5.1.1 从算式到方程知识点讲解 2024-2025学年人教版七年级数学上册

5.1.1 从算式到方程知识点讲解
知识点 1方程
【举例讲解】
请看下面几个问题：
(1)一头半岁的蓝鲸体重22 吨，90 天后体重为30.1吨，如果设蓝鲸体重平均每天增加x吨，那么可得 ·
(2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg ，如果设每个袋子可装大米 x kg，那么可
得 .
(3)据资料，海拔每升高 100 m，气温下降( 0.6°C.现测得某山山脚下的气温为15.2℃，山顶的气温为12.4°C,如果设这座山高为 xm，那么可得 .
(4)小明去商店买了5 支铅笔和8支圆珠笔，共花了18.60元，如果设每支铅笔x元，每支圆珠笔y元，那么可得 .
根据上面四个问题可以得到以下四个式子，
(1)22+90x=30.1.
(2)3x+5=50.
×0.6=12.4.
(3)15.2−x
100
(4)5x+8y=18.60.
这四个式子的共同特点：①它们都是等式；②每个等式都含有未知数.
【归纳总结】
知识归纳
含有未知数的等式叫做方程.
说明：①方程有两个要素，一是含有未知数，二是方程是一个等式，二者缺一不可；②方程中的未知数可以是x,也可以是其他字母;③如果在等式(a﹣1)x﹣2=4a中，x是未知数，a是已知数，那么我们就把这个方程叫做关于x的方程；④方程中所含的未知数不一定是一个，含有两个或两个以上未知数的等式也叫做方程.
方法归纳
代数式、等式和方程的区别：代数式中不含等号、不等号，只含有运算符号和括号；等式中必定有等号；方程中不但含有等号，而且含有未知数.
知识点 2方程的解与解方程
【举例讲解】
对于方程3x+2=8,当x=1,2,3时,哪一个能使方程左右两边相等.
当x=1时,方程左边=3×1+2=5≠右边,所以x=1不是方程3x+2 =8的解，或者说x=1不是方程的根；当x=2时,方程左边=3×2+2=8=右边,所以x=2是方程3x+2=8的解,或者说x=2是方程的根;当x=3时,方程左边=3×3+2=11≠右边,所以x=3 不是方程3x+2=8的解，或者说x=3不是方程的根.
【归纳总结】
知识归纳
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.只含有一个未知数的方程的解，也叫做根；求方程解的过程叫做解方程.
方法归纳
1.要检验一个数是否为某个一元方程的解，根据方程解的意义，只要把这个数分别代入方程左、右两边，看方程左、右两边的值是否相等，若左、右两边的值相等，则这个数是这个方程的解，反之，则不是.另外检验某数是不是方程的解的同时也可以用来验证我们解方程的过程是否正确.
2.将未知数用具体数字来代替，这种方法在数学上叫做代入法，代入法是一种重要的数学方法.
知识点 3一元一次方程
【举例讲解】
(1)七(二)班共有学生54人，男生人数是女生人数的2 倍，设女生有x人，则列方程为 .
(2)有甲、乙两个仓库，其中甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，如果从甲仓库运出650吨，乙仓库运出50吨，两仓库剩余的粮食相等，设乙仓库的存粮为y吨，则列方程为 .
(3)某养殖场有x只白兔，有280 只黑兔，其中黑兔只数是白兔只数的4倍，则列方程为 .
解：(1)等量关系是：男生人数+女生人数=全班人数,所以方程为x+2x=54.
(2)等量关系是：甲仓库存粮-650=乙仓库存粮-50,所以方程为3y-650=y-50.
(3)等量关系是：黑兔的只数=白兔只数的4倍，所以方程为4x=280.
从x+2x=54,3y-650=y-50,4x=280,这三个方程中可以看出它们的共同点是都含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是1，含有未知数的代数式都是整式.
【归纳总结】
知识归纳
在一个方程中，只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.
方法归纳
1.一元一次方程必须满足三个条件：①未知数只有一个；②未知数的次数是1；③方程是整式方程.三个条件缺一不可.
2.判断一个方程是不是一元一次方程，首先应将原方程化简、整理成一般形式，然后进行判断，特别注意“a≠0”这个条件.一个整式方程的“元数”和“次数”都是在将这个方程化成最简形式后才能判定的.
拓展点：任何一个一元一次方程变形后总可以化为 ax+b=0的形式,其中x是未知数,a,b是常数,并且a≠0.我们把ax+b=0(a≠0)叫做一元一次方程的标准形式.
知识点 4用“估算—检验”的方法求一元一次方程的解
【举例讲解】
估算方程3x-8=19的解.
估算方程的解就是确定一个数代入这个方程，恰好使方程的左右两边相等.当x=10时,3x﹣8=22,而19<22,这说明方程的解要比10小,当x=8时,3x-8=16,而19>16，这说明方程的解要比8大，先尝试在这个范围内的整数,当x=9时,3x﹣8=19,所以方程的解是x=9.
【归纳总结】
知识归纳
首先通过试验找出未知数所属的大致范围，即未知数取这个范围的两端的值时，一个使左边小于右边，另一个使左边大于右边，然后在这个范围内通过试验确定未知数的值，即方程的解.
课后满分闯关
1.下列各式3x−2,2m+n=1,a+b=b+a(a,b为常数)，y=0,x²−3x+2=0中，方程有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下列四个方程中，是一元一次方程的是( )
A.x²−1=0
B.x+y=1
C.12−7=5
D.x=0
3.下列方程中，以4为解的方程是( )
A.2x+5=10
B.−3x−8=4
+3=2x−3D.2x−2=3x−6
C.1
2
4.小悦买书需用48 元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12 张.设所用的1 元纸币为x 张. 根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.x+5(12−x)=48
B.x+5(x−12)=48
C.x+12(x−5)=48
D.5x+(12−x)=48
5.若方程3xᵐ⁻⁵=1是关于x的一元一次方程，则m=.
6.关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1,则m=.
7.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元.设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为 .
是否为方程3x=x+3的解.
8.判断x=2 和x=3
2
是方程kx−4=2x的解，求代数式(3k²+6k−73)²⁰¹⁹的值.
9.已知x=−1
2
10.七年级一班第一小组的同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学们.若每人3个，还剩9个；若每人5个，就会有一人分到4个.试问第一小组有多少个学生? 共摘了多少个苹果?
(1)题目中有两个不变的量，请指出这两个量.
(2)根据这两个不变的量列出两个不同的方程. (只列方程)。