天津市南开中学高三数学统练16 理

天津市南开中学2015届高三数学统练16 理
一、选择题（共8小题，每题5分）
1.已知 12F F ，分别是椭圆的两个焦点,点P 在椭圆内部,且1
20PF PF ⋅=u u u r u u u u r
,则椭圆的离心率的
取值范围是( )
A ．()0,1
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C .20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.
2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ 2.已知点M 为椭圆22
1259x y +=上一点,12,F F 分别为左,右焦点,点O 是坐标原点,
12MF =,N 是线段1
MF 的中点,则ON 的值是( )
A ．2
B ．4
C .8 D. 3
2
3.已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:
①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ）.
A ．①③
B ．②④
C .③④ D.①
4.若直线y x b =+与曲线2
34y x x =--有公共点，则b 的取值范围是( )
A.[122-,122+]
B.[12-,3]
C.
D.[122-,3]
5.下列命题中，真命题的是（ ）.
A ．若)(x f 是定义在上的偶函数，且在上是增函数，
)
2,4(π
πθ∈，则 (sin )(cos )f f θθ>
B ．若锐角α、
cos sin ,2π
βαβαβ>+<
满足则
C .若
2
()2cos 1,()()2x
f x f x f x x R π=-+=∈则对恒成立
D.要得到函数
).
42sin(π-=x y 的图像，只需将2sin x y =的图像向右平移4π
个单位 6.函数
),2,0)(sin(R x x A y ∈π
<
ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为
（ ）.
A ．
)48sin(4π+π-=x y B ．)
48sin(4π
-π=x y C .
)48sin(4π-π-=x y D. )
48sin(4π
+π=x y 7. 设 ()()12,0F F c -c,0，分别是椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点, P 是以12
F F 为直径的圆与椭圆的一个交点,若
1221
5PF F PF F ∠=∠,则椭圆的离心率为( )
A
． B
．2
C .
D. 3
8.已知直三棱柱
111
ABC A B C -的各棱长均为1，棱
1
BB 所在直线上的动点M 满足
1BM BB λ=u u u u r u u u r
，AM 与侧面11BB C C 所成的角为θ
，若λ∈⎣，则θ的取值范围是
（ ）
A ．,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ B ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C . ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5,312ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、填空题（共6个小题，每题5分） 9设曲线()
1n y x n N ++=∈在点
()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，记2014log n n a x =，
则
122013a a a +++=
L .
10.在ABC ∆中，角,,A B C 所队的边分别为,,a b c .
若cos 4,
2A AB AC =⋅=u u u
r u u u r 则ABC
∆中的面积为 .
11.已知数列
(){}()
2
log 1n
a
n N *-∈为等差数列，且
123,5
a a ==，则
21321111
n n
a a a a a a ++++---L L = .
12.已知函数
()
y f x =的图象是折线段ABC ,其中
()()()
0,0,1,5,2,0A B C ,函数
()()
02y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积是 .
13.已知直线()f x 1y kx =+与圆
22
40x y kx my +++-=相交于,M N 两点,且点 ,M N 关于直线y x =-对称.若,y x 满足不等式组
10
00kx y kx my y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
,则线段2z x y =-的最
小值为 .
14.已知直线l 交椭圆22
1
2016x y +=于,M N 两点,椭圆与y 轴的正半轴交于点B ,若MBN
∆的重心恰好是椭圆的右焦点,则直线l 的方程为 .
三、解答题（共6个小题）
15.已知函数
(
)()
2
-2sin >02
x
f x x ωωω的最小正周期为3π，
（Ⅰ）当
3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦ 时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）在ABC V ，若()1f C =,且()22sin cos cos B B A C =+-,求sin A 的值.
16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．
1
A 1
B 1
C
17．已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒,
2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.
（Ⅰ） 求证：1AC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （Ⅲ）求二面角1A A B C --的余弦值.
18.设各项均为正数的数列{an}的前n 项和为n S
，对于任意的正整数n 都有等式
21142n n n S a a =
+()n N *∈成立.
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）令数列
2n
n n c a b =
g (其中c 为正实数)，Tn 为数列{bn}的前n 项和，若8n T >对n N *∈恒
成立，求c 的取值范围.
19. 已知椭圆2
2
:14y E x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点,.A B
（Ⅰ）若直线l 与x 轴交于点N ,且A 是线段MN 的中点,求直线l 的方程;
（Ⅱ）若P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
(O 为坐标原点),当AB <时,求实数λ的
取值范围.
