立体几何二轮复习材料

立体几何二轮复习材料
立体几何二轮复习材料
【课程目标】
本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步。

通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。

【学习要求】
1．立体几何初步
（1）空间几何体
直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。

能画出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所
表示的立体模型；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。

会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格要求）。

（2）点、线、面之间的位置关系
理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。

了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

◆公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

了解空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行。

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则
该直线与此平面垂直。

◆一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂
直。

并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理（这4条定理的证明，这里不作要求）。

理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相
交所得的交线相互平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直。

能用图形语言和符号语言表述这些性质定理，并能加以证明。

能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。

了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念；了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念（上述角与距离的计算不作要求）。

（3）柱、锥、台、球的表面积和体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。

2008江苏高考数学科考试说明
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A 、B 、C 表示）。

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。

16．(08江苏卷)（14分）在四面体ABCD 中，
BD AD CD CB ⊥=,，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点，
求证：（1）直线EF//面ACD （2）面EFC ⊥面BCD
【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置
关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。

（1）∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线
∴EF//AD
B C A F D E
又∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ∴直线EF//面ACD
（2）//EF AD EF
BD AD BD ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
C CB C
D F BD F BD =⎫⇒⊥⎬⎭为中点 BD CEF EFC BCD BD BCD ⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面面面
C F EF F
=
19．(08山东文科)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等
边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==． （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．
（Ⅰ）证明：在ABD △中，
由于4AD =，8BD =，AB =
所以222AD BD AB +=． 故AD BD ⊥． 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =， BD ⊂平面ABCD ，
所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ⊂平面MBD ，
故平面MBD ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，
由于平面PAD ⊥平面ABCD ，
所以PO ⊥平面ABCD ．
A B C M P D A B C M P
D O
因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，
又PAD △是边长为4的等边三角形．
因此
42PO ==
在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB 边上的
= 此即为梯形ABCD 的高，
所以四边形ABCD 的面积为2425S ==． 故1
243P ABCD V -=⨯⨯=
12．(08宁夏卷)已知平面α⊥平面β，l α
β=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．
成立的是（ D ） A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥ C ．AB β∥ D ．AC β⊥
18．(08宁夏卷)（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm ） （Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．
解：（Ⅰ）如图
·············· 3分
（Ⅱ）所求多面体体积 V V V =-长方体正三棱锥 1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ 2284(cm )3=． ·························· 7分
（Ⅲ）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，
连结AD '，则AD BC ''∥．
因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，
所以AD EG '∥，
从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，
所以BC '∥面EFG ． ·································· 12分
7．(08广东卷)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如
（俯
（正（侧
E D A B
C F G B 'C '
D '
A B C D E F G A ' B ' C ' D '
图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为A
18. (08广东卷)（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD =60°,∠BDC =45°,△ADP ～△BAD .
(1)求线段PD 的长； (2)若PC
=，求三棱锥P-ABC 的体
积.
解：（1）因为BD 是圆的直径，所以90BAD ∠= 又△ADP ～△BAD .
所以 ()()2234sin 604,31
sin 3022R BD AD DP AD DP R BA AD BA BD R ⨯=====⨯
（2）在Rt BCD 中，cos452CD BD ==
因为 22222
9211PD CD
R R R +=+=
所以PD CD ⊥
又90PDA ∠=
所以PD ⊥底面ABCD
()11
1sin 6045222222ABC S AB BC R ⎛=⨯+=
+⨯
⎝⎭2=
三棱锥P ABC -体积为
2311333P ABC ABC V S PD R -=⨯⨯=⨯=
E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图图 B E A ． B E B ． B E
C ． B E
D C P A B 图 D
11．（06江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．
均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(D)
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个
73.（06天津卷）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱
//
1
2
EF BC =．
（1）证明FO //平面CDE ； （2）设3BC CD
=
，证明EO ⊥平面
CDF
．
33．（06安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的
同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距
A
B
C D A B C
D
α
离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：_①③④⑤_____（写出所有正确结论的编号．．） ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 34．（06安徽卷）平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到
平面α的距离可能是：①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为_____①③_________。

（写出所有正确结论的编号．．
） 36.（06广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____27π 37.（06湖南卷）过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，
其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 6 条.
38.（06江西卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，
A
B
C
D α
C B A
C B
C 1
B 1
A 1
P
∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1
P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是
___________39.（06江西卷）如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．
到达1
A 点的最短路线的长为 10.
41.（06辽宁卷）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，
则此正六棱锥的侧面积是
_______43.（06全国II ）圆1
o 是以R 为半径的球O 的小圆，若圆
1
o 的面积1
S 和球O 的表面积S 的比为1
:2:9S S =，则圆心1
o 到
球心O 的距离与球半径的比1
:OO R =＿＿＿＿1
:1:3OO R = 49.（06四川卷）m 、n 是空间两条不同直线，α、β是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ②m ⊥n ，n ∥β，m ⊥α⇒n ∥β
③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

