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M D P 第28题
2019年数学中考压轴题
镇江
27．探索发现（本小题满分9分）如图，在直角坐标系
OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ，C 始终在x 轴的正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD ，OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，.2
1的面积恒为OAB Rt ∆
试解决下列问题：
（1）填空：点D 坐标为 ；
（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD 能否成立？为什么？
（4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论.
28．深化理解（本小题满分9分）
对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为,><x 即：当n 为非负整数时，如果.,2
1
21n x n x n >=<+<≤-
则 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①><π= （π为圆周率）；
②如果x x 则实数,312>=-<的取值范围为 ；
（2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时； ②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立； （3）求满足x x x 的所有非负实数3
4
>=
<的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数14
1
2
+<≤+
-=n x n x x x y 在的自变量范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为k n k a 的所有整数满足>=<;的个数记为
b .
求证：.2n b a ==
南京
28．(8分)如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点．点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B
停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连接EG 、FG ． （1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．
常州
28.（本小题满分10分）
如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点P 、Q 分别是AB 边和CD 边上的动点，点P 从点A B 运动，点Q 从点C 向点D 运动，且保持AP-CQ 。

设AP=x （1）当PQ ∥AD 时，求x 的值； （2）当线段PQ 的垂直平分线与BC 边相交时，求x 的取值范围；
（3）当线段PQ 的垂直平分线与BC 相交时，设交点为E ，连接EP 、
EQ ，设△EPQ 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出S 的取值范围。

无锡 28．（本题满分10分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个
侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如 图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴 （要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部 包贴满．本复习题由无锡市天一实验学校金杨建录制QQ ：623300747．转载请注明！ （1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD ；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
苏州
28．(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm ；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm ．图③是刘卫同学所做的一个
实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． (1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ ．
(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?
问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长
的三角形是直角三角形?
问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在， 求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．
29．(本题满分9分)如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为
(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m ，n)是抛物线上的一点(m 、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M 、B 、O 、A
为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB 2+PM 2
＞28是 图1 C N D B M A 图2
图3
否总成立?请说明理由．
南通 28．（本小题满分14分）
已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点． （1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；
（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积．
盐城
28．（本题满分12分）已知：函数y =ax 2
+x +1的图象与x 轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次．．
函数y =ax 2
+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段
PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线
y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．
连云港
27．（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直
线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有
－1 y x
O
（第28题） 1
2 3 4
－2 －4
－3 3 －1
－2 －3 －4 4 1 2 A
y
O
A
B
E
Q 图1 A
B
C
D Q
图2 A B x P
O ·
·
C y ________；
（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形
ABCD
＝S △ADE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不
写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的
面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
28．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙C 的圆心坐标为（－2，
－2），半径为2．函数y ＝－x ＋2B ，点P 为AB 上一动点 （1）连接CO ，求证：CO ⊥AB ；
（2）若△POA 是等腰三角形，求点P 的坐标；
（3）当直线PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线PO 与⊙C 相交时，设交点为E 、F ，
点M 为线段EF 的中点，令PO ＝t ，MO ＝s ，求s 与t 之间的函数关系，并写出t 的取值范围．
徐州 27．(本题8分)如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ．
(1)如图②，若M 为AD 边的中点，
①,△AEM 的周长=_____cm ；
②求证：EP=AE+DP ；
(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由．
28．(本题10分)如图，已知二次函数y=42
3
412++-
x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴
交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ． (1)点A 的坐标为_______，点C 的坐标为_______；
(2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个? 淮安
28．(本小题满分12分)
如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(12，0)，点B 坐标为(6，8)，点C 为OB 的中点，点D 从点O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周． (1)点C 坐标是( ， )，当点D 运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点D 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式表示△OCD 的面积S,并指出t 为何值 时，S 最大；
(3)点E 在线段AB 上以同样速度由点A 向点B 运动，如题28(b)图，若点E 与点D 同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D ，A ，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以 点A ．O 为对应顶点的情况)：
题28(a)图题28(b)图
宿迁
28．（本题满分12分）已知抛物线c bx x y ++=2
交x 轴于)0,1(A 、)0,3(B ，交y 轴于点C ，其顶点为D ．
（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称
轴； （2）连接BC ，过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；
（3）问Q 抛物线上是否存在点Q ，使得
△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面
积的3
1
？若存在，求出点Q 的坐标；
若不存在，请说明理由． 泰州
27．如图，二次函数c x y +-
=2
2
1的图象经过点D ⎪⎭
⎫
⎝⎛
-29,
3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；
⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；
⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
x
y
O
D
C
B
A （第28题） E M x
y
O
D
C
B A
（第28题2）。