取公因式，然后根据单项式乘以多项式的法则求出答案.
试题解析：原式=(a+1)(2a+2+1－2a)=3(a+1)=3a+3； 考点：整式的计算.
考点典例二、同类项的概念及合并同类项 【例2】（2015巴中）若单项式2
2a b
x y
+与4
13
a b x y --
是同类项，则a ，b 的值分别为（ ） A ．a =3，b =1 B ．a =﹣3，b =1 C ．a =3，b =﹣1 D ．a =﹣3，b =﹣1 【答案】A ． 【解析】
试题分析：∵单项式2
2a b
x y
+与4
13a b x y --是同类项，∴24a b a b -=⎧⎨+=⎩
，解得：a =3，b =1，故选A ．
考点：1．解二元一次方程组；2．同类项．
【点睛】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并． 【举一反三】
（2015.山东德州第4题，3分）下列运算正确的是（ ）
A ．835-=
B ．3
2
6
b b b ⋅= C ．495a a -=- D ．()
3
236ab a b =
【答案】D ．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．二次根式的加减法． 考点典例三、幂的运算
【例3】（山东临沂第3题，3分）下列计算正确的是（ ） (A) 2242a a a +=.
(B) 2363()a b a b -=-.
(C) 236a a a ⋅=. (D) 824a a a ÷=.
【答案】B
考点： 幂的运算
【点睛】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 【举一反三】
1.（2015.重庆市A 卷，第4题，4分）计算()
3
2a b 的结果是（ ） A. 63a b B. 23a b C. 53a b D. 6a b 【答案】A. 【解析】
试题分析：根据积的乘方，分别乘方，再由幂的乘方得出结果：3
633232)()(b a b a b a =∙=.故选：A.
考点：积的乘方、幂的乘方运算法则.
2. (2015.陕西省，第3题，3分)下列计算正确的是（ ）
A.6
32a a a =∙ B.2224)2(b a ab =-
C.532)(a a =
D.ab b a b a 332
2
2
3
=÷
【答案】B 【解析】
试题分析：根据同底幂乘法，积的乘方，幂的乘方和整式的除法逐一计算作出判断： A. 323256a a a a a +⋅==≠，故本选项错误；
B. 2
224ab)2(b a =-，故本选项正确； C. 63
23
2a )a (==⨯a
，故本选项错误；
D. ab 3332
2
2
3
≠=÷a b a b a ，故本选项错误．
故选B ．
考点：同底幂乘法，积的乘方，幂的乘方和整式的除法. 考点典例四、整式的乘除法.
【例4】计算2x （3x 2
+1），正确的结果是（ ）
A ．5x 3
+2x B ．6x 3
+1 C ．6x 3
+2x D ．6x 2
+2x 【答案】C.
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算即可：2x （3x 2
+1）=6x 3
+2x. 故选C.
考点：单项式乘多项式.
【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【举一反三】
23a (2a)⋅-=（ ）
A.312a -
B. 36a -
C. 312a
D. 26a 【答案】C.
【分析】根据单项式乘单项式运算法则计算即可：
2233a (2a)3a 4a 12a ⋅-=⋅=.
故选C.
考点：单项式乘单项式.
考点典例五、整式的混合运算及求值
【例5】先化简，再求值：()()()2
a a 3
b a b a a b -++--，其中1
a 1
b 2
==-，． 【答案】
54
. 【解析】
考点：整式的混合运算—化简求值.
【点睛】注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算． 【举一反三】
1.化简：2(a b)(a b)(a b)2ab ++-+-；
【答案】解：原式22222a 2ab b a b 2ab 2a =+++--=. 考点：整式的运算.
【分析】根据整式的运算顺序，先应用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可. 2.化简：()()2
a 121a ++-.
【答案】解：()()2
22a 121a a 2a 122a a 3++-=+++-=+. 考点：整式混合运算.
【分析】根据整式混合运算的法则进行计算即可． 课时作业☆能力提升 一、选择题
1.(2015·湖北荆门，2题，3分)下列计算正确的是（ ）
A ．235a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．235()a a =
D ．523a a a ÷= 【答案】D ． 【解析】
试题分析：A ．不是同类项不能合并，故A 错误； B ．同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B 错误； C ．幂的乘方底数不变指数相乘，故C 错误； D ．同底数幂的除法底数不变指数相减，故D 正确；
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方． 2.（2015·辽宁沈阳）下列计算结果正确的是（ ）
A ．428
a a a ⋅= B ．52
7
()a a = C ．222()a b a b -=- D ．222()ab a b =
【答案】D ．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法；3．完全平方公式． 3. (2015.天津市，第13题，3分)计算5
2x x ⋅的结果等于 ． 【答案】7x . 【解析】
试题分析：根据同底数幂的相乘的运算法则可得7
52x x x =⋅. 考点：同底数幂的相乘的运算法则.