20.已知函数
()2ln ,f x a x x a R =+∈.
（Ⅰ）若存在[]1,x e ∈,使得
()()2f x a x
≤+成立,求实数a 的取值范围;
（Ⅱ）求函数()
f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 的值.
天津南开中学2015届高三数学统练16（理科）答案
一、选择题 CBDD BACB
三、解答题（共6个小题）
15.已知函数
()()
2
=3-2sin >02
x
f x x ωωω的最小正周期为3π，
（Ⅰ）当
3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦ 时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）在ABC V ，若
()1
f C =,且
()
22sin cos cos B B A C =+-,求sin A 的值.
(17)解：
()1-cos =3-2=3+cos -1=2sin +-126x f x x x x x ωπωωωω⎛
⎫⋅
⎪⎝
⎭ 依题意函数)(x f 的最小正周期为3π，即23π
π
ω
=，解得
2
3ω=
，
所以
()2=2sin +-1
36f x x π⎛⎫
⎪⎝⎭. （Ⅰ）由32
4x π
π≤≤
得22+2363x πππ≤≤
，
所以，当23sin +=362x π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为323-1
（Ⅱ）由
()2=2sin 136f C C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭及()1f C =，得2
sin C+=1
36π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由0<<,C π则25<+<63
66C π
ππ,所以2+=
362C ππ,得2C π
=. 在Rt ABC V 中，由
2A B π
+=
,()2
2sin =cos +cos B B A C -,整理得
2sin +sin -1=0A A ,又由0<sin <1A ,
所以
sin A =
16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．
16.解：（I ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为
黑球”为事件B ．由于事件A
B ，相互独立，且23241()2
C P A C ==，2
4262
()5C P B C ==
． 故取出的4个球均为黑球的概率为
121
()()()255P A B P A P B ==⨯=
··． （II ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2
个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且211
32422
464
()15C C C P C C C ==··，12
3422461
()5C C P D C C ==
·．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
417()()()15515P C D P C P D +=+=
+=
．
（Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，．由（1），（2）得
1(0)5P ξ==
，7
(1)15P ξ==，
1
3224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．
ξ的分布列为
17317
=0+1+2+3=
51510306E ξ⨯⨯⨯⨯.
17．已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒,
2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.
（Ⅰ） 求证：1AC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （Ⅲ）求二面角1A A B C --的余弦值. 17．解法1：（Ⅰ）∵1A D ⊥平面ABC ,
∴平面11AAC
C ⊥平面ABC , 又BC AC ⊥,∴BC ⊥平面11AA C C ,
得1BC AC ⊥,又11BA AC ⊥,∴1AC ⊥平面1A BC . （Ⅱ）∵11AC A C ⊥,四边形11AA C C 为菱形,故
12AA AC ==,又D 为AC 中点,知∴160A AC ∠=︒.
取1AA 中点F ,则1AA ⊥平面BCF ,从而面1A AB ⊥面
BCF .过C 作CH BF ⊥于H ,则CH ⊥面1A AB ,在
Rt BCF ∆中
,2,BC CF ==,
故
7
CH =
,即1
CC 到平面1A AB
的距离为7
CH =
. 另解：等体积法
11C A AB A ABC
V V --=
（Ⅲ）过H 作1HG A B ⊥于G ,连CG ,则1CG A B ⊥,从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角,在
1Rt A BC
∆中,12AC
BC ==,
∴CG B
A
C
1
A
1
B 1
C
D
G
H
F
B
A
C
D
1
A 1
B 1
C
在Rt CGH ∆中
,
7sin CH CG
CGH ∠=
=
,故二面角1A A B C --
的大小为
cos θ=
.
解法2：（Ⅰ）如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系,
则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,
1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =u u u u r
,
1(2,1,)BA t =--u u u r ,(2,0,0)CB =u u u r ,由10A C CB ⋅=u u u u r u u u r
,知1AC
CB ⊥,又11BA AC ⊥, 从而1AC ⊥平面1A BC .
（Ⅱ）由
2
1130AC BA t ⋅=-+=u u u u r u u u r ,
得t =设平面1A AB 的法向量为
(,,)n x y z =r
,1AA =u u u r ,(2,2,0)AB =u u u r
,10
220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u r
r u u u r , 设1z =,
则n =r
.∴点1C 到平面1A AB
的距离
1||7
||
AC n n d ⋅==
u u u r r
r .