①、④.
52.（06上海春）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3
，
F
则其体积为 .．3
16 4．(07江苏)已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题：
①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥； ③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥． 其中正确命题的序号是（ Ｃ ）
Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③
18．(07江苏)如图，已知111
1ABCD A BC D -是棱长为3的正方体， 点E 在1
AA 上，点F 在1
CC 上，且1
1AE FC ==．
（1）求证：1
E B
F D ，，，四点共面；（4分） （2）若点
G 在BC 上，2
3BG =，点M 在1
BB 上，
GM BF
⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11
BCC B ；（4分）
本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解法一：
（1）如图，在1
DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ，
则1AE DN ==，1
2CF ND ==．
因为AE DN ∥，1
ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1
CFD N 都为平
C A
H M
D E
F 1
B 1
A
1
D 1
C
行四边形． 从而EN AD ∥，1
FD CN ∥．
又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形
BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1
FD BE ∥． 因此，1
E B
F D ，，，四点共面．
（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，
tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠23
132
BC BG
CF ==⨯=．
因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11
BCC B ，所以EM ⊥平面11
BCC B ．
3．(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④ 20．(07山东)（本小题满分12分）如图，在直四棱柱111
1
ABCD A BC D -中，
C B A H
M
D E
F 1
B 1
A
1
D
1
C N ①正②圆③三④正
已知1
22DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．
（1）求证：1
1
DC AC ⊥；
（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1
D E ∥平面 1A BD
，并说明理由．
（1）证明：在直四棱柱111
1
ABCD A BC D -中，
连结1C D ，
1
DC DD =，
∴
四边形1
1
DCC D 是正方形．1
1
DC D C ∴⊥．
又AD DC
⊥，1
1
AD DD DC DD D =⊥，⊥，
AD ∴⊥
平面1
1
DCC D ， 1D C ⊂
平面11
DCC D ，
1
AD DC ∴⊥．
1AD DC ⊂
，平面1ADC ，
且AD DC D =⊥，1
D C ∴⊥平面1
ADC ，
又1
AC ⊂平面1
ADC ，1
DC AC ∴1
⊥．
（2）连结1
AD ，连结AE ，
设1
1AD A D M
=，
BD
AE N
=，连结MN ，
平面1
AD E 平面1
A BD MN =，
要使1
D E ∥平面1
A BD ，须使1
MN D E ∥， 又M 是1
AD 的中点．N ∴是AE 的中点．
又易知ABN EDN △≌△ AB DE
∴=．
即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，
可使1
D E ∥平面1
A BD ．
B
C
D A 1
A
1
D
1
C
1
B
B
C
D A 1
A
1
D
1
C
1
B
M
E
19．(07广东卷)（本小题满分14分）如图6所示，
等腰ABC
△
的底边AB=高3
CD=，点E是线段BD上异于
点B D
，的动点，点F在BC边上，且EF AB
⊥，现沿EF将BEF
△
折起到PEF
△的位置，使PE AE
⊥，记BE x=，()
V x表示四棱
锥P ACFE
-的体积．
（1）求()
V x的表达式；
（2）当x为何值时，()
V x
取得最大值？
（3）当()
V x取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
（1）由折起的过程可知，P E⊥平面ABC，ABC
S
∆
=
2
2
54
BEF BDC
x
S S
∆∆
=⋅=
2
1
(9)
12
x
-（0x<<
（2）21
'())
4
V x x
=-，所以(0,6)
x∈时，
'()0
v x>，
V(x)单调递增；6x<<'()0
v x<，
V(x)单调递减；
因此x=6时，V(x)取得最大值
（3）过F作MF//AC交AD与M,
则,212
1
2
BM BF BE BE
MB BE
AB BC BD AB
=====，PM=
MF BF PF
====
在△PFM中，84722
cos
427
PFM
-
∠==，∴异面直线AC与PF
图6
P
E
D
F
B
C
A
F
图6
P
E
D
B
A
A B
C
D 所成角的余弦值为2
7；
（15）(07浙江卷)如图，已知球O 点面上四点
A 、
B 、
C 、
D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3
，则球O 点体积等
于 。

