高三数学第五次月考试题理含解析试题

中学2021届高三第五次月考
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日
理科数学
选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
是虚数单位，假设复数，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵复数
∴
∴
应选A
，，那么=〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合，，然后求出，最后求
【详解】
那么
那么
应选
【点睛】此题主要考察了集合的混合运算，指数不等式以及对数不等式的化简求值，属于根底题
，两条直线，，表示两个平面，假如，，那么“〞是“〞的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由，，，利用线面垂直的性质定理可得，反之不成立
【详解】假如，，，那么必有，充分性成立
假如，，，不能保证，也有可能，必要性不成立
故“〞是“〞的充分不必要条件
应选
【点睛】此题主要考察了必要条件，充分条件与充要条件的判断，掌握线面垂直的性质定理是解题的关键，属于根底题。

的首项为，假设，那么的公差为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为，那么，
解得，应选B.
,那么以下不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用作差法比拟实数大小即得解.
详解：-〔〕=，因为，所以
所以.故答案为：D.
点睛：〔1〕此题主要考察实数大小的比拟，意在考察学生对该知识的掌握程度.(2)比拟实数的大小，常用作差法和作商法，一般假如知道实数是正数，可以利用作商法，否那么常用作差法.
6. 以下函数中，最小值为4的是________．
①y＝x＋；
②y＝sinx＋〔0<x<π〕；
③y＝4e x＋e－x；
④y＝log3x＋log x3〔0<x<1〕．
【答案】③.
【解析】
试题分析：①y＝x＋无最小值；②y＝sinx＋，当且仅当即等号成立，但这是不可能的；③y＝4e x＋e－x当且仅当即时等号成立；④当0<x<1时y＝log3x＋log x3<0无最小值．
考点：根本不等式
7.7.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为〔〕
A. 8
B. 4
C. D.
【答案】C
【解析】
由三视图可知：该几何体的直观图如下图，
由三视图特征可知，平面,平面,
,面积最小的为侧面，
∴
应选：C.
〔，，〕的部分图象如下图，那么的值分别为〔〕
A. 2，0
B. 2，
C. 2，
D. 2，
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】由函数图象可知：
，
函数的图象过点
，
，那么
应选
【点睛】此题主要考察的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入点坐标求出结果
时，不等式恒成立，那么的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由时，恒成立得对任意恒成立，即
当时，获得最大值，的取值范围是，应选D.
【易错点晴】此题主要考察利用根本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或者积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是屡次用或者时等号能否同时成立〕.
10.10.如图，正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点，分别是线段
和线段上的动点〔含端点〕，且满足.当运动时，以下结论中不正确的选项是〔〕
A. 平面平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 可能为直角三角形
D. 平面与平面所成的锐二面角范围为
【答案】C
【解析】
如图，当分别在上运动时，假设满足，那么线段必过正方形的中心，而平面平面平面正确；当分别在
上运动时，的面积不变，到平面的间隔不变的棱锥的体积不变，即三棱维的体积为定值，正确；假设为直角三角形，那么必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时的长大于不可能为直角三角形，错误；当分别为中点时，平面与平面所成的角为，当与重合，与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为等于平面与平面所成的锐二面角范围为，正确，应选C.
11.11.图一是美丽的“勾股树〞，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树〞，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树〞，以此类推，最大的正方形面积为1，那么第代“勾股树〞所有正方形的面积的和为〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为，选D.
，都存在两个不同的正数，使成立，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由得，设，那么，设，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，
，故当时，存在两个不同的实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立。

应选：A
点睛：，可以理解为任意取定一个x值，y=a与
都有两个不同的交点，因为左右平移不影响交点个数，即考虑y=a与的交点个数即可.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.
，且，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据求出的值，再根据向量的减法运算和向量的模即可求出答案
【详解】，，
，
那么
故答案为
【点睛】此题主要考察了平面向量一共线〔平行〕的坐标表示，解题的关键是根据向量的平行求出的值，属于根底题
，侧棱长为，那么其外接球的外表积为__________．
【答案】
【解析】
设正三棱锥的外接球半径为R，
因为球心到四个顶点的间隔相等，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为1
所以，解得，
∴外接球的外表积，故填.
15.15.满足约束条件，且的最小值为2，那么常数__________．【答案】-2
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，然后代入，由的最小值为求得的值。