（Ⅲ）设面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r
,1(0,CA =-u u u r ,(2,0,0)CB =u u u r
,
∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r .
设1z =,
则m =u r ,
故7||||cos ,m n m n m n ⋅⋅<>==-u r r
u r r u
r r ,根据法向量的方向
可知二面角1A A B C --
的大小为cos 7θ=
.
18.设各项均为正数的数列{an}的前n 项和为n S
，对于任意的正整数n 都有等式
21142n n n S a a =
+()n N *∈成立.
(1)求数列
{}n a 的通项公式;
(2)令数列
2n
n n c a b =
g (其中c 为正实数)，Tn 为数列{bn}的前n 项和，若8n T >对n N *∈恒成
立，求c 的取值范围.
18.解：(1)
21142n n n S a a =
+Q 211111(2)42n n n S a a n ---∴=+≥ 221111111()4242n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=+-+ 12
n n a a -∴-= 又
12
a =
2n a n
∴=
(2)
222n n n n c a n b c =
=g
12n n T b b b =+++=L 231232()2222n n
c ++++K
设
231232222n n n M =
++++K ,2341112322222n n n
M +=++++K
23411111112222222n n n n M +∴=++++-K 12
2[1]2n n n M ++∴=- 124[1]2n n n T c ++∴=-
,由题意12
4[1]82n n c ++->
1
2
2
12n c n +∴>
+-对n N *∈恒成立 ,由1212n n ++-单调性,得1
121142n n ++≤-< ,
1
2
28.212n n +∴<
≤+-要使8n T >对n N *∈恒成立，故8c >. ∴c 的取值范围是
()8,+∞. 19. 已知椭圆2
2
:14y E x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点,.A B
（Ⅰ）若直线l 与x 轴交于点N ,且A 是线段MN 的中点,求直线l 的方程;
（Ⅱ）若P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
(O 为坐标原点),
当AB <时,求实数λ的
取值范围.
解：（Ⅰ）设
()
00,A x y .由A 为MN 的中点,则
03
2y =
.又()00,A x y 在椭圆E 上,则
220014y x +=,
解得
04x =±,
所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭
或32A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭.因而直线l
的为7k =±,所以直线l
的方程为60x +-=
或60x -=.
（Ⅱ）设直线AB 的方程为3y kx =+,或0x =,()11,A x y ,
()22,y B x ,
()
33,P x y .
当直线AB 的方程为0x =时
,
4AB =>,不合题意. 当直线AB 的方程为3y kx =+时,
由2
23
14y kx y x =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得()22465,k x kx +++()()2262040k k ∆=-+>,即25k >.则12122265,,44k x x x x k k +=-
=++()()1212
224
334y y kx kx k +=+++=+.
因为
AB =
,
即
,解得
2
58k <<.又OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
,即()()()112233,,,x y x y x y λ+=.由于0λ≠,则
()12
326,4x x k x k λ
λ+-=
=
+()1232244y y y k λλ
+==
+.由
()
33,P x y 在在椭圆E 上,所以
()()2
2
226124
1444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得
22364k λ=+,因为258k <<,所以234
λ<<,即2λ
-<<2λ
<.实数λ
的取值范围是()2,-⋃
.
（Ⅱ）()22,0x a
f x x x +'=>,当
[]221,,22,2x e x a a a e ⎡⎤∈+∈++⎣⎦. ①当2a ≥-时, 对
[]
1,x e ∈,恒有
()0f x '≥，
当且仅当2,1a x =-=时,
()0
f x '=.因此,函数
()
f x 在
[]1,e 上是增函数,所以,()()min 11f x f ==.
②当
2-22
e a <<-时
,
()012
a f x x -'<⇔≤<
,
()02
a f x x -'=⇔=
,
()02
a
f x x e -'>⇔
≤,所
以,
()min
ln 2222a a a a f x f -⎛⎫==-- ⎪⎝⎭.
③当22a e ≤-时, 对[]1,x e ∈,恒有()0f x '≤，当且仅当
22,a e x e =-=时,()0f x '=.因此,函数
()
f x 在[]1,e 上是减函数,所以,()()2min f x f e a e ==+.
纵上可知,当2a ≥-时,
()()min 11
f x f ==;当
2
-22e a <<-时, ()min ln 2222a a a a
f x f -⎛⎫==-- ⎪⎝⎭;当22a e ≤-时, ()()2min f x f e a e ==+.。