中考数学二轮复习 专题练习(下)探究规律—周期型 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题

周期型
678ABC AB AC BC ∆===，，，．如果跳蚤开始 时在BC
边的
P 处，
02BP =．跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P （第一次落点)处，且10CP CP =；第
二步从1P 跳到AB 边的2P （第一次落点)处，且21AP AP =；
第三步从2P 跳到BC 边的3P （第三次落点)处，且3
2BP BP =；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次
落点为n P （n 为正整数），则点2007P 与2010P 之间的距离为______．
答案：3
解析：根据规律：1
0826CP CP ==-=，
12761AP AP ==-=，23615BP BP ==-=， 34853CP CP ==-=，45734AP AP ==-=⋯，
由此可得03
03633P P CP CP =-=-=，
1441413PP AP AP =-=-=， 2552413P P AP AP =-=-=，…
∴20072010
3P P =．
故答案为3．
2.如图所示，长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），
木板上点A 位置变化为12A A A →
→，由1A 翻滚到2A 时被桌面上一小木块挡住，
此时长方形木板的边2A C 与桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时所经过的路径总长度为__________cm ．
答案：
7π2
解析：由1A A →路径为
90π55π1802⋅=，由12A A →路径为
60π3
π180
⋅=，因此由12A A A →→总路径为7π2．故答案为：7
π2
．
3.如图，正方形ABCD 边长为2cm ，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运
动，当它的运动路程为2013cm 时，线段PA 的长为
n 的形式，则n =_____cm ；当
点P 第n 次（n 为正整数）到达点D 时，点P 的运动路程为____cm(用含n 的代数式表示)．
答案：5；8n-2，-2+8n 解析：
先求出正方形的周长，∵边长为2cm . ∴周长为428cm cm ⨯=.
再用2013除以8得到201382515÷=.
即此时点P 已经从A 点运动了5cm . 所以点P 的位置在CD 的中点，如图
则根据勾股定理225PA AD DP =
+=.
当点P 第1次到达D 点时，P 的运动路程为8126⨯-=； 当点P 第2次到达D 点时，P 的运动路程为82214⨯-=； 当点P 第3次到达D 点时，P 的运动路程为83222⨯-=； 以此类推，
当点P 第n 次到达D 点时，P 的运动路程为82n -.
4.如图，菱形ABCD 中，2AB =，60C
∠=︒,我们把菱形ABCD 的
对称中心O 称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的 翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过3n （n 为正整数） 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为（ ）
解析：
∵菱形ABCD 中，2AB =，60C ∠=︒，
∴ABD △是等边三角形，1BO DO ==，223AO AB BO =-=，
第一次旋转的弧长60π33
π1803
⨯=
=，
∴第一、二次旋转的弧长和60π360π323
π1801803
⨯⨯=
+=，
第三次旋转的弧长为：60π11
π1803
⨯=，
故经过
3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O
所经过的路径总长为：
231(
π+π)33n ⨯231
π3
n +=．
故答案为：3π3，231π3
n +．
5.观察下列等式：
123456733393273813243372932187======⋯=，，，，，， 解答下
列问题：2
34201333333+++⋯+ 的末位数字是（
）
解析：∵1
3
3= ，239= ，3327= ，4381= ，
53243= ，63729= ，732187= …
∴末尾数，每4个一循环， ∵201345031÷=⋯ ， ∴2
34201333
333+++⋯+的末位数字相当于：
37913++++⋯+的末尾数为3
6.如图，动点P 从
()03，
出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）
A ．
()14， B ．()50，
C ．()64，
D ．
()83，
答案：D 解析：如下图，
动点()03P
，
沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角， 到①时，点()30P ，
；到②时，点()74P ， ；到③时， 点()83P
，
；到④时，点()50P ， ；到⑤时，点()14P ， ； 到⑥时，点()30P
，
，此时回到出发点，继续.......， 出现每5 次一循环碰到矩形的边.
因为201340253(201354023)=⨯+÷=…… . 所以点P 第2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为()83，
. 故选D .
7.我们知道，一元二次方程2
1x
=-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1- ，若
我们规定一个新数“”，使其满足2
1i
=- (即方程2-1x =有一个根为)，并且进一步规
定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有
2i i =，21i =-，321i i i i i =⋅=-⋅=- ，422()1i i ==那么，23420122013i i i i i i ++++++……的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．i
答案：D 解析：由于2
34110i i
i i i i +++=--+=，
而2013=4503+1⨯，
23420122013=i i i i i i i ++++++…… .
