怀化市九年级上册期中试卷检测题

怀化市九年级上册期中试卷检测题
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积
的7
9
，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4
7
7
58．
【解析】
【分析】
（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD
的面积和是△ABC的面积的7
9
，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】
（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1
2
×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC与△PAD的面积和＝1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t），
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7
9
，
∴1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t）＝18×
7
9
，
解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，
①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣1
2
t2＝
7
2
t2＝8，
解得：t1＝4
7
7
，t2＝﹣
4
7
7
（不合题意，舍去），
②如图2，当2≤t≤3时，S＝1
2
×6×6﹣
1
2
t2﹣
1
2
（6﹣2t）2＝12t﹣
2
5
t2＝8，
解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝4
5
（不合题意，舍去），
③如图3，当3≤t≤6时，S＝1
2
6×6﹣
1
2
t2＝8，
解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），
综上，t的值为4
7
7或25时，重叠面积为8．
【点睛】
本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.
2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，
（1）点C的坐标为；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；
当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．
【详解】
（1）∵点A（0，8），∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），
故答案为（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；
当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加
1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
4．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴2cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y，
∴1
2PB•BC=12，即
1
2
×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当16
3
＜x≤
22
3
时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
1 2BP•CQ=
1
2
（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-2
3
（舍去）；
③22
3
＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
1 2QP•CB=
1
2
（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，
2）；②P（﹣3
2
，
15
4
）
【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式； （2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点
P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{312a b c c b a
++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222
x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222
x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-
时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32
-，154）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
6．
如图1，抛物线y ＝mx 2﹣3mx +n （m ≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），在线段OA 上有一动点E （不与O 、A 重合），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）分别求出抛物线和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，当123625
S S = 时，求点P 的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转的到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E 'A +23
E 'B 的最小值．
【答案】（1）抛物线y ＝﹣34 x 2+94 x +3，直线AB 解析式为y ＝﹣34
x +3；（2）P （2，32）；（3）4103
【解析】
【分析】
（1）由题意令y ＝0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式；
（2）根据题意由△PNM ∽△ANE ，推出65
PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题； （3）根据题意在y 轴上 取一点M 使得OM′＝43
，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+
23
E′B 的最小值． 【详解】 解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），
则有330n m m n ⎧⎨⎩++＝＝，解得43
3m n ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴抛物线239344
y x x =-++，
令y ＝0
，得到239344
x x -
++＝0， 解得：x ＝4或﹣1，
∴A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则340b k b +⎧⎨⎩
＝＝， 解得33
4k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线AB 解析式为y ＝34
-x+3． （2）如图1中，设P （m ，239344m m -
++），则E （m ，0）， ∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，
∴∠PMN ＝∠AEN ，
∵∠PNM ＝∠ANE ，
∴△PNM ∽△ANE ，
∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，123625
S S ＝， ∴
65
PN AN =， ∵NE ∥OB ， ∴AN AE AB OA
=， ∴AN ＝54545454
（4﹣m ）， ∵抛物线解析式为y ＝239344x x -
++， ∴PN ＝239344m m -++﹣（34-m+3）＝34
-m 2+3m ，
∴
2336455(4)4
m m m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃），
∴m ＝2，
∴P （2，32
）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝
43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．
∵OE′＝2，OM′•OB ＝
43
×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ，
∴OE OB OM OE '=''， ∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB ，
∴
M E OE BE OB '''='＝23
， ∴M′E′＝23
BE′， ∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23
BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线时）， 最小值＝AM′2244()3+＝
4103． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+
23
BE′的最小值，属于中考压轴题．
7．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x
=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”
（1）当1n =时．
①求线段AB 所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．
【答案】（1）①1944y x =-
+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116
；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥； 【解析】
【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-
+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=
+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=
-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a
-≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），
①设直线AB 为y ax b =+，则
251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴1944
y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944
y x =-+， 设点P 为（x ，
k x ），由点P 在线段AB 上则 1944
k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-
+=--+； ∵104
-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116
； 当1x =时，k 有最小值2；
∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92
x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ，
设直线AB 为y ax b =+，则
25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， ∴21044
n n y x --=+， 设点P 为（x ，
k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=
-， 当204
n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：
10
10 4
2
24
2
n
n
x
n n
-
-
==
--；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在15
x
≤≤中，k随x的增大而增大；
当
2
4
n-
>时，有
∴
2
4
10
1
24
n
n
n
-
⎧
>
⎪⎪
⎨
-
⎪≤
⎪-
⎩
，解得：
2
6
n
n
>
⎧
⎨
≥-
⎩
，
∴不等式组的解集为：2
n>；
当
2
4
n-
<时，有
∴
2
4
10
5
24
n
n
n
-
⎧
<
⎪⎪
⎨
-
⎪≥
⎪-
⎩
，解得：
10
2
9
n
≤<，
∴综合上述，n的取值范围为：
10
9
n≥．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
8．如图，抛物线2
y x bx c
=-++的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为3,0，点C的坐标为()
0,3．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线
AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．
【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）
12
；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；
（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；
（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．
【详解】 解:（Ⅰ）依题意()()2
330{3
b c c --+⨯-+== 解得2{3
b c =-= 所以223y x x =--+
（Ⅱ）2223(1)4y x x x
抛物线的对称轴是直线1x =-
(,0)M x ，()
2,23P x x x --+，其中31x -<<-
∵P 、Q 关于直线1x =-对称
设Q 的横坐标为a
则()11a x --=--
∴2a x =--
∴()22,23Q x x x ----+
∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--
∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++
当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -
∴2(3)1AM =---=
设直线AC 的解析式为y kx b =+
则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩
∴设直线AC 的解析式为3y x
将2x =-代入3y x ，得1y = ∴(2,1)E -，
∴1EM = ∴11111222
AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，
∴3OQ =
∵2223(1)4y x x x
∴()1,4D -
过D 作DK y ⊥轴于K ，
则1DK =，4OK =
∴431OK OK OQ =-=-=
∴DKQ 是等腰直角三角形，DQ =
∴4FG ==
设()
2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+
∴234m m +=，解得14m =-，21m =
当4m =-时，2235m m --+=-
当1m =时，2230m m --+=．
∴()4,5F --或()1,0
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
9．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积
为；
②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为
或；（3）,或.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值
（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标
（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式
【详解】
解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）
则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18
故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；
②∵M（4,1），N（-2,3）∴，
又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24
∴此矩形的邻边长分别为6，4
∴n=-1或5
（2）如图1，
①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；
分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，
结合图象可知：
②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，
分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，
点P的坐标为（，7）或（，-3）
（3）如图2，y=+或y=+
【点睛】
此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键
10．如图，已知二次函数22(0)
y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交与点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．
(1) 求一次函数解析式；
(2)求顶点P的坐标；
(3)平移直线AB使其过点P，如果点Ｍ在平移后的直线上，且
3
tan
2
OAM
∠=，求点M坐
标；
(4)设抛物线的对称轴交x轴与点E，联结AP交y轴与点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，联结QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．
【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3
(2)顶点P的坐标为（1，4）
(3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-
）
（4【解析】
【分析】 （1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）
（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．
【详解】
(1)∵A （-1，0）,∴OA=1
∵OB=3OA ，∴B （0，3）
∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3
(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），
∴c=3,a=-1
∴二次函数的解析式为：223y x x =-++
∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）
(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+
∵直线3y x b =+过P （1，4）
∴b=1
∴平移后的直线为31y x =+
∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=
设M （x,3x+1）
① 当点M 在x 轴上方时，有
31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59
x =-
∴
2
5 (,
9
M-
2
3 -）
(4)作点D关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N⊥PD于点N 当-x2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P点坐标为（1，4），
则可得PD解析式为：y=2x+2，
令x=0，可得y=2，
∴D（0，2），
∵D与D′关于直线x=1对称，
∴D′（2，2）．
根据ND′⊥PD，
设ND′解析式为y=kx+b，
则k=-1
2
，即y=-
1
2
x+b，
将D′（2，2）代入，得2=-1
2
×2+b，解得b=3，
可得函数解析式为y=-1
2
x+3，
将两函数解析式组成方程组得：
1
3
2
22
y x
y x
⎧
=-+
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，
解得
2
5
14
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
故N（214 ,) 55
，
由两点间的距离公式：
5 =，
∴所求最小值为
5
【点睛】
本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．
三、初三数学旋转易错题压轴题（难）
11．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5
3
．
【解析】
【分析】
（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】
解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝22
AB AC
+＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中
AD AD
FAD EAD
AF AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝
5
3
，
即DE＝
5
3
．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
12．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，
AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．
（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，
AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．
（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且
∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．
【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.
