数列的概念单元测验试卷 百度文库

一、数列的概念选择题
1．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）
A ．21n a n =-
B ．()1(21)n
n a n =--
C ．()
1
1(21)n n a n +=--
D ．()
1
1(21)n n a n +=-+
2．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[
)3,+∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
3．已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-，则10a ＝（ ）
A ．35
B ．40
C ．45
D ．50
4．已知数列{}
ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）
A ．13i =，33j =
B ．19i =，32j =
C ．32i =，14j =
D ．33i =，14j =
5．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n
n n a a n +=+⋅，则15a =（ ）
A ．151422⋅+
B ．141322⋅+
C ．151423⋅+
D ．151323⋅+
6．已知数列,21,
n -21是这个数列的（ ）
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第21项
7．的一个通项公式是（ ）
A ．n a =
B ．n a =
C ．n a =
D ．n a =
8．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）
A ．()2
1n a n n =-- B ．2
1n a n =-
C ．()12
n n n a +=
D ．()
12
n n n a -=
9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.
10．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220n
n x b x -+=的实数根，
则10b 等于（ ） A ．24
B ．32
C ．48
D ．64
11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343
a =，454a =，56
5a =，可归纳得
数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1
+=
n n a n
B ．2
1
n n a n +=
+ C ．3132
n n a n -=-
D ．221
n n
a n =
- 12．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，
1
1
12()n
n
n
S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）
A ．210
B ．211
C ．224
D ．225
13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174
B ．184
C ．188
D ．160
14．已知在数列{}n a 中，112,1
n n n
a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
11010
D ．
11009
15．已知数列{}n a 满足112n a +=+112
a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015
B ．2016
C ．1512
D ．
3025
2
16．已知数列{}n a 满足2122
1
1
1,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92 B ．102
C ．
81
82
D ．112
17．数列1
2，16，112，120
，…的一个通项公式是（ ） A ．()1
1n a n n =-
B ．()1
221n a n n =
-
C ．111
n a n n =
-+ D ．11n a n
=-
18．已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
，若{}n a 为周期数列，则1a 的
可能取到的数值有（ ） A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
19．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
二、多选题
21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
22．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩
为奇数
为偶数
B ．1(1)1n n a -=-+
C ．2sin
2
n n a π
= D ．cos(1)1n a n π=-+
23．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4
n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）
A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n
= B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1
{
}n
S 为递增数列
24．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)
2
12n a =
-，则关于数列
{}n a 的说法正确的是 （ ）
A ．27a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．2
21n a n n =+-
D ．数列{}n a 为周期数列
25．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
27．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有
m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）
A ．11285a a a a +=+
B ．56110a a a a <
C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103
a = D ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为递减的等差数列 28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
29．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
30．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）
A ．1d =-
B ．413a a =
C ．n S 的最大值为8S
D ．使得0n S >的最大整数15n =
31．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则280S S +=；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大
D ．若78S S <，则89S S <
32．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
33．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0
B ．10S 最小
C ．712S S =
D ．190S =
34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a
B ．35S
C ．1719a a -
D ．1916S S -
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】
数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n
n a n =--． 故选C ． 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．
2．D
解析：D 【分析】
利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】
11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，
由累加法可得
()()()()12132111232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
，
()122211
n a n n n n ∴
==-++，2222
2222222311n S n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
3．A
解析：A 【分析】
利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时，1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n
1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35
故选：A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2
≥时n a 的表达式．
(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．
4．C
解析：C 【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】
每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.
20211
110112
-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，
而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.
5．D
解析：D 【分析】
在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减
法求15a . 【详解】
12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，
12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅， 34332a a -=⋅
11(1)2n n n a a n ---=-⋅，
以上1n -个等式，累加得123
11122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅+
+-⋅①
又
2341
122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②
①- ②得23
112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅
12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，
(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，
151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，
故选：D 【点睛】
本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】
令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.
7．C
解析：C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】
因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，
，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】
由题知：410a =，
对选项A ，()2
444113a =--=，故A 错误；
对选项B ，2
44115a =-=，故B 错误；
对选项C ，()
4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()
444162
a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.
9．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
10．D
解析：D 【分析】
根据题意，得到1n n n a a b ++=，12n
n n a a +=，求得22a =，推出
1
1
2n n a a +-=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.
【详解】
因为n a ，1n a +是方程220n
n x b x -+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12n
n n a a +=，
又11a =，所以22a =； 当2n ≥时，1
12
n n n a a --=，所以
11
112n n n n n n
a a a a a a ++--==， 因此4102232a a =⋅=，5
111232a a =⋅=
所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.
11．A
解析：A 【分析】
将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】
因为12a =，232a =，343
a =，454a =，565a =，
故可得1223,12a a ==, 343
a =，454a =，56
5a =，
故可归纳得1
+=n n a n
. 故选：A. 【点睛】
本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.
12．D
解析：D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．
【详解】 解：结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，
得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．
13．A
解析：A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】
依题意：
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查累加法，属于中档题.
14．C
解析：C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=，即可求出. 【详解】
11
n n n a a n +=
+，即11n n a n a n +=+， 12
321123
21123
21
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n
=，
2020
21 20201010
a
∴==.
故选：C.