8.如图，在直角坐标系中，已知点(3,0)A - 、()04B
，
，对OAB △ 连续作旋转变换，依次得到1△ 、2△、3△、4△…，则2013△的直角顶点的坐标为(______，______)．
答案：8052；0
解析：∵(3,0)A - 、()04B ，
， ∴223+4=5AB =
，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：
45312++= ，
∵20133671÷=，
∴2013△的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671128052⨯= ， ∴2013△的直角顶点的坐标为()80520，
．
9.根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015 ，箭头的方向是以下图示中的（ ）
选项：
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
解析：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
201345031÷=⋯ ，
∴2013是第504个循环组的第2个数，
∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．
故选D ．
10.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90︒ 算一次，则滚动第2014 次后，骰子朝下一面的点数是______．
答案：3
解析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵201445032÷=⋯ ， ∴滚动第2014次后与第二次相同， ∴朝下的点数为3 ，
11.一列数123,,,n a a a a ⋯ ，其中1
1a =- ，2111a a =
-，32
11a a =-，…，
1
1
1n n a a -=
-，则1232004a a a a +++⋯+= ______．
答案： 1002 解析：1
1a =-，2111=12a a =
-，32211a a =-=，43
111a a ==--，…，
由此可以看出三个数字一循环，20043668÷= ， 则12320041
668(12)10022
a a a a +++⋯+=⨯-+
+= ．
12.如图，弹性小球从点()0,3P
出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边
时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到矩形的边时的点为1P ，第2次碰到矩形的边时的点为2P ，…，第n 次碰到矩形的边时的点为n P ，则点3P 的坐标是___,点
2014P 的坐标是___．
答案：8;3;5;0 解析：如图，
经过6次反弹后动点回到出发点
()0,3 ，
当点P 第3次碰到矩形的边时，点P 的坐标为：()8,3 ；
∵201463354÷=⋯ ，
∴当点P 第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， 点P 的坐标为
()5,0 ．
13.在平面直角坐标系中，正方形
ABCD 的顶点分别为(11)A ，
、(11)B -，、(11)C --，、(11)D -，
，y 轴上有一点P ()2,0,作点P 关于点A 的对称点1P ，作1P 关于点B 的对称点2P ，作点2P 关于点C 的对称点3P ，作3P 关于点D 的对称点4P ，作点
4P 关于点A 的对称点5P ，作5P 关于点B 的对称点6P ⋅⋅⋅，按如此操作下去，则点2011P 的
坐标为（ ）. A ．(02)， B ．(20)， C ．(0
2)-， D ．(20)-，
答案：D
解析：找出规律，1P 20（，）202P -（，），320P （-，）
，4P (02)，，……，4(02)n P ，，41n P +20（，），42n P +02-（，），43n P +20（-，）.而2011除以4余3，所以点2011P 的坐标与3P 坐标相同，为
20（-，）.
14.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（） A 、第502个正方形的左下角
B 、第502个正方形的右下角
C 、第503个正方形的左上角
D 、第503个正方形的右下角
答案：C
解析：观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2.2011除以4等于余3，所以数2011应标在第503个正方形的左上角.
15.如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（）
解析：首先由已知和表求出a 、C 、F ，再观察找出规律求出第2011个格子中的数． 已知其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 则，3a F
a F C +=+++，+1a
b
c b c +=+-， 解得1a =-，3C
=，
按要求排列顺序为，3，1﹣，F ，3，1-，F ，…， 结合已知表得2F
=，
所以每个小格子中都填入一个整数后排列是：3，1-，2，3，1-，2，…， 其规律是每3个数一个循环.∵20113670÷=余1， ∴第2011个格子中的数为3.故选A .
16.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）
解析：从图中知，该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下35n +，从选项中数减3为
520133-被5整除，故选D .
17.若1
2312
111
1 , 1 , 1 , a a a m a a =-
=-=-⋅⋅⋅，则2011a 的值为（ ）
．（用含m 的代数式表示）
解析：根据已知条件，找出题中的规律：
2111111 1111111m m m a a m m m m
--=-=-=-==----，
32
1
1
1 11111a m m a m
=-=-
=-+=-， 4311
1 1a a m
=-=-.
可见，123 , , , a a a ⋅⋅⋅分别以11m -，1
1m -，m 2011 除以3 余1 ，从而2011a 的
值与1a 相同，为1
1m
-.