【解析】
试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，
FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明
△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，
△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．
试题解析：(1)特例发现，如图：
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，
∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，
∴FQ=AG，∴PE=FQ；
(2)延伸拓展，如图：
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，
∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，
△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，
∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；
(3)深入探究,如图2，
在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，
∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，
△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，
∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；
(4)应用推广,如图3，
在前面条件及结论，得到，点H 是EF 中点，∴AE=AF ，∵∠EAB=∠AGB ，
∠FAC=∠AGC ∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC ）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H 为EF 中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，
∴∠EHM=∠FHN ．∵∠AEF=∠AFE ，∴△HEM ∽△HFN ，∴
，∵EH=FH ，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN ∽△HFN ，∴△MHN ∽△HFN ∽△MEH ，在△HMN 中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN 最小，只有△HMN 是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN ∴MN ∥EF ，∵△AEF 为等边三角形，∴MN 为△AEF 的中位线，∴MN min =EF=×2=1．
考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.
13．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中
90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===
观案发现
（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；
操作证明
（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论.
探究发现
（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.
（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.
【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥
【解析】
【分析】
（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；
（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；
（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；
（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥.
【详解】
（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，
BE AD ∴=，
F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，
G 是BD 的中点，
//,//HF AD FG BE ∴，
AD BE ⊥，HF GF ∴⊥，
90HFG ∴∠=︒；
（2）证明：如下图，连接AD BE ，，
由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，
又∵AC=BC ，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
AD BE ∴=，
F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，
G 是BD 的中点，
11,22
FH AD FG BE ∴==， FH FG ∴=；
（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形，
2CD =1CF DF ∴==，
2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=，
31BD BF DF ∴=-=-，
G 是BD 的中点，31DG -∴=
， 31BD BF DF ∴=-=-；
（4）AD BE ⊥. 连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，
∵ECD ∆是等腰直角三角形，
∴F 是ED 中点，
又∵H 是AE 中点，
∴AD ∥HF ，
∵HF ⊥ED ，
∴AD BE ⊥.
【点睛】
本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.
14．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

（1）概念理解:
如图1,在ABC ∆中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=︒,试判断ABC ∆是否是“等高底”三角形，请说明理由.
（2）问题探究:
如图2, ABC ∆是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ∆关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '∆,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC BC 的值. （3）应用拓展:
如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ∆的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ∆'',A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
13
2
AC
BC
=（3）CD的值为
2
10
3
,22,2
【解析】
分析：（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论；
（2）根据ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称，得到∠ADC=90°，由重心的性质，得到BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=13x，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论即可：①当AB=2BC时，再分两种情况讨论；
②当AC=2BC时，再分两种情况讨论即可．
详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D，
∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°．
∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=1
2
AC=3，
∴ AD=BC=3，
即ΔABC是“等高底”三角形．
（2）如图2，∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称，∴ ∠ADC=90°．
∵点B是ΔAA′C的重心，∴ BC=2BD．
设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x，
∴由勾股定理得AC=13x，
∴
1313 AC x
BC
==．
（3）①当AB2BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F．∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2，
l1与l2之间的距离为2，AB2BC，
∴BC=AE=2，AB2，
∴BE=2，即EC=4，∴AC= 25．
∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°．设DF=CF=x．
∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴
1
2
DF AE
AF CE
==，即AF=2x．
∴AC=3x=25，可得x=2
5
3
，∴CD=2x=
2
10
3
．
Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，
∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，
∴ΔACD是等腰直角三角形，
∴CD=2AC=22．
②当AC=2BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
∴AC=2BC=2AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，点A′在直线l1上，
∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．
综上所述：CD 2
10
3
，222．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读。