【详解】满足约束条件作可行域如图：
由可得直线方程
由图可知，当直线过可行域内的点时，最小
联立，可得，在直线上
那么，解得
故答案为
【点睛】此题主要考察了简单线性规划，利用图像平行求得目的函数的最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的根本方法，属于根底题。

16.16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美，定义：可以将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数〞，那么以下有关说法中：
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；
②函数是圆的一个太极函数；
③直线所对应的函数一定是圆的太极函数；
④假设函数是圆的太极函数，那么
所有正确的选项是__________．
【答案】〔2〕〔3〕〔4〕
【解析】
【分析】
利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可
【详解】①显然错误，如图
②点均为两曲线的对称中心，且能把圆一分为二，故正确
③直线恒过定点，经过圆的圆心，满足题意，故正确
④函数为奇函数，
，
那么
令，得
即
即
对，当时显然无解，即时也无解
即时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分
假设时，函数图象与圆有四个交点，
假设时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二
综上所述，故正确的选项是②③④
【点睛】此题主要考察了关于圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学过的知识来断定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可断定结果
三、解答题：本大题一一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
的通项，点均在函数的图象上．
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕假设为等比数列，且，求数列的前n项和．
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
【分析】
依题意得，即，当时，，当时，，，即可求出数列的通项公式；
设等比数列的公比为，那么，解得，又，求得，可得，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出结果
【详解】解：〔Ⅰ〕依题意得，即．
当n=1时，a1=S1=1+1=2
当n≥2时，
满足上式
所以
〔Ⅱ〕设等比数列的公比为，，解得，又
，
，
【点睛】此题考察了求等差数列通项，利用来进展求解，一定要讨论当
时是否满足题意；在数列求和时运用分组求和法来求解，此题较为根底
18.18.a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
〔1〕求A；
〔2〕假设a=2，△ABC的面积为，求b，c．
【答案】(1)(2) b=c=2
【解析】
试题分析：〔1〕由条件及正弦定理可得sinC=，约去得
，即，可得；〔2〕在的根底上由余弦定理及三角形的面积可求得b=c=2。

试题解析：
〔1〕由正弦定理及条件得sinC=，
∵，
∴
∴
∴
〔2〕∵△ABC的面积为，
∴
∴。

由余弦定理得，
∴,
解得，
由解得
∴
点睛：
〔1〕在运用正余弦定理解三角形时，假设在关系式中既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或者将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．
〔2〕在运用余弦定理时，要注意公式的变形，即注意的灵敏运用，将
和看做一个整体，可为问题的解决带来方便。