18.如下图，在平面直角坐标系中，对ABC △ 进行循环往复的轴对称或中心对称变换，
若原来点
A 坐标是(
)2
n π，，则经过第2011 次变换后所得的A 点坐标是（ ）．
解析：因为变换是循环往复的，补全一个循环；
56y ABC ABC −−−−−→∆−−−−−→∆第次第次
关于原点对称关于轴对称
到第二象限 回到第一象限初始位置
因此一个循环要经过6
20116335÷＝ ……余1 ，从而ABC △ 经过第2011 次变换
与经过第1
A 坐标是（
2
π
，n ），根据坐标关于x 轴对称时，横坐标不变纵坐标改
变符号的特点，得到经过第2011次变换后所得的A 点坐标是（
2
π
， n -）.
19.将1 、2、3、6按如下方式排列．若规定（m n ，
）表示第m 排从左向右第n 个数，则（5
4， ）与（157， ）表示的两数之积是（ ）．
111122663
2633
23第1排第2排第3排第4排第5排
解析：54（，）从右侧可见为2.
下面求
157（，）是几：首先看157（，）是整个排列的第几个数，
从排列方式看第1 排1个数，第2 排2个数，…… 第m 排m 个数，所以前14排一共的数目是
1214⋯⋯＋＋＋
(114)(213)(78)⋯⋯＝＋＋＋＋＋＋
715⨯＝105＝ ，
因此（15
7， ）是第1057112＋＝个数.
第二看第112 个数是哪个数，因为1 、2、3、6四个数循环，
而1124÷商余0 ，所以（157，）为6.
则（54， ）与（157， ）表示的两数之积是4(5,0)P .
20.如图物体从点A 出发，按照A B →（第1步）y （第2步）
a E →F G A B →→→→→
的顺序循环运动，
则第2011 步到达点处；
答案：D
解析：根据循环运动的规律，82011 除以8 余3 ，故第2011步到达点D 处.
21.如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是______．
答案：正方形．
解析：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，
()2014263352-÷=⋯，所以第2014 个图形是与
循环的第二个图形相同是正方形．
22.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和 4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）
解析：不难看出经过一次变换后正面朝上的点数是5，经过第二次变换后正面朝上的6点数是，经过第三次变换后正面朝上的点数是3，又回到了起始位置，则三个变换一循环，10次变换即相当于第一次变换的结果故选B.
23.如图，圆圈内分别标有0，1，3，…，11这12个数字，电子跳骚每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳骚从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______．
答案：6
解析：根据题意可知是0，1，3121⨯-=，3，4，…，11即12个数是一个循环．因为2010除12余数为6．故该圆圈所标的数字是3224⨯-=．故答案为：6．
24.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y x =
和y x =-分别交于1A ，2A ，3A ，4A ，…，则点31A 的坐标是（ ）．
解析：本题考查了解直角三角形，一次函数等知识点的应用，解此题的关键是确定出31A 的位置．根据31473÷=⋯，得出31A 在直线y x =上，在第三象限，且在第8个圆上，
求出318OA =，通过解直角三角形即可求出答案．
25.如图，菱形ABCD 中，260AB C
=∠=︒，,我们把菱形22AB AP BP PC
=+⋅的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ( )
解析：从图中可以看出，第一次旋转是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA ，解直角三角形可求出OA 的长，圆心角是60度．第二次还是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA ，圆心角是60度．第三次就是以点B 为旋转中心，OB 为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长．
26.如图，ABC ∆中，2AB AC == ，若P 为BC 的中点,则2AP BP PC +⋅的值
为______；若
BC
边上有100个不同的点
1
P ，
2
P ，…，
100
P ，记
2
i i i i
m AP BP PC =+⋅(1i =，2，…，100)，则12m m ++…100m +的值为______．
答案：4；400
解析：当P 在BC 的中点时，可以得到直角三角形，利用勾股定理证明
22AB AP BP PC =+⋅即可；第二个空可作AD BC ⊥于D ．根据勾股定理，得
22222()i i i AP AD DP AD BD BP =+=+-，从而求得22
i
M AD BD =+，即可求解．
27.如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（3-2n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3121⨯-=步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3224⨯-=步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为______；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为______．
答案：10；6
解析：第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳到数字10，第四次跳到数字2，…