15．C
解析：C
【分析】
通过计算出数列的前几项确定数列{}n a是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】
依题意，
11 2
a=，
2
11
1
22
a=，
3
111
222
a=+=，
⋯
从而数列{}n a是以2为周期的周期数列，
于是所求值为
20161
(1)1512
22
⨯+=，
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.
16．B
解析：B
【分析】
本题先根据递推公式进行转化得到21
1
1
2
n n
n n
a a
a a
++
+
=．然后令1n
n
n
a
b
a
+
=，可得出数列{}
n
b是等比数列．即1
1
32
2
n
n
n
a
a
+
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．然后用累乘法可求出数列{}n a的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a的最大项．
【详解】
解：由题意，可知：
21
1
1
2
n n
n n
a a
a a
++
+
=．
令1
n
n
n
a
b
a
+
=，则
1
1
2
n n
b b
+
=．
2
1
1
16
a
b
a
==，
∴数列{}
n
b是以16为首项，1
2
为公比的等比数列．
1
11163222n n
n b -⎛⎫
⎛⎫
∴== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
．
∴11322n
n n a a +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
． ∴1
211322a
a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 2
3
21322a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
1
11322n n n a a --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
各项相乘，可得： 1
2
1
11
111(32)222n n n
a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
(1)
2
511()22n n n --⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
2115(1)
22
1122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
211
5522
12n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
21
(1110)
2
12n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
令2()1110f n n n =-+，
则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，
()f n ∴的最小值为20-． ∴2
11
(1110)(20)10
2
2
101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
．
∴数列{}n a 的最大项为102．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；
17．C
解析：C 【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ()
1
1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2
111
22221126
a ==≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.
11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯ 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选：C
18．B
解析：B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2
+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
③若13a =，则26a =，33a =，46a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意
的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列；
⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，
此时，{}n a 为周期数列；
⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.
下面说明，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
（1）当(
34
12,2a ⎤∈⎦
且1N a *
∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦
且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
⎤∈≥∈⎦
时. 若1a 为正偶数，则(11
22,22
k k a a +⎤=
∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，
由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
19．B
解析：B 【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，①
得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n
⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
20．C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
二、多选题 21．AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，，，，故A 正确；
对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
22．BD 【分析】
根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】
解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设
解析：BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】
解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；
选项B ：0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；
选项C ：，12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.
故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
23．AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；
解析：AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】
11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1
1104n n n S S S -≠∴
-= 因此数列1{
}n S 为以1
1
4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n
=+-=∴=，即A 正确；
当2n ≥时111144(1)4(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=--- 所以1,141,24(1)
n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
24．ABC 【分析】
由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，
所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，
解析：ABC 【分析】
由)
2
12n a =
-
1=，再利用等差数列的定义求
得n a ，然后逐项判断. 【详解】 当2n ≥
时，由)
2
12n a =-，
得)
2
21n a +=
，
1=，又12a =，
所以
是以2为首项，以1为公差的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
即2
21n a n n =+-，故C 正确；
所以27a =，故A 正确；
()2
12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；
数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC
25．BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列
解析：BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
26．AC 【分析】
先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，
所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的
解析：AC
【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，
所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题.
等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；
27．AC
【分析】
令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.
【详解】
令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确；
由，所以，故B 错误；
解析：AC
【分析】
令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可
判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；
122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，根据02>d ，可判定D 错误.
【详解】 令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；
由()()222
25611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B
错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333
a =+⨯=，故C 正确； 由()111222n
n n na d S d d n a n n -+⎛⎫=
=+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.
故选：AC .
【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法；
1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；
2、作商比较法：根据1(0n n n
a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.
28．ACD
【分析】
由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D.
【详解】
设等差数列的公差为，则，解得，
，，且，
对于A ，，故A 正确；
对于B ，的对称
解析：ACD
【分析】
由题可得16a d =-，0d <，21322
n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =
->，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+
222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；
对于B ，21322n d d S n n =
-的对称轴为132
n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822
d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确； 对于D ，令213022n d d S n n =
->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
29．AD
【分析】
设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为
所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，
解方程组得：，
所以，.
故选：AD.
解析：AD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460
a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45460a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.
故选：AD.
30．BCD
设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意，，所以，故A 错误；
所以，所以，故B 正确；
因为，
所以当
解析：BCD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1
215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意，1115411105112215
a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；
因为()
()2211168642
n n n a n d n n n S -=+=-+=--+， 所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，
所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确.
故选：BCD.
31．BC
【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
【详解】
A 选项，若，则，
那么.故A 不正确；
B 选项，若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为
【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
【详解】
A 选项，若1011091002
S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，
又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为()()116168916802
a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；
C 选项，若()115158151502
a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；
D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.
32．ABC
【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 解析：ABC
【分析】
由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=
所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩
时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
33．ACD
【分析】
由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.
【详解】
因为，所以，所以，即
解析：ACD
【分析】
由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.
【详解】
因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；
当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+
=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；
因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.
34．AC
【分析】
由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的
最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列中，
由，得，
又，联立解得，，
则，．
．
故正确，错误；
可得数列的
解析：AC
【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中，
由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963
a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
35．BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
解析：BD
【分析】
由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.
【详解】
因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =， 因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确； 135********()35235022
a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；
19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确. 故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。