第9章：整式乘除与因式分解：乘法公式复习讲义 2020-2021学年苏科版数学七年级下册

乘法公式复习讲义
一、平方差公式及其应用
（一）简便运算
1．计算22222100-9998-972-1++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．5048
B ．50
C ．4950
D ．5050
2．已知(a+2018)(a+2020)=2019，求(a+2019)2的值.
3．计算：
22019
201920202018
=-⨯____________.
4．计算：()()()()()248162121212121+++++…()
2211n
++的值．
5．若124816326421111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)33333333A =-+++++++……21(1)13
n ++，则A 的值是 A ．0
B ．1
C ．
22
13n
D ．
1
2
13+n
（二）规律探究
1．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算()()()
248
(21)212121++++．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
()()()()()()()()()()2482482248(21)212121(21)(21)21212121212121++++=-++++=-+++()()()()()4488816212121212121=++=-+=--．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：()()()
248
(61)616161++++=____．
2．(1)观察下列各式： 32－12＝8×1， 52－32＝8×2， 72－52＝8×3，
…
探索以上式子的规律，试写出第n(n 为正整数)个等式； (2)运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性；
(3)请用文字语言表达这个规律，并用这个规律计算：20192－20172.
3．根据以下10个乘积，回答问题：
1129⨯；1228⨯；1327⨯；1426⨯；1525⨯； 1624⨯；1723⨯；1822⨯；1921⨯；2020⨯；
（1）试将以上各乘积分别写成一个平方差的形式，并写出其中一个的思考过程 （2）将以上10个乘积按照从小到大排列起来
（3）若用11a b ，22a b ，33a b ，....n n a b ，表示n 个乘积，其中123123,,,......,,,,,......,n n a a a a b b b b 为正数，试由（1）（2）猜测一个一般性的结论。

（不要求写证明）
二、完全平方公式及其应用
1．若4a 2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k=（ ） A ．12
B ．±12
C ．±6
D ．6
2．若多项式22m kmn n -+是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ） A ．1
B ．±1
C ．2
D ．2±
3．若多项式229x ax ++是一个二项式的完全平方，则a 的值可以为( ) A ．6
B ．6-
C ．3-
D ．9
4．若9a 2＋24ab ＋k 是一个完全平方式，则k 的值可能为( ) A ．2b 2
B ．4b 2
C ．8b 2
D ．16b 2
5．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则
222a b c ab ac bc ++---的值为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知2
,5a b b c -=-=且2221a b c ++=，则ab bc ac ++的值（ ）
A ．
1325
B ．225
-
C ．
1925
D ．
1825
7．若2()4m n -=，2()16m n +=，则22m n +的值为（ ） A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
8．若2(2)11a b +=，1ab =，则2(2)a b -的值是（ ） A ．9
B ．11
C ．7
D ．3
9．已知a+b=-7，ab=8，求下列各式的值： (1)a 2+b 2 (2)(a －b)2
10．已知6x y +=，xy=5，①求22x y +的值；②求x y -的值．
11．（1）已知4,2,a b ab +==求223a b ab +-的值； （2）已知210,a a +-=求3223a a ++的值．
12．如果实数a ，b 满足a+b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____． 13．若已知5x y +=-，6xy =，则22x xy y -+=______．
14．已知实数a 、b 满足3a b -=，2ab =，则22a b +的值为____．
15．已知实数x 满足x +1x x 2+21
x
=( ) A ．4 B ．3
C ．6
D ．5
16．已知13m m +=，则2
21m m
+=（ ） A ．7
B ．11
C ．9
D ．1
三、阅读材料与规律探究
1．如图的面积关系，可以得到的恒等式是（ ）
A ．m （a +b +c ）＝ma +mb +mc
B ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2
D ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2
2．利用若干块图①所示的长方形和正方形硬纸片可以拼出一些新的长方形，并用不同的方法计算它的面积，从而得到相应的等式．计算图②的面积可以得到等式
()()22232a b a b a ab b ++=++．
① ②
（1）计算图③的面积，可以得到等式__________；
③
（2）在虚线框中用图①所示的长方形和正方形硬纸片若干块（每种至少用一次），拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为22273a ab b ++，并把二次三项式22273a ab b ++分解因式．22273a ab b ++=_______________________；
（3）如图④，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若用x 、y 表示四个长方形的长和宽（x y >），观察图形，指出以下关系式正确的有__________个．
（a ）22
4m n xy -=
（b ）x y m += （c ）2
2
x y m n -=⋅ （d ）22
2
2
2
m n x y ++=
3．阅读材料并解答问题：
七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下：
图1中的面积可以表示为(a +b)2；图1中的面积又可以表示为a 2+2ab +b 2；所以这个图形说明了完全平方公式(a +b)2=a 2+2ab +b 2除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．
（1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________； （2）请画一个图形，使它的面积能表示(3a +b)(a +b)=3a 2+4ab +b 2．
4．我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如： ()()22232a b a b a ab b ++=++，
就可以用如图所示的面积关系来说明． (1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：()2
23x y --； (2)若22214x y z xy yz xz ，，
++=++=求x y z ++的值； (3)现有如图中的彩色卡片:A 型、B 型、C 型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为()a b +的100个立方体表面进行装饰，A 型、B 型、C 型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?
5．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J. Nplcr ，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若()0,1x
a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：
log a x N =.比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为
2525=.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
()()log log log 0,1,0,0a a a M N M N a a M N ⋅=+>≠>>；理由如下：
设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =
∴m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得()log a m n M N +=⋅ 又∴log log a a m n M N +=+ ∴()log log log a a a M N M N ⋅=+ 解决以下问题：
（1）将指数3464=转化为对数式______； （2）证明()log log log 0,1,0,0a
a a M
M N a a M N N
=->≠>> （3）拓展运用：计算333log 2log 6log 4+-=______.
6．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()2
0a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存
在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题： （1）()()2
2
25x y +≥__________（0x >，0y >）；2
21x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
___________（0x >）； （2）求()5
602x x x
+
>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式9
2200726
x x +
+-有最小值，并求出这个最小值.。