9π2
（关键是找出球心，从而确定球的半径。

由题意，
三角形DAC,
三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。

所以DC 边的中点就是
球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度 的一半。

）
2008～2009江苏各地考试试卷
16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD
（如图2）.
（1）证明：平面PAD ⊥PCD ；
（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分1
:2:=MACB PD CMA
V V ；
（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD 是否
平行面AMC.
（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .
PAD DC 平面⊥∴ …………2分
.
PCD PAD PCD
DC 平面平面面又⊥∴⊂…4分
（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD ∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分
在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h 则3
12213131h
h h S V ABC ABC
M =⨯⨯⨯⨯=⋅=
∆-
2
1112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=
∆-PA S V ABC ABCD P …………8分
要使1
,1:23:)321(,1:2:=
=-=h h h V V
MACB PDCMA
解得即
即M 为PB 的中点. …………10分
（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD
∴O 不是BD 的中心……………………10分
又∵M为PB的中点
∴在△PBD中，OM与PD不平行
∴OM所以直线与PD所在直线相交
又OM 平面AMC
∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分
16．已知ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：PF⊥FD；(Ⅱ)问棱PA上是否存在点G，使EG//平面PFD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为
AD=4,AB=2,点F是BC
以
∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.
所以FD⊥平面PAF.
故PF⊥FD.
（Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且AH=1
4
AD. 再过H作HG//PD交PA于G,
则GH//平面PFD,且AG=1
4PA. 所以平面EHG//平
D
F
面PFD,则EG//平面PFD, 从而点G 满足AG=14
PA. 18、在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA a ===，2BC a =，
D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点，且2CF a =．
（1）求证：1B F ⊥ 平面ADF ； （2）求三棱锥1D AB F -的体积；
（3）试在1AA 上找一点E ，使得//BE 平面ADF ．
（1）证明：,AB AC D
=为BC 中点 AD BC ∴⊥，又直三棱柱
中：1
BB ⊥底面
,ABC AD ⊂
底面ABC ，1
AD BB ∴⊥，AD ∴⊥平面11
BCC B ，
1B F ⊂
平面11
BCC B
1
AD B F ∴⊥．在 矩形11
BCC B 中：1
C F C
D a ==，
112CF C B a
== 11
Rt DCF Rt FC B ∴∆≅∆，11
CFD C B F ∴∠=∠ 1
90B FD ∴∠=，
即1
B F FD ⊥， AD FD D =，1
B F ∴⊥平面AFD ； ----------5分 （2）解：AD ⊥平面11
BCC B 11113
D AB F A B DF B DF
V V S AD --∴==⋅⋅
=1
1132B F FD AD ⨯⋅⨯= -------10分 （3）当2AE a =时，//BE 平面ADF ． 证明：连,EF EC ，设EC
AF M
=，连DM ，
2AE CF a
== AEFC ∴为
矩形，M ∴为EC 中点，D 为BC 中点，//MD BE ∴，M D ⊂平面ADF ，BE ⊄
平面ADF
//BE ∴平面ADF ． ------16分 17、已知直角梯形ABCD 中,
A
B
C
D
1
A
1
B
1
C
F
//AB CD
,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===过A 作
AE CD
⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,
使得DE EC ⊥.
（1）求证：BC CDE ⊥面；（5分）（2）求证：//FG BCD 面；（5分）
（3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由. （5分）
解：（1）证明：由已知得：
,DE AE DE EC
⊥⊥, DE ABCE
∴⊥面…………（2分）
DE BC
∴⊥,
BC CE ⊥又,
BC DCE
∴⊥面……………………（5分）
（2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,
//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面……………（7分）
A B
C
D
E G
F · · A
B
C
D E G F
//FHG BCD
∴面面,
//GF BCD
∴面 …………………………（10分）
（3）分析可知，
R
点满足
3AR RE
=时，
BDR BDC
⊥面面 ……………………（11分）
证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、
CR
、CQ 、RQ
容易计算513212,,,,22
CD BD CR DR CQ =====, 在
BDR
中
521,,21BR DR BD =
==,可知5
RQ =
,
∴
在
CRQ
中,2
22
CQ
RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥……………………………
（13分） 又在
CBD
中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,
CQ BDR
∴⊥面,
BDC BDR
∴⊥面面………………………………………
（15分）
（说明:若设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出
12
x =
,亦可,不必再作证明）
16．在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面
ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1 （1）求证：DC∥平面ABE；
（2）求证：AF⊥平面BCDE；
（3）求证：平面AFD⊥平面AFE．
解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC//EB，又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，∴DC∥平面ABE……（4分）
(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE……（8分）
(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由计算知DF⊥EF，
