高考数学复习之名师解题系列“中学数学典型问题策略”确定离散型随机变量的取值方法

离散型随机变量的问题(1)确定离散型随机变量的取值方法
授课人：江苏省高邮第一中学 潘梅耘 简介：中学高级教师 江苏省特级教师
一、内容概述
1.考点动态
离散型随机变量及其分布列及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题。

2.考点分析
重点：弄清随机变量的所有取值的含义。

它是正确列出随机变量分布列和求期望与方差的关键。

难点：概率模型的确定与转化。

用函数的观点理解随机变量的概率分布，正确确定随机变量的取值并准确求解相应概率。

3.考点误区
(1)随机变量的取值含义的混淆或遗漏， (2)概率模型辨析不准。

二、例题示范
例1、（1）在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗数可能有哪些结果？ （2）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的点数有哪些结果 ？
（3）口袋中有大小相同的3只白球和2只红球，从中摸出两个球，则摸到的白球个数有哪些可能？ 解答：（1）成活的树苗棵数X 可能结果有0，1，…10; （2）向上的点数Y 可能结果有1，2，3，4，5，6; （3）摸到的白球个数Z 可能结果有0，1，2.
答：上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：变量X=0,表示成活０棵；X=１,表示成活１棵；X=２,表示成活２棵；．．．．．．
问题：随机变量X →x ，X →x ＞７,表示什么意思？
答：随机变量X →x ，表示随机变量X 取的一个具体值x ，随机变量X →x ＞７,表示随机变量X 取的大于7的所有可能值。

解题反思：
每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射。

一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． 通常用大写拉丁字母,,X Y Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上
适当下标）表示随机变量取的可能值。

问题情景１(１)中的变量取值集合}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{，}0{=X （简记为0=X ）表示随机事件“成活的树苗数是０”
例2、一袋中装有编号为1，2，3，3，4的五只白球，从中任取一只球，记取到的白球的编号为X ，则X 的可能取值有哪些？每种取值的可能性多大？
随机事件 随机变量X 概率值P
解析式法
概率分布列
一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1,x 2, …,x n 且P(X=x i )=p i,（i=1,2, …,n ） 则称为随机变量X 的分布列，简称为X 的分布列.
⏹ 可以一一列出，也可写出通项
此表叫概率分布表，它和分布列都叫做概率分布，是展示随机变量概率分布的两种不同的形式.像函数一样，随机变量的概率分布也可以用图象来表示.
例3、（苏教版选修2-3P51例题3）同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数。

求两颗骰子中出现的较大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率)52(<<X P .
0.20.20.4
0.2P ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩1234
X X X X ====
因而X的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见表如下：
由古典概型可知X的概率分布如表所示：
从而2(<
P
反思：1.确定随机变量取值是求解随机变量的关键。

2.Pi的性质
（1）p i≥0(i=1,2,…,n) （2）p1+p2+ …+p n=1
3.求随机变量的分布步骤：
⏹ 1 定数字：随机变量的取值
⏹ 2 算概率：随机变量的每个取值对应的概率
⏹ 3 写分布：根据要求写出随机变量概率的分布列或分布表，并用性质验算。

解题小结：
方法1：枚举法将试验结果一一列出,从中抽象出随机变量的取值
例1 自然枚举：根据题意逐一写出试验结果，再确定相应取值
例2 韦恩图枚举：先枚举出所有的随机事件，再确定相应取值
例3 列表枚举：将所有的基本事件按序一一列出，再观察随机变量的取值
例4、(2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学18)
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气
温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
分析(1)：对于第(1)问你能搞清“一天的需求量不超过300瓶”的天数吗？
对，它对应于“气温不超过25度”的天数
解： （1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于C
25，从表中可知有54天，∴所求概率为
53
9054==
P .
深度剖析：
分析(2)：关键是抓住题中的“X,Y 对应关系”正确求出随机变量的值
（2）当最高气温低于C
20时，100445022506200-=⨯-⨯+⨯=y ；
当最高气温属于)25,20[时，300445021506300=
⨯-⨯+⨯=y ；
当最高气温不低于C
25时，900)46(450=-⨯=y ，
所以Y 的可能值列表如下：
∴Y 小于0的概率为51
9016902=+=
P ，从而Y 大于0的概率为54511=-=P .
解题小结：
确定随机变量取值的方法 方法2：转化法：
抓住两个变量之间的对应关系，根据题意，确定相应随机变量的值，以及相关分布表. 归纳总结：
确定随机变量取值的方法
法1---枚举法 1.自然枚举 2.韦恩图枚举 3.列表枚举
法2---转化法 根据目标，寻找相关随机变量，正确转化它们间的信息，得到直接条件. 三、配套练习
1.（1）在班级中随机提问一名学生，被提问到的人选结果有哪些？ （2）一个即将出生新生婴儿的性别结果哪些？ （3）电路中的一个开关闭合情况有哪几种？
2.有两盒卡片，一个盒子装有4张，分别标有数字1，1，2，3，另一个盒子也装有4张，分别标有数字2，2，3，4.现从两个盒子中各取1张卡片.
(1)求取出的2张卡片上的数字为相邻整数的概率； (2)记ξ为所取2张卡片上的数字之和，求ξ的分布列
3．2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）
有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，
，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
答案：
1.解答：随机试验的结果可以数字化，每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数
（1）在班级中随机提问一名学生的结果可对应一个学号X →x ；（2）新生婴儿的性别是一个随机变量Y ，可用Y →0，表示新生婴儿是男婴；Y →1，表示新生婴儿是女婴；（3）电路中的一个开关闭合情况有2种， 是一个随机变量Z ，Z →0，表示开关闭合，Z →1，表示开关开启.
2.解答： (1) 从两个盒子中各取1张卡片共有161
41
4=C C 种取法，取出的两个数字恰为相邻整数的情况有8种，所以取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率为2
1168==
P .
(2) 由题意可知ξ的可能取值为3，4，5，6，7.4116)3(1212===C C P ξ，41
16)4(1212=+==C C P ξ，165161)5(1
212=++==C C P ξ，811611)6(=+==ξP ，16
1
)7(==ξP .所以ξ的分布列为
3.解答：⑴易知需求量X 可取200,300,500，()2003035
P X ==
=⨯， ()362300P X ===，()25742
500P X
++===.则分布列为：
⑵①当200n ≤时：
()()642E Y n
n =-=，此时max ()400E Y =，当200n =时取到. ②当200300n <≤时：
()()41()22002200255E Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800
555n n n -+=+=, 此时max ()520E Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，
()()()()122()20022002300230022555E Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -=,此时()520E Y <. ④当500n ≥时，易知一定小于③的情况.
综上所述：当300n =时，Y 的期望取到最大值为520.。