7.5 解直角三角形-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)

解直角三角形
知识点一、直角三角形的边角关系
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系：
1.（勾股定理）；
2.两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）；
3.边与角之间的关系：.
三角函数是连接边与角的桥梁.
例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．4
5B．3
5
C．3
4
D．4
3
【解答】C
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
∴tanA=BC
AC =6
8
=3
4
．
故选C．
知识点二、解直角三角形
通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
图形未知条件解法步骤
例：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．B．C．D．9
【解答】B
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
AC＝3，
∴AD=1
2
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD=
在Rt△BCD中，BC=
故选B．
巩固练习
一．选择题
1．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（ ）
A ．3
2B ．2
3
C D 【解答】D
【解析】如图，作PE ⊥x 轴于E ．
∵P （2，3），∴OE ＝2，PE ＝3，
∴OP =
∴sin α=PE
OP =故选D ．
2．如图，∠EFG ＝90°，EF ＝10，OG ＝17，cos ∠FGO =3
5，则点F 的坐标是（ ）
A ．（8，27
4）B ．（8，12）
C ．（6，33
4）
D ．（6，10）
【解答】B
【解析】过点F 作AB ⊥y 轴交y 轴于点A ，过点G 作GB ⊥AB 于B ，
则∠FGO +∠FGB ＝90°，∠BFG +∠FGB ＝90°，∠AEF +∠AFE ＝90°，∴∠BFG ＝∠FGO ，
∵AB ⊥y 轴，GB ⊥AB ，∠AOG ＝90°，
∴四边形AOGB 为矩形，∴AO ＝GB ，AB ＝OG ＝17，∵∠EFG ＝90°，∴∠AFE +∠BFG ＝90°，∴AEF ＝∠BFG ＝∠FGO ，
在Rt △AEF 中，cos ∠AEF =AE
EF ，即AE
10=3
5，解得，AE ＝6，
由勾股定理得，AF =8，∴BF ＝AB ﹣AF ＝17﹣8＝9，
在Rt △BFG 中，cos ∠BFG =BF
FG ，即9
FG =3
5，解得，FG ＝15，
由勾股定理得，BG 12，则点F 的坐标是（8，12），故选B ．
3．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin ∠A =3
5，O 是AC 边上一点，以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D ，若BD ＝2，AD ＝AC ，则线段OB 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D 【解答】B
【解析】过点O 作OE ⊥AD 于E ，
设BC＝3x，
在Rt△ABC中，sin∠A=3
5
，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，AC==4x，∴AD＝AC＝4x，
∵AB＝AD+BD，
∴5x＝4x+2，
解得，x＝2，
∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED=1
2
AD＝4，
∵OE⊥AD，∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴AO
AB =AE
AC
，即AO
10
=4
8
，
解得，AO＝5，
∴OC＝AC﹣AO＝3，
由勾股定理得，OB
故选B．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（ ）
A B C．1
3
D．3
【解答】C
【解析】如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点B，
∵A（3，1），
∴OB＝3，AB＝1，
∴tanα=AB
OB =1
3
故选C．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA=4
5
，则BD的长度为（ ）
A．9
4B．12
5
C．15
4
D．4
【解答】C
【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA=4
5
，
∴AB=AC
cosA
=5，
∴BC=3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A=BC
BD =4
5
，
∴BD=3×5
4=15
4
，
故选C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB于D，若tanC=3
4
，AD＝8，则AB的长为（ ）
A．32
5B．10C．40
3
D．12
【解答】B
【解析】方法一：
∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAD+∠B＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴AB
CA =AD
CD
，
在Rt△ACD中，∵tanC=AD
CD =3
4
，AD＝8，
∴CD=32
3
，
则AC==40
3
，
由AB
CA =AD
CD
得AB=AD⋅AC
CD
=8×
40
3
32
3
=10，
方法二：
∵∠CAB＝90°，AD⊥CB，
∴∠CAD+BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，
∵tanC=3
4
，AD＝8，
∴tan∠BAD＝tanC=BD