∴EF⊥平面AFD，又EF⊂平面AFE，∴平面AFD⊥平面AFE．……（14分）
17．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.
（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A—CDEF的体积.
解：由三视图可知，该
多面体是底面为直
角三角形的直三棱
住ADE—BCF，
且AB=BC=BF=2，
DE=CF=2.2
π
∴∠CBF=.
2
取BF 中点G ，连M G 、N G ，
由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得， N G ∥CF ，M G ∥EF ， ∴平面MN G ∥平面CDEF ∴MN ∥平面CDEF .
（2）取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ，在直
三棱柱ADE —BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF =DE .∴AH ⊥平面CDEF . ∴多面体A —CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =24,2=⋅=EF DE S CD EF
矩形，
∴棱锥A —CDEF 的体积为.3
8
2243131=⨯⨯=⋅⋅=AH S V CDEF
矩形 17 如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为
CE
上的点，且ACE BF 平面⊥，AC
（1）求证：BCE AE 平面⊥（2）求证；BFD AE 平面//
（3）求三棱锥BGF C -
17 解.（1）证明： AD ∴ABE BC 平面⊥，
AE ⊂平面ABE, ∴BC AE ⊥
又 ACE BF 平面⊥，∴BF AE ⊥又∵BC ∩BF=B ，BC 、BF ∴BCE AE 平面⊥ B
C
C
（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点
ACE
BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =
∴F 是EC 中点 ,
在AEC ∆中，AE FG //，且FG ⊂平面BFD,AE ⊄平面BFD.
∴BFD AE 平面// …………… 12分 （Ⅲ）解： BFD AE 平面// ∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥ G 是AC 中点
∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12
1==AE FG ACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥
∴BCE Rt ∆中，2
2
1===CE CF BF
∴1222
1
=⋅⋅=
∆CFB
S
∴3
131=⋅⋅=
=∆--FG S V V CFB BCF G BFG
C …………………
16分
(其它求法一样给分)
16． 如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1切去一个三棱
锥B 1—A 1BC 1后得到的几何体．
（1）画出该几何体的正视图；
（2）若点O为底面ABCD的中
心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；
求证：平面A1BC1⊥平面
（3）
．
BD1D．
解：（1）该几何体的正视图为：
------------------3分
（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，
依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，--6分
则D1O∥O1B，因为BO1⊂平面BA1C1，
D1O⊄平面BA1C1，
所以有直线D1O∥平面BA1C1；
------------------------------------------------------
-8分
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1，---------------------------------------------------10分
另一方面，B1D1⊥A1C1，---------------------------------------------------------12分又∵DD1∩B1D1= D1，
∴A1C1⊥平面BD1D，
∵A1C1⊂平面A1BC1，
则平面A1BC1⊥平面
BD1D．-------------------14分
6、如图是利用斜二测画法画出的ABO
∆的直观图,已知O=4,
'
'B
且ABO
C
'x
A⊥轴,则''C A的
'
∆的面积为16,过'A作'
长为2
2.
17、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.
（1）求证：;AC
GN⊥（7分）
（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得
GP//平面FMC,并给出证明.（8分）
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中A D ⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，
∴FD ⊥面ABCD ∴
FD ⊥AC
∴AC ⊥面FDN FDN GN 面⊂ ∴GN ⊥AC （2）点P 在A 点处
证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面⊂
∴GA//面FMC 即GP//面
FMC
a
a
a
俯视图
左视图
主视图G
E
F N M
D
C
B
A
17．如图所示,在直四棱柱
11
1
1
D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1
BB 上一点. (Ⅰ)求证：//1
1
D B 面BD A 1
；(5分)
(Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分) (Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1
DMC ⊥平面D D CC 1
1
.
(Ⅰ)证明：由直四棱柱,得1
1
1
1
//,BB DD BB DD =且, 所以1
1
BB D D 是平行四边形,所以1
1
//B D BD …(3分)
而1
BD A BD ⊂平面,1
1
1
B D A BD ⊄平面,
所以//1
1
D B 面BD A 1
…(5分)
(Ⅱ)证明：因为1
BB ⊥⊂面ABCD,AC 面ABCD , 所以1
BB ⊥AC
………(7分) 又因为BD ⊥AC ,且1BD BB B
⋂=，所以
AC ⊥1
面BB D
而MD ⊂1
面BB D ，所以MD AC ⊥ ……(10分)
(Ⅲ)当点M 为棱1
BB 的中点时,平面
1DMC ⊥
平面D D CC 1
1
取DC 的中点N,11
D C 1
的中点N ,连结1
NN 交1
DC 于O ,连结OM .因为N 是DC 中点,BD=BC,所以BN DC ⊥；又因为DC 是面ABCD 与面1
1
DCC D 的交线,而面ABCD ⊥面1
1
DCC D ,所以
M A
B
C D A 1
B
C 1
D 1 M A
B
C D A 1
B
C 1
D 1
N N 1 O
11
BN DCC D ⊥面……………(13分)
又可证得,O 是1
NN 的中点,所以BM ∥ON 且BM=ON,即BMON 是平行四边形,所以BN ∥OM,所以OM ⊥平面D D CC 1
1
,
因为OM
面DMC 1,所以平面
1DMC ⊥
平面
D
D CC 11……………(15分)
2已知一几何体的三视图如图，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A 到面SBC 的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD 内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。

