一阶近似下引力场中圆轨道运动径向微扰分析

考虑 一 个质 量为 ｍ 的人造 卫星环 绕质 量
那 么卫星 径向受 到的合力 为：
图 ２： 卫 星运 行 轨 道 示 意 图
为 Ｍ 的中 心天体作 角动量 为 Ｌ的匀速 圆周 运 动，这里 引入 离心势能：
‰ ：‰ ‰ ，＝ 一
（１３） ３．２ 运 动 经 历 一 个 周 期 时卫 星 位 置 的 确 定
∞： ：２ Ｒｏ
（１８）
恰 好转 过一 个 圆周，这 说 明卫星 运动 的
新轨道仍然经过受扰起始点 。
线性 回复力，可 以判断其做简谐振动 。从式 中 ４结论
卫星作匀速 圆周 运动的轨道半径 满 足： 可 以得到等效劲度系数为 ：
从 以上 的推 导 中可 以看 出 ，卫 星绕 中 心
运 动 与 径 向 简 谐 运 动 的 合 成 。 新 轨 道 与 圆 轨 道
， 共有 两个 交点，一个位于受到扰动处，另一个 位于 受到扰动处 与中心天体所确 定的直线上。 文 章为人造地球 卫星在 受扰之 后的运 动提供 了
可知竺 卫星绕中。ｏ心天体的圆轨道是稳定！的 ） ３．１运～ 动’ 经历一 半个～ 周… 期… 时卫星位’ 置 一 的一 确一 定
篇 （第 二 版 ）ｆＭ】．北 京 ：高 等教 育 出版 社 。２００４． ［２】文丽 ，吴 良大 ．高等数 学 一物理 类 （修 订 版 ）［Ｍ】．北京 ：北京大学出版社 ，２００４． ［３】程 守洙 ，江之 永 ．普 通物理 学 （第 六版 ） ［圳 ．北京 ：高等教育 出版社 ，２０１ ３．
（３）
卜一篇一 等 ～专］ 了～个周期，卫星亦回到平衡位置 ，其轨道与
‰
圆 轨 道 相 交 。 由 此 可 知 在 这 段 时 间 里 卫 星 转 过
的 圆 心 角 为 ：
Ｇ ＭｒａＡＲ
：一
（１４）
这里 的整 理取 到一 阶近似 。从 以上 表达 式可 以看 出，卫 星受到的是正 比于径 向位移 的
㈤
泰 勒展 开 并保 留至 一阶 小量 ，得到 更为
简 洁的表 达式：
。一 ／ ，
一
（１０）
图 １：卫 星运动势 能与半径关 系
圆 轨 道 是 人 造 卫星 运 动 的 理 想 状 态 ，但 由 于各种外界 因素 的影 响，卫星在运动过程 中无 法避 免地会受到扰动从 而运动状态受到影响 。 本文 提出 了在合理近似 下卫星受到径 向微小扰 动后运 动的数学模型 。
、
。…
…～
，．
。
一 个具有现实意义 的物理模型 ，对于卫 星的轨 道调整有借鉴作用 。
２ 径向振动一阶近似 下的周 期分析
２．１运 动参量的确定
根 据卫星刚好做 圆周运动 ，得 到：
ＧＭ ｍ
：—
—
Ｒ。 砰
（６）
其轨道如 图 ２所 示。
， １ 、
取时刻 ： ·
－ －ｏ ，
作者单位
西安 高新第一 中学 陕西省西安市 ７１００７５
Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ 电子 技术 与软 件工 程 · １４７
【关键词 】有效 势能 微小扰动 一阶近似
如 果卫 星受 到 了径 向微 小 扰动 ，根据 万 有引力的有心性 ，其运动过程 中角 动量守恒，
那 么 有 ：
Ｌｏ＝ｍＲ０Ｖｏ＝ｍ（Ｒ０＋ａＲ）ｒ
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（８）
由此可 以得到切 向速度的表达式：
势能 ｜ｌ｜
（ ）、ｌ 、、２ｍＲ
’ － ．．．一
’
（脚
ｌ ：凡＝０
（４）
若卫星 在受到径 向微 小扰 动后 势能升 高，
Ｋ ：
那么卫星径 向振动的周期应为 ：
那 么根 据势能最低原理 ，卫 星将 不会远离而是 在轨道 的平衡位置附近运动 ，此 时认为该卫星
压
的轨道 是稳定的。根据势能判断 ：
３对 以上结果的讨论
天体运动的 圆轨道是稳定 的。在受到径 向微小 （１５） 扰动之后 ，卫星的运动可 以近似地看做是圆周
（１） ｕ
Ｔ‘
受到扰动后 ，则上 式表达为 ：
男外 一 压，此时经过
（２）引力势能为 （ ）＝—－ＧＭ ｍ —
那么 卫星 运动 的有 效 势能 为离 心势 能与 引力势 能之 和，即：
［，
州 ‰ ＝ 一
其 函数 图像如图 １所示 。
１．２ 轨 道 稳 定 性 的 具体 分析
１匀速圆周轨道的稳定性分析
取 随卫 星转 动 的参考 系， 由于 只考虑 径 向运动，可不考虑与速度垂直 的科里 奥利 力作 用 。 这 里 引 入 惯 性 离 心 力 ：
Ｍ Ｖ
Ｐ
０（Ｒ）一— 一
并且有万有引力：
（１１）
１．１有效 势能函数 的建立
ＬｒＭ ｍ
Ｈ
）一
（１２）
此时经过 了半个
周期 ，卫星 回到平衡 位置 ，其轨 道与圆轨道相
交， 由此可知在这段 时间里 卫星 转过的圆心角
为 ：
：
：
过 半个 圆周
，
这 说明卫 星
新轨道 与原圆周轨道的交点位于受扰起始点与
中心 天体所在 直线 上。
参考文献 ［１１赵凯华 ，罗蔚 茵 ．新概念物 理教程 一力 学
ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ· 计算机技术应用
一 阶近似下引 力场 中圆轨道运动径 向微扰分析
文／王 远 卓
讨 论 圆轨 道 运 动 卫 星 受 径 向 微 小扰 动后 的运 动 ，从 能量 与 受 力 出发 ， 通 过 一 阶 近 似 手 段 ， 从 而得 到径 向运 动 的周 期特 性 与相 关推 论 。