【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数及其表示 理 北师大版

第一节函数及其表示
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1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数与映射的概念
函数映射
两集合
A，B
A，B是两个非空数集A，B是两个非空集合
对应关系f：A→B 按照某个对应关系f，对于集合A中的
任何一个数x，在集合B中都有唯一确
定的数f(x)与之对应
按某一个确定的对应关系f，对于集合
A中的每一个元素x，B中总有唯一的
一个元素y与它对应
名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函
数
对应f：A→B为从集合A到集合B的一
个映射
记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
2.函数的构成要素
函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中，
(1)定义域：自变量x的取值的集合A.
(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．
3．函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？
提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可．
2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？
提示：不一定．
3．已知函数f(x)与g(x)．
(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？
(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ 提示：(1)不成立；(2)成立．
1．下列各图形中是函数图象的是( )
解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
B ．f (x )＝x 2
，g (x )＝(x )2
C ．f (x )＝x 2－1
x －1
，g (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2
－1
解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2
＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于B 、C 、D ，函数定义域都不相同．
3．(2013·某某高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]
解析：选B 要使函数y ＝x ln(1－x )有意义，需⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥0，
1－x >0，即0≤x <1.
4．(2014·某某模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
，x ≤1，
x 2
＋x －2，x >1，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1f 2的值为________．
解析：由题易知，f (2)＝4，1f 2＝14，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝1516.
答案：1516
5．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素
3
2
相对应的A 中的元素是________． 解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝3
2
时，x ＝30°.
答案：1
2
30°
考点一
函数的定义域
[例1] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝
2x ＋1
2x 2
－x －1
的定义域是( )
A.12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭
B.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩
⎭
C.112x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且
D.112x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭
且 (2)已知函数f (x 2
－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．
[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋1≥0，2x 2
－x －1≠0，
解得x >－1
2
且x ≠1.
(2)因为函数f (x 2
－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x 2
－1≤8，故函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]．
[答案] (1)D (2)[－1,8] 【互动探究】
本例(2)改为：f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2
－1)的定义域．
解：因为f (x )的定义域为[0,3]，所以0≤x 2
－1≤3，即1≤x 2
≤4，解得1≤x ≤2或－2≤x ≤－1，故函数y ＝f (x 2
－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．
【方法规律】
1．简单函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
2．抽象函数的定义域
(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．
(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．
1．(2014·某某模拟)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选D ∵－2x ＋a >0，∴x <a 2，∴a
2
＝1，∴a ＝2.
2．已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．
解析：由f (x )的定义域为[0,4]，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ＋1≤4，
0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3，即函数f (x ＋1)＋
f (x －1)的定义域为[1,3]．
答案：[1,3]
考点二
求函数解析式
[例2] (1)已知f (2x ＋1)＝4x 2
＋2x ＋1，求f (x )的解析式；
(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；
(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝3x ，求f (x )的解析式．
[自主解答] (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以，f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12t －12
＋2×12(t －
1)＋1＝
(t －1)2
＋(t －1)＋1＝t 2
－t ＋1.即f (x )＝x 2
－x ＋1.
(2)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2
＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，所以a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＝ax 2
＋bx ＋x ＋1，
即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2
＋(b ＋1)x ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0，2a ＋
b ＝b ＋1，
a ＋
b ＝1，
所以a ＝b ＝1
2
.
因此f (x )＝12x 2＋1
2
x .
(3)由2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧
2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，
得f (x )＝
2x －1
x
(x ≠0)．
【方法规律】
求函数解析式的常用方法
(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围．
(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另
外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
求下列两个函数的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；
(2)定义在(－1,1)内，且函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． 解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2
(t ≥1)．
代入原式，有f (t )＝(t －1)2
＋2(t －1)＝t 2
－2t ＋1＋2t －2＝t 2
－1. ∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
法二：∵x ＋2x ＝(x )2
＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2
－1，
∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2
－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2
－1(x ≥1)． (2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②
由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋1
3lg(1－x )，x ∈(－1,1)．
高频考点
考点三分 段 函 数
1．分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知分段函数解析式，求函数值(或最值)； (2)已知分段函数解析式与方程，求参数的值； (3)已知分段函数解析式，求解不等式； (4)已知分段函数解析式，判断函数的奇偶性； (5)新定义运算，分段函数与方程的交汇问题．
[例3] (1)(2012·某某高考)函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≤1，
lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )
A ．lg 101
B ．2
C ．1
D ．0
(2)(2014·某某模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
21－x
，x ≤1，
1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值X
围是( )
A ．[－1,2]
B ．[0,2]
C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(3)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋a ，x ＜1，
－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为
________．
[自主解答] (1)f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝12
＋1＝2. (2)当x ≤1时，2
1－x
≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；
当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥1
2，又因为x >1，所以x >1.
故x 的取值X 围是[0，＋∞)．
(3)①当1－a ＜1，即a ＞0时，1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－3
2
(舍去)；
②当1－a ＞1，即a ＜0时，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )， 得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－3
4，符合题意．
综上所述，a ＝－3
4
.
[答案] (1)B (2)D (3)－3
4
分段函数问题的常见类型及解题策略
(1)求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值．分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式．根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提．
(4)求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性．利用奇函数(偶函数)的定义判断．
1．(2014·某某模拟)定义a b ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ×
b ，a ×b ≥0，a
b
，a ×b <0.设函数f (x )＝ln x x ，则f (2)
＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2 D ．0
解析：选D 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ln x ，x ≥1，ln x
x
，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0.