AD =3
4
，
∴BD＝6，
∴AB=10，故选B．
7．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
【解答】C
【解析】如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠A＝40°，
∴BC＝AC•tanA＝3tan40°，
故选C．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=4
3
，则CD的值为（ ）
A．4
3B．2
5
C．6
5
D．2
【解答】C
【解析】延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=4
3=OB
AB
，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴DC
AB =OC
OA
，
∴DC
3=2
5
，
解得：DC=6
5
，
故选C．
9．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（ ）
A B C．3
5D．4
5
【解答】C
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC===5，
∴cos∠ACB=CH
AC =3
5
，
故选C．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=AC
CD =1
=2―tan 22.5°的值为（ ）
A 1
B ―1
C
D ．1
2【解答】B 【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，
设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =
∴tan 22.5°=AC CD =
1
1，
故选B ．
11．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）
A ．35
B ．59
C ．512
D ．4
5【解答】D 【解析】如图，延长AD 到M ，使得DM ＝DF ，连接BM ．
∵BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDF ，DM ＝DF ，
∴△BDM ≌△CDF （SAS ），
∴CF ＝BM ＝9，∠M ＝∠CFD ，
∵CE ∥BM ，
∴∠AFE ＝∠M ，
∵EA ＝EF ，
∴∠EAF ＝∠EFA ，
∴∠BAM ＝∠M ，
∴AB ＝BM ＝9，
∵AE ＝4，
∴BE ＝5，
∵∠EBC ＝90°，
∴BC ===12，
∴AC =15，
∴cos ∠ACB =BC AC =1215=45，
故选D ．
12．已知α，β均为锐角，若tan α=12，tan β=13，则α+β＝（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．90°
【解答】A
【解析】如图△ABC ，过点A 作AD ⊥BC ，
设：BD ＝3a ，CD ＝2a ，AD ＝6a ，
则tan α＝tan ∠BAD =3a 6a =12，同理tan β=13，
则AB =，AC ，
过点B 作BE ⊥AC 于点E ，
S
△ABC =1
2
×AD×BC=1
2
×AC×BE，
即5a•6a×BE，解得：BE=
，
sin（α+β）＝sin∠BAC=BE
AB
则α+β＝45°，
故选A．
二．填空题（共12小题）
13．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝　．
【解答】4
5
．
【解析】∵A（3，4），
∴OA==5，
∴sinα=4
5
．
故答案为4
5
．
14．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC BC的长为 ．
【解答】
【解析】如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，AB＝4，
∴AD=1
2
AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4
在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC=
∴DC=
∴BC＝BD+DC＝=
如图2，同理可得，
AD=1
AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4DC==
2
∴BC＝BD﹣DC＝=
综上所述，BC的长为
故答案为
，BD＝则CD 15．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD=2
3
为　．
【解答】2或10．
，
【解析】∵cos∠BAD=2
3
∴设AD＝2x，AB＝3x，
过点B作BD⊥AC于D，
根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
即（2x）2+（2＝（3x）2，
解得x＝2，
∴AD＝4，AB＝6，
如图1，△ABC是锐角三角形时，CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
如图2，△ABC是钝角三角形时，CD＝AC+AD＝6+4＝10；
综上所述，CD的长为2或10．
故答案为2或10．
16．已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝AC＝6，AD是BC边上的高，则BC的长为 ．
【解答】12．
【解析】∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，
∵∠C ＝60°，AC ＝6，
∴CD ＝ACcos ∠C ＝6cos 60°＝6×12=3，
AD ＝ACsin ∠C ＝6sin 60°＝6
∵AB ＝
∴BD ==9，
∴BC ＝CD +BD ＝3+9＝12，
故答案为12．
17．在△ABC 中，AB ＝AC ，若cosA =45，则BC AB = ．
【解析】过B 点作BD ⊥AC 于点D ，
∵cosA =45，
∴AD AB =45，
设AD ＝4x ，则AB ＝5x ，
∴BD ==3x ，
∵AB ＝AC ，∴AC ＝5x ，
∴