菱形地判定和性质

B
C
A
D
O
菱形的判定和性质
一、基础知识
（一）菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：
1、 具有平行四边形的一切性质；
2、 菱形四条边都相等；
3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
4、 菱形是轴对称图形；
边 角 对角线 对称性 菱形
对边平行； 四边相等
对角相等； 邻角互补
互相垂直平分且
平分对角
轴对称
（三）菱形的判定：
1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积
1、可以用平行四边形的面积算（S=
2
1
底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=
2
1
ab)
二、例题讲解
考点一 ：菱形的判定
例1：下列命题正确的是（ ）
（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等
练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形
C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形
A
B
C
D
E
练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )
A ．DE 是△ABC 的中位线
B ．AA '是B
C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高
D ．AA '是△ABC 的角平分线
A
B
C
D
E
A '
练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠=o ③AB BC = ④AC BD = A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由． A
B
C
D
D
B
C
A N
M O
A
F
E
A F
E
变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．
练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．
练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

练习3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，C
A
D B E
F
G
H G
F
E
D
C
B
A
考点二：菱形的性质
例1：如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AE 于G ，
求证：（1）四边形AFGD 是菱形；
（2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。

练习1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4， 求：（1）∠ABC 的度数； （2）菱形ABCD 的面积。

E
D C
B
A
G
F
E
D C
B
A
例2 ：如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．
练习1：若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A ．
23
cm 2
B ．23cm
C ．22cm
D ．223cm 练习2：若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）
O D
C
B A
练习3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( ) A．21㎝B．22㎝C．23㎝D．24㎝
例3：如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
A．2
10cm B．2
20cm C．2
40cm D．2
80cm
A
B C
D
练习1：菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）
A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm
练习2：若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（）（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm
练习3:若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为( )
A．240 cm2B．120 cm2C．60 cm2D．30 cm2
例4:如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。

练习1:如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是B C ．CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△
AEF 的周长为（ ）
A ． 32
B ． 33
C ． 34
D ． 3
A
D F C
E
B
F
D
C
B
A
E
A
D
O
练习2：如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________．
练习3：如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°， 求∠CEF 的度数。

例5：如图，菱形ABCD 是边长为13cm ，其中对角线AC=10cm ，
B
C
A
D
O
（2）作BC 边上的高AH ，求出AH 的长度
练习1：如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是48cm ．
求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．
例6： 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。

过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

练习1： 如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=2
1
∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM 。

H
G
F
E
D
C
B
A
练习2：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF ＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
考点三：综合
例1：如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=o
；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=o
；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使
360B ∠=o ；L L 依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．
例2：菱形ABCD 的对角线交于O ，AO=1，且∠ABC ∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ） A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③
1
D B 3
A C 2
B 2
C 3
D 3 B 1
D 2
C 1
A
B
C
D
O
点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180 得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；
（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
课后练习:
A
D
F
C
E
G
B
2、如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20 B ．15 C ．10
D ．5
3、菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．
4、如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
5、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM ；
（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．
第21题图
A B
C
D
E
F
M
A
D
C
E
B
A D
E P C
B
F
B
A
C
D。