19.19.如图，在三棱锥中，，，
，．
〔Ⅰ〕求证；
〔Ⅱ〕求二面角的大小；
〔Ⅲ〕求点到平面的间隔．
【答案】〔Ⅰ〕略，〔Ⅱ〕，〔Ⅲ〕
【解析】
解法一
〔Ⅰ〕取中点，连结．
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
〔Ⅱ〕，，
．
又，
．
又，即，且，平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的间隔．
由〔Ⅰ〕知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．
．
点到平面的间隔为．
解法二
〔Ⅰ〕，，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
〔Ⅱ〕如图，以为原点建立空间直角坐标系．
那么．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
〔Ⅲ〕，
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的间隔．
如〔Ⅱ〕建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为．
．
点到平面的间隔为．
视频
20.20.某中学举行一次“环保知识竞赛〞，全校学生参加了这次竞赛．为理解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩〔得分取正整数，满分是为分〕作为样本进展统计，请根据下面尚未完成并有部分污损的样本的频率分布表和频率分布直方图〔如下图〕解决以下问题：
〔Ⅰ〕写出，，，的值．
〔Ⅱ〕在选取的样本中，从竞赛成绩是分以上〔含分〕的同学中随机抽取名同学到参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的名同学来自同一组的概率．
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，设表示所抽取的名同学中来自第组的人数，求的分布列及其数学期望．
组别分组频数频率
第组
第组
第组
第组
第组
合计
【答案】〔〕，，，．〔〕．〔〕见解析.
【解析】
试题分析：利用频率=，以及表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
〔2〕由〔1〕可知第四组的人数，第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；
〔3〕由〔2〕可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出．
试题解析：〔〕由题意可知，，，．
〔〕由题意可知，第组有人，第组有人，一共人．从竞赛成绩是分以上〔含分〕的同学中随机抽取名同学有种情况．
设事件：随机抽取的名同学来自同一组，那么
．
故随机抽取的名同学来自同一组的概率是．
〔〕由〔〕可知，的可能的值是，，，那么：
，，．
所以，的分布列为：
．
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率〞，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或者某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
.
⑴讨论函数的单调区间；
⑵设，当时，假设对任意的都有，务实数的取值范围；
(3)求证：.
【答案】〔1〕见解析〔2〕〔3〕见解析
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，分类讨论，可得函数的单调区间
时可得，对任意的都有恒成立，可得时，别离参数，利用函数的单调性，即可求出答案当时，，取，那么，再利用叠加法即可证明结论
【详解】解：〔1〕
当时，递减区间为，递增区间为；
当时，递增区间为；
当时，递减区间为，递增区间为
〔2〕当时，
由〔1〕知时
对任意的都有恒成立
即，恒成立
即，恒成立
即，恒成立
令，那么，
即在上递增，故
所以
〔3〕当时，
由〔1〕知，单调递增，那么时，
即
取，
那么
故
……..
上式叠加得：
即
【点睛】此题考察了导数知识的综合应用，在求函数的单调区间时一定要对参量进展分类讨论；含有任意性的不等式问题时将其转化为最值问题，最后一问的不等式证明需要运用赋值法，然后进展叠加，此题还是有一定难度。

：，曲线C2：。

1
〔1〕指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公一共点的个数；
〔2〕假设把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，,写出，的参数方程.与公一共点的个数和C1与C2公一共点的个数是否一样？说明你的理由.
【答案】〔1〕Ｃ１是圆，Ｃ２１与Ｃ２只有一个公一共点；〔2〕只有一个公一共点，和原来一样，理由见解析
【解析】
试题分析：〔1〕先利用公式将参数消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的间隔与半径进展比拟，从而得到C1与C2公一共点的个数；
〔2〕求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进展断定即可．
试题解析：〔1〕Ｃ１是圆，Ｃ２１的普通方程为，圆心Ｃ１〔0,0〕，半径;
Ｃ2的普通方程为,因为圆心Ｃ１到直线的间隔为１，所以Ｃ１与Ｃ２只有一个公一共点；
〔2〕压缩后的参数方程分别为
化为普通方程为，联立消元得：，其判别式
；所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公一共点，和原来一样；考点：坐标系与参数方程
满足.
〔1〕假设，务实数的取值范围；
〔2〕求的最小值.
【答案】〔1〕或者.〔2〕3
【解析】
【分析】
由题意得，代入不等式，利用绝对值的定义，求出实数的取值范围
代入，得原不等式等价于，利用绝对值的几何意义，求解最小值即可
【详解】解：因为，所以.
〔1〕，所以，所以或者.
〔2〕，
当且仅当〔或者〕时等号成立，
所以的最小值是.
【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的求解，绝对值的几何意义的应用，属于根底题，在解答含有绝对值的题目时一般需要去掉绝对值，然后求解，此题在解题过程中运用了绝对值的几何意义，这样较为简单
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。