2021-2022年高考数学一轮复习专题11.4数学归纳法练理

2021年高考数学一轮复习专题11.4
数学归纳法练理
1. 已知n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明_______．
【答案】n=k+2时命题成立
【解析】因n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k 的下一个偶数是k+2 2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋> (n ∈N *)成立，其初始值至少应取_______． 【答案】8
【解析】左边＝1＋＋＋…＋＝112112
n -
-＝2－，代入验证可知n 的最小值是8. 3. 用数学归纳法证明“()()()()12212321n n n n n n +⋅+⋅
⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-”
，从“到”左边 需增乘的代数式_______． 【答案】
4. 若*11
1
()1()23
31
f n n n =++++
∈-N ，则对于， ． 【答案】+ + 【解析】由题知=*111
1()23
31
k N k +
+++
∈-，= ++ += ++ +，所以=+ + +. 5. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n
＋y n
能被x ＋y 整除”的第二步是____． 【答案】假设n ＝2k －1(k∈N *
)时正确，再推n ＝2k ＋1(k∈N *
)正确
【解析】因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k∈N *
)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k∈N *
)正确．
6. 已知为正偶数，用数学归纳法证明
1111111
12
2341242
n n n n
⎛⎫
-+-++=+++
⎪
-++
⎝⎭
时，若已知假
设为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证_______．【答案】时等式成立
【解析】由于为正偶数，已知假设为偶数，则下一个偶数为.
7. 若f(x)＝f1(x)＝
x
1＋x
，f n(x)＝f n－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…
＋f n(1)＝_______．
【答案】1
8. 已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)等于________．【答案】＋＋…＋
【解析】∵f(2k＋1)＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋…＋，
f(2k)＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
9. 【江苏省苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分10分）
设实数满足，且且，令．求证：．
【答案】详见解析
10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）xx届高三最后一次模拟考试】（本小题满分10分）
在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令.
（1）当时，求的值；
（2）求.
【答案】（1），，，（2）2
2(1)C , ()0,m m
n m F m m ⎧
⎪-=⎨⎪⎩为偶数，
为奇数．
0112233
110
C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； …………………8分
另一方面，2(1)(1)(1)n n n
x x x +-=-，中的系数为， 故．
综上，22(1)C , ()0,m m
n m F m m ⎧
⎪-=⎨⎪⎩为偶数，
为奇数．
……………………………………………10分
11. 【盐城市xx 届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）
记222
2
*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =+++++≥∈（.
（1）求的值；
（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明. 【答案】（1）(2)8,(3)44,(4)140f f f ===（2）.
12. 【江苏省扬州中学xx 学年第二学期质量检测】设数列（）为正实数数列，且满足. （1）若，写出；
（2）判断是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1）（2）是等比数列
【解析】（1）当时，012
1011011102C a a C a a a a a +=⇒=
13. 各项均为正数的数列对一切均满足．证明： （1）； （2）．
【解析】（1）因为，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．所以，
所以，且．因为2
221(1)1
222n n n n n n n
x x x x x x x -+--==---≥0．
所以，所以，即．
（注：用反证法证明参照给分） （2）下面用数学归纳法证明：． ① 当时，由题设可知结论成立； ② 假设时，，
当时，由（1）得，11
11
11211
21k k
k x x k k k +>
>=
=-
-++⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 由①，②可得，． 下面先证明．
假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．
14. 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；
(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (其中a ＞0且a≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与log a b n ＋1的大小，并证明你的结论.
【解析】(1)设数列{b n }的公差为d ，
由题意得11110101
101452
b b d ⎧⎪
⎨⎪⎩＝，（－）＋＝∴b n ＝3n －2.
(2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a ＋…＋log a
＝log a 111111432n ⎛⎫⎛⎫
⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（＋）＋＋
而log a b n ＋1＝log a ，于是，比较S n 与log a b n ＋1的大小比较 (1＋1)与的大小. 取n ＝1，有1＋1＝>＝， 取n ＝2，有(1＋1)>>＝.
（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围； （Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，211
(
)11
n n a f n a n +'=-+-+，已知求证：
（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较
123
111
1
1111n
a a a a ++++
++++与的大小，并说明理由. 【解析】 (Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b ∴
∴222
22()a ax x a
f x a x x x -+'=+-=
要使函数在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内恒大于等于0或恒小于等于0， 当a=0时，在（0，+∞）内恒成立；
当n=k+1时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++ 所以当n=k+1时不等式成立，
综上得对所有时，都有 10分
（Ⅲ）由（2）得2
11112(1)1(22)1n n n n n a a n a a a n ----=--+=-++
[]112(1)222121n n a n n a --≥-+-++=+
于是 所以 ， 累称得：则
11
111
(2)121n n n a a -≤⋅≥++ 所以
211211111111(1)1111222
n n a a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+++++ .。