然后每三个一循环，用2012除以3，整除为10，余1为2，余2为6即可确定答案．
28.在数学校本活动课上，X 老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，
第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是______，跳动第2012次到达的顶点是______．
答案：B ；C
解析：先根据每跳一次所到达的顶点，找出其中的规律是每八次一个循环，再用
10812÷=⋯，即可求出跳动第10次到达的顶点，用201282514÷=⋯，即可求出
跳动第2012次到达的顶点．
29.观察下列图形的排列规律（其中☆、□、●分别表示五角星、正方形、圆）●□☆●●□☆●□☆●●□☆●…若第一个图形是圆，则第2009个图形是______．
答案：五角星
解析：根据题意分析可得：圆、正方形、五角星前七个一组，依次循环；且2009除以7没
有余数；故第2009个图形是五角星．
30.如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始跳动，第一次跳到点P 关于x 轴的对称点1P 处，接着跳到点1P 关于
y 轴的对称点2P 处，第三次再跳到点2P 关于原点的对称
点处，…，如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是（______,______）．
答案：3；-2
解析：首先发现点P 的坐标是32-(，
)，第一次跳到点P 关于x 轴的对称点1P 处是32--（，），接着跳到点1P 关于
y 轴的对称点2P 处是32-（，），第三次再跳到点2P 关于原点的对称点处是
32-（，）…，发现3次一循环．又200936692÷=⋯，则落在了(32)-，
处． 31.如图平面内有公共端点的五条射线,,,,,OA OB OC OD OE 从射线OA 开始，在射线上写出数字1,2,3,4,5； 6,7,8,9,10；…．按此规律，则“12”在射线______上；“2011”在射线______上．
答案：OC ；OB
解析：∵如图所示可知，每隔一个数正好是连续的有理数，∴11在BO 上，∴“12”在射
线CO 上；∵每5个数一轮，2011÷5=402余数为1，每5轮顶点正好循环一周，402÷5=80余数为2，∴“2011”与第3轮第一个数的位置相同，即与9的位置相同，∴“2011”在射线 BO 上．
32.在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（______,______）
答案：5；0 解析：依题可知，
1(3,0)
P ，
2(7,4)
P ，
3(8,3)
P ，
4(5,0)
P ，
5(1,4)
P ，
6(0,3)P ，
7(3,0)P ，8(7,4)P ，
，
6个一循环，2014
=33546
，故2014(5,0)P
故答案为：(1,4)，(5,0)．
33.如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点(2,0)A 同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（_____,_____）
答案：-1；1
解析：依题可知，甲、乙两物体沿着矩形BCDE 在做环形运动，矩形BCDE 的周长为12，
12
=41+2
秒，每过4秒相遇一次，故第一次在(1,1)-处相遇，第二次在(1,1)--处相遇，第三次在(2,0)处相遇，第四次又在(1,1)-处相遇，故3次一循环，2014
=67113
，
所以第2014次在(1,1)-处相遇． 故答案为：(1,1)-．
34.如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，1AE BF
==，
小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到BC 边时，小球P 所经过的路程为__________；当小球P 第一次碰到AD 边时，小球P 所经过的路程为__________；当小球P 第n （n 为正整数）次碰到点F 时，小球P 所经过的路程为__________． 解析：
22
125EF =+=
3555522
EF
FM +=+
=；
画图可知，6次一个循环，一个循环周期，
P
所经过的路程为+22
， 当小球P 第n （n 为正整数）次碰到点F 时， 小球P
所经过的路程为1)n -+=-
- 35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(10)A ，
，(20)B ，， 正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，当点D 第一次落 在x 轴上时，点D 的横坐标为：_____；在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是______
；保持上述运动过程，经过(2014
的正六边形的顶点是_____.
解析：因为2014=3356+4⨯， 所以经过(2014,
的点必然会经过(4,．
图分别是第二次和第三次滚动后的图形， 可以看出经过(4,的点有B 、F 两个， 故经过(2014,
为B 、F 两个点．
故答案为：(4,0)，2，B 或F ．
36.将正整数1
2345,⋅⋅⋅、、、、按以下方式排放：
word 21 / 21
则根据排放规律，从2002到2004的箭头依次为（ ）
解析：200250042,=⨯+
∴数2002的位置与数2相同，数2003的位置与数3相同，数2004的位置与数4相同， ∴从2002到2004的箭头依次为,.→↓
37.如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2010厘米后停下,则这只蚂蚁停在（ ）点．
解析：
解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 顺序走一圈所走的距离为818⨯=厘米， 201025128
=， ∴当蚂蚁走到第251圈后再走2厘米正好到达C 点。

故答案为：C 。

C A
F D E B
G。