4.（2015·湖北鄂州，3题，3分）下列运算正确的是（ ） A ．a 4
·a 2
=a 8
B ．(a 2 )4=a 6
C ．(ab)2=ab 2
D ．2a 3÷a=2a
2
【答案】D. 【解析】
试题分析：根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及单项式除以单项式的运算法则进行计算即可得出正确答案.
试题解析：A ．a 4
•a 2
=a 4+2
=a 6
≠a 8
,故该选项错误； B ．（a 2
）4
=a
2×4
=a 8≠a 6
，故该选项错误；
C ．（ab ）2=a 2b 2
≠ab 2
，故该选项错误； D ．2a 3
÷a=2a 2
，故该选项正确；
考点：1.同底数幂的乘法；2.积的乘方与幂的乘方；3.合并同类项. 5.（2015资阳）下列运算结果为6
a 的是（ ）
A ．23a a +
B ．23a a ⋅
C ．23
()a - D ．82
a a ÷
【答案】D ．
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方． 6.当x=1时，代数式ax 3
﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（ ） A ． 7 B ．
3 C ．
1 D ． ﹣7
【答案】C ． 【解析】
试题分析：x=1时，12ax 3﹣3bx+4=1
2
a ﹣3b+4=7， 解得
1
2
a ﹣3b=3， 当x=﹣1时，12ax 3﹣3bx+4=﹣1
2
a+3b+4=﹣3+4=1．
故选C ．
考点：代数式求值．
7.苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ） A ．（a+b ）元 B ．（3a+2b ）元 C ．（2a+3b ）元 D ． 5（a+b ）元 【答案】C. 【解析】
试题分析：单价为a 元的苹果2千克用去2a 元，单价为b 元的香蕉3千克用去3b 元，
共用去：（2a+3b ）元． 故选C ．
考点：列代数式．
8.（2015·湖南常德）下列等式恒成立的是：（ ）
A 、2
2
2
()a b a b +=+ B 、2
22
()ab a b = C 、426a a a += D 、224a a a +=
【答案】B
二、填空题
1.（2015.山东青岛第9题，3分）计算：.________232
723=÷-⋅a a a a 【答案】5
a 【解析】
试题分析：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减. 原式=35
a －25
a =5
a . 考点：同底数幂的计算.
2.（2015·湖南常德）计算：(25)(32)b a b a a b ++-＝ 【答案】 【解析】
试题分析：这是一个整式的运算题，根据乘法运算与加法运算法则可以解，即
(25)(32)b a b a a b ++-=2ab+52b +32a -2ab=52b +32a .
答案为：2
2
53b a +
考点：整式的运算
3.（2015·湖南株洲）如果手机通话每分钟收费m 元，那么通话a 分钟，收费 元。

【答案】am 【解析】
试题分析：根据公式：收费＝单价×时间 考点：列代数式 三、解答题
1（2015·湖南长沙）先化简，再求值：(x+y)(x －y)－x(x+y)+2xy ，其中x=()
3p -，y=2.
【答案】xy －2y ；－2
考点：代数式的化简求值.
2.（2015·湖南益阳）（8分）化简：（x+1）2
﹣x （x+1）． 【答案】x+1 【解析】
试题分析：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法与计算公式是解决问题的关键.利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可. 试题解析：原式=x 2
+2x+1﹣x 2
﹣x=x+1． 考点：整式的混合运算
13．先化简，再求值：（a+2b ）2
+（b+a ）（b ﹣a ），其中a=﹣1，b=2． 【答案】12. 【解析】
试题分析：先根据完全平方公式、平方差公式把括号展开，再合并同类项，最后把a=﹣1，b=2代入求值即可．
试题解析：（a+2b ）2
+（b+a ）（b ﹣a ）
=a 2+4ab+4b 2+b 2﹣a 2
=4ab+5b 2，
当a=﹣1，b=2时，原式=4×（﹣1）×2+5×22=12．
考点：整式的化简求值．
4.(2015·湖北衡阳，21题，分)（本小题满分6分）先化简，再求值
()()22a a b a b -++，其中1a =-，2b =． 【答案】原式＝222a b +
∵1a =-，2b =
∴222a b +＝22+＝4．
考点： 整式的乘法；代数式化简求值
5.（2015.重庆市A 卷，第21题）计算：
2)()2(y x y x y ++-
【答案】xy x 42+.
【解析】
试题分析：先观察发现此题是由两部分构成，单项式乘多项式、完全平方公式；
试题解析：原式=xy x y xy x y xy 4222
222+=+++-.
考点：整式的运算、乘法公式.
6.(2015.北京市，第18题，5分)已知2a 2＋3a －6＝0，求代数式3a (2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)的值.
【答案】7
【解析】
试题分析：先化简代数式得到2a 2＋3a ＋1，再代入2a 2＋3a －6＝0得出结论.
考点：整式的化简求值。