江西省赣州市于都二中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学(理)试卷 Word版含答案

数学（理）试卷
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设m ＝（﹣2，2，t ），n ＝（6，﹣4，5）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则实数t 的值是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
2.若两个向量)1,2,3(),3,2,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为（ ） A ．（﹣1，2，﹣1） B ．（﹣1，2，1）
C ．（1，2，﹣1）
D ．（1，2，1）
3.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图可以知道丙、丁两组人数之和为（ ）
A.150
B.250
C. 300
D. 400
4.盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为3
28
，从盒中取出2个球都是黄球的概率是
5
14
，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（ ）
A. 1328
B. 57
C. 1528
D. 37
5.若向量))(3,0,(R x x ∈=，则“x =4”5=a 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( )
A ．112
B ．16
C ．14
D ．13
7.下列命题中正确的是（ ）
A ．对于任意两个事件A 和
B ，都有P (A +B )= P (A )+ P (B ) B ．若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤ P (A ) ≤1
C ．命题“若平面向量b a ,共线，则b a ,方向相同”的逆否命题为真命题
D ．命题“若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个大于2”的逆命题是真命题．
8.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α B ．若α⊥β，a ∥α，则a ⊥β C ．若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α D ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β
9.一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）
A.
34 B. 23 C. 12
D. 1
3
10.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ）
A ．1000M
P = B ．10004M
P =
C ．1000
N
P =
D ．1000
4N
P =
11.已知A 、B 、C 、D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝2，则该球的表面积为（ ） A ．348π B ．332π C ．324π D ．3
16π
12.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱A 1D 1，CD 的中点，若P 在平面ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若5=PM ，则PQ 长度的最小值为（ ）
A ．12- B
．2 C ．
5553- D ．5
5
3
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知向量n m ,分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈n m ,〉＝－1
2，则l
与α所成的角为 ．
14. 已知5个正整数，它们的平均数是4，众数是3，5，则这5个数的方差为 ． 15.如图，在棱长为1的正四面体PABC 中，点A 在侧面PBC 内的投影为O ，则O 到底面ABC 的距离为_________．
16.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直， 动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
设命题p ：实数x 满足（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0，其中a ＞0； 命题q ：实数x 满足（2x ﹣16）（2x ﹣2）≤0．
（1）若a ＝1，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18. （本小题满分12分）
题图
第15题图
第16
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．
19.（本小题满分12分）
某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中实数a的值；
（2）估计20名学生成绩的平均数；
（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩不都在[60，70）中的概率．
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC=AD，点E是PC的中点．
（1）求证：P A∥平面BDE；
（2）求直线BD与平面PBC所成角的大小．
21. （本小题满分12分）
2015年12月，华中地区多个城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 2.5PM 的数据如表：
（1）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（提示数据：
7
1
1372i i
i x y
==∑）
（2）（I ）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时 2.5PM 的浓度； （II ）规定：当一天内 2.5PM 的浓度平均值在(]
0,50内，空气质量等级为优；当一天内
2.5PM 的浓度平均值在(]50,100内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者
为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：
回归直线的方程是ˆˆˆy
bx a =+，其中()()
()
1
1
2
2
2
1
1
ˆ•n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b x
nx x x ====---==
--∑∑∑∑，
ˆˆa
y bx =-.
22. （本小题满分12分）
已知正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是四边形11BB D D 内（含边界）任意一点，Q 是
11B C 中点.