（1）32；
（2）底面边长为4、高为2时体积最大，最大体积为32
17． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a,E 为棱CC 1上的的动点． （1）求证：A 1E ⊥BD ；
（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ；
（3）在（2）的条件下，求BDE
A V _1。

A C
B
D S A A B D S 主左俯1
A 1
B 1
D 1
C
证明：（1）连AC,A 1C 1
正方体AC 1中，AA 1⊥平面ABCD ∴AA 1⊥BD 正方形ABCD ， AC ⊥BD 且AC AA 1=A
∴BD ⊥平面
ACC 1A 1 且E ∈CC 1 ∴A 1E ⊂平面
ACC 1A 1 ∴BD ⊥A 1E 4分
（2）设AC BD=O ，则O 为BD 的中点，连A 1O,EO
由（1）得
BD
⊥
平面A 1ACC 1
∴BD ⊥A 1O,BD ⊥EO
EO A 1∠∴即为二面角
A 1-BD-E 的平面角
6分
AB=a ，E 为CC 1中点 ∴A 1O=a 2
6
A 1E=
a 2
3 EO=a 2
3 ∴A 1O 2+OE 2=A 1E 2 ∴
A 1O ⊥
OE
1
90=∠∴OE A
∴平面A 1BD
⊥
平面
BDE
10分
(3)由（2）得A 1O ⊥平面BDE 且∴A 1O=
a 2
6
24
6a S BDE =
∆
∴
V=
34
131a Sh =
14分
16.一个多面体的直观图和三视图如下:
(其中N M ,分别是BC AF ,中点) (1)求证://MN 平面CDEF ; (2)求多面体CDEF A -的体积.
(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且2===BF BC AB ,
A
2
22
2 22A
2
2==CF DE ,∴︒=∠90CBF .
(1)取BF 中点G ,连NG MG ,,由N M ,分别是BC AF ,中点,可设:EF MG CF NG //,//,
∴面//MNG 面CDEF ∴//MN 面CDEF .
(2)作DE AH ⊥于H ,由于三棱柱BCF ADE -为直三棱柱
∴⊥AH 面DCEF ,且2=AH ∴3
8
22223131=⨯⨯⨯=⋅=-AH S V CDEF
CDEF
A ,
17．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ,2AB =,2PA =,E 为PD 的中点. （1）求证：PB||平面EAC ； （2）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （3）在侧面PAB 上找一点N ，使NE ⊥面PAC 。

21． 如图，在棱长为2的正方
体
1111
ABCD A BC D -中，
E
、F 分别为1
DD 、DB 的中点．
（1）求证：EF //平面1
1
BC D ； （2）求证：1
EF B C ⊥；
（3）求三棱锥EFC
B V
-1的体积．
解：（1）连接1
BD ，已知E 、F 分别为1
DD 、DB 的中点．
EF 是三角形BD 1D 的中位线，∴EF//BD 1；…(3分)
C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A
A 1
又11
EF BDC ⊄面，1
11
BD BD C ⊂面，∴EF//面BD 1C 1…(5分)
（2）连接1
BD 、BC 1，
正方体中，D 1C 1⊥面BCC 1B 1，BC 1⊂面BCC 1B 1，所以D 1C 1⊥ B 1C ……………………………6分
在正方形BCCB 中，两对角线互相垂直，即BC 1⊥B 1C ，………………7分
D 1C 1 、BC 1⊂面BC 1D 1，所以B 1C ⊥面BC 1D 1…(8分) BD 1⊂面BC 1D 1，所以有B 1C ⊥ BD 1，…(9分)
在（1）已证：EF//BD 1，所以EF ⊥B 1C ．………………………10分
（3）连接B 1D 1，在各直角三角形中，计算得： EB
1=3，EF=
，FB 1=
，FC=
，
B
1C= …………………………………12分
1111
166
B EF
C V B F FC EF -∴=
⋅⋅==…………………………
……14分。