2．(2014·永州模拟)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，x ∈Q ，
－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x
－1
e x ＋1
，则
函数h (x )＝f (x )·g (x )( )
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数也是偶函数
D ．既不是偶函数也不是奇函数
解析：选A 当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－
x )＝f (x )＝－1.综上，对∀x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．
∵g (－x )＝e －x
－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x
－1
1＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数，
∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·(－g (x ))＝－f (x )g (x )＝－h (x )， ∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．
又因为h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1
－1e －1＋1＝1－e
1＋e ，∴h (－
1)≠h (1)，
∴函数h (x )不是偶函数．
综上可知，h (x )是奇函数但不是偶函数．
3．(2014·日照模拟)已知函数f (x )＝2x
－1
2x ，且g (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
f x ，x ≥0，f －x ，x <0，
则函数g (x )
的最小值是________．
解析：因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
－1
2
x
，x ≥0，2－x
－1
2－x
，x <0，
所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－
∞，0)上单调递减，故函数g (x )的最小值为g (0)＝20
－12
0＝0.
答案：0
———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————
4个准则——函数表达式有意义的准则
函数表达式有意义的准则一般有：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0
要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.
4种方法——函数解析式的求法
求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法规律]．
4个注意点——求函数定义域应注意的问题
(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
数学思想(一)
分类讨论在分段函数中的应用
由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．
[典例] (2014·西城模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋bx ＋c x ≤0
，
2x >0，若f (－2)＝f (0)，
f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．
[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．
[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则
⎩
⎪⎨⎪
⎧
－22－2b ＋c ＝c ，
－1
2
－b ＋c ＝－3，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2，
c ＝－2，故f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －2
x ≤0，
2x >0.
当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2
＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． [答案] {－2,2}
[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的X 围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，
解完之后应注意检验自变量取值X 围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．
设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x ，x ≥0，
－x ，x <0，
若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )
A ．－3
B ．±3
C ．－1
D ．±1 解析：选D 因为f (－1)＝－
－1＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a
＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.
[全盘巩固] 1．函数y ＝x
x －1－lg 1
x
的定义域为( )
A ．{x |x >0}
B ．{x |x ≥1}C．{x |x ≥1或x <0} D ．{x |0<x ≤1} 解析：选B 要使函数y ＝x
x －1
－lg 1
x
有意义，需⎩⎪⎨
⎪⎧
x x －1≥0，
x >0，
解得x ≥1.
2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是 ( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7
解析：选B 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1. 3．下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2
，g (x )＝(x )2
B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2
C ．f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，x ≥0，
－x ，x <0，
g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1
x －1
解析：选C g (t )＝|t |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
t ，t ≥0，
－t ，t <0.
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
＋1，x <1，
x 2
＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )
A.12
B.4
5
C ．2
D ．9 解析：选C f (0)＝20
＋1＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，所以4＋2a ＝4a ，即a ＝2.
5．(2014·某某模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1
x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，0<x <1，0，x ＝1，－1
x ，x >1.
其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③C ．②③D ．①
解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x
，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
x
＋
11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
x ，0<1
x <1，
0，1x ＝1，－x ，1x >1，
即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.
故f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．
6．(2014·某某模拟)定义在
R 上的函数f (x )满足f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 28－x ，x ≤0，
f x －1－f x －2，x >0，则f (3)的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－2
D ．－3
解析：选D f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.
7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．
解析：由题意知⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，
解得－2≤x ≤2.
答案：[－2,2]
8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．
解析：∵π是无理数，∴g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0. 答案：0
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－|x ＋1|，x ≤0，
x 2
－1，x >0，则不等式f (x )<0的解集为________．
解析：
画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x 轴下方时f (x )<0，此时x 的取值X 围是{x |x <1且x ≠－1}．
答案：{x |x <1且x ≠－1}
10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.求f (x )的解析式． 解：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.
把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＋1－(ax 2
＋bx ＋1)＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x .∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2
－x ＋1.
11．已知f (x )＝x 2
－1，g (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －1，x >0，2－x ，x <0.
(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．
解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2
－1＝x 2
－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2
－1＝x 2
－4x ＋3.
所以f (g (x ))＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x >0，
x 2
－4x ＋3，x <0.
当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2
－2； 当－1<x <1时，f (x )<0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2
.
所以g (f (x ))＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2，x >1或x <－1，
3－x 2
，－1<x <1.
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
cx ＋10<x <c ，2－x
c
2＋1c ≤x <1满足f (c 2
)＝98
，其中0＜c ＜1.
(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>
2
8
＋1. 解：(1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ，由f (c 2)＝98，得c 3
＋1＝98，解得c ＝12
.
(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
12x ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫0<x <12，2－4x
＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≤x <1.由f (x )>
2
8
＋1，知 当0<x <12时，有12x ＋1>28＋1，解得24<x <1
2；
当12≤x <1时，有2－4x
＋1>28＋1，解得12≤x <58
. 所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x 24<x <58.
[冲击名校]
1．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )
A ．A ＝N *
，B ＝N
B ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}
C ．A ＝{x |0<x <1}，B ＝R
D ．A ＝Z ，B ＝Q
解析：选D 对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *
，所以A ＝N *
，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，
x 2＋1，0<x ≤3，
所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8
或0<x ≤10}是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以
A ＝{x |0<x <1}，
B ＝R 是“保序同构”的，应排除C.
2．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4.对任意实数x ，令
f 1(x )＝[4x ]，
g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．
(1)若x ＝7
16
，则f 1(x )＝________，f 2(x )＝________；
(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，则x 的取值X 围为________． 解析：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34，∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫34＝[3]＝3.
(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <1
2
. 答案：(1)1 3 (2)⎣⎢⎡⎭
⎪⎫716，12。