（1）求证：AC ⊥BP ；
（2）当CQ ⊥AP 且AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为7
3
时， 求二面角P -AD -C 的余弦值．
数学（理）试卷 答案
1-12:C A B A A B B D C B D C
13．30° 14．5
4
15．
96 16．5
2 12解：如图，取AD 中点O ，则MO ⊥面ABCD ，即MO ⊥OP ， ∵PM ＝
，∴OP ＝
＝1，
∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面ABCD 内的半圆上．
可得O 到BN 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，
作OH ⊥BN 于H ，△BON 的面积为：S △BON ＝2×2﹣＝
， ∴
＝
＝，解得OH ＝
，
∴PQ 长度的最小值为：OH ﹣OP ＝＝
．故选：C ．
17.解：（1）当a ＝1时，（x ﹣1）（x ﹣2）＜0解得1＜x ＜2，………………1分 （2x ﹣16）（2x ﹣2）≤0解得2≤2x ≤16，即1≤x ≤4，………………2分 所以当p ，q 都是真命题时，解得1＜x ＜2，………………4分 故实数x 的取值范围为（1，2）；………………5分
（2）命题p ：a ＜x ＜2a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以（a ，2a ）⫋[1，4]，………………7分
，解得1≤a ≤2，………………9分
故实数a 的取值范围为[1，2]．………………10分
18.【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a ，b ，c ）共有27种，
而满足a +b ＝c 的（a ，b ，c ）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个， 故“抽取的卡片上的数字满足a +b ＝c ”的概率为
＝．………………6分
（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 完全相同”的（a ，b ，c ）有： （1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，
故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为＝，
∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣＝．………………12分
19.解：（1）由（0.2a+0.3a+0.7a+0.6a+0.2a）×10＝1，解得a＝；………………2分（2）20名学生的平均成绩估计为：（0.2×55+0.3×65+0.7×75+0.6×85+0.2×95）×10×＝76.5分；………………………………………………………………………………………………………………6分
（3）成绩在[50，70]内的学生共有（0.2+0.3）×10××20＝5人，设为a、b、C、D、E,其中成绩在[60，70]内的有3人，即C、D、E，………………………………8分
从这5人中任选2人，共有（a,b）、（a,C）、（a,D）、（a,E）、（b,C）、（b,D）、（b,E）、（C,D）、（C,E）、（D,E）10种，其中都在[60，70]内的有3种，不都在[60，70]内的有10﹣3＝7种，……………………10分
根据古典概型概率公式得：………………………………12分
20.解：（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD是矩形，∴O是AC的中点，
∵点E是PC的中点，∴OE∥P A，……………………………2分
∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，
∴P A∥平面BDE．……………………………4分
（2）解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，
∴以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设PD＝DC＝AD＝2，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），＝（﹣2，﹣2，0），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2）， (7)
分
设平面PBC的法向量＝（x，y，z），
由0{0
n PB n PC ⋅=⋅=u u u
r r u u u r
r 有2220{220x y z y z +-=-=取()0,1,1n =r ……………………………9分 设直线BD 与平面PBC 所成角为θ，
∴·1
sin cos ,2BD n BD n BD n
θ=〈〉==
=⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，……………………………11分 所以直线BD 与平面PBC 所成角为30° ……………………………12分 21.解(1)由数据可得： ()1
123456747
x =
++++++=……………………………1分 ()1
28303541495662437
y =
++++++= ……………………………2分 7
7
21
1
1372,140
i i
i i i x y
x ====∑∑，
1221137212041ˆ614012n
i i i n i i x y nx y b x nx
==-⋅-===--∑∑……………………………4分 4ˆˆ34619a
y bx =-=-⨯=，（注:用另一个公式求运算量小些）……………………………5分
故y 关于的线性回归方程为ˆ619y
x =+. ……………………………6分 (2)(ⅰ)
当
车
流
量
为
12万辆时，即
12x =时，
612199ˆ1y
=⨯+=.……………………………8分 故车流量为12万辆时， 2.5PM 的浓度为91微克/立方米.……………………………9分 (ⅱ)根据题意信息得： 619100x +≤，即13.5x ≤， …………………………11分
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.…………………12分
22. （1）证明：在正方体中，AC ⊥BD ，DD 1⊥平面ABCD ，
则DD 1⊥AC 又BD ∩DD 1=D ，
则AC ⊥平面11BB D D
BP ⫋11BB D D
∴AC ⊥BP ……………………………4分
（2）如图以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系 设AB=2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，Q （1,2,2）()2,0,1=
设P （x,y,z ），显然x 、y 、z>0则()z y x ,,2-=
∵CQ ⊥AP ∴022=+-z x ∴x=2z-2………………5分
易知，平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =r
………………6分 222·3cos ,7(2)z n AP n AP n x y z AP 〈〉===-++⋅u u u r r u u u r r u u u r r
化简得z y 32=，故⎪⎭
⎫ ⎝⎛=z z z AP ,32,2………………8分 设平面PAD 的法向量为(),,m a b c =u r
由0{0m AP m DA ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r 有220{320
za zb zc x ++==取()0,3,2m =-u r ………………10分 ·13cos ,213n m n n
m m 〈〉===⋅u r r u r r u r r 11分
∵二面角P-AD-C为锐二面角，
∴二面角P-AD-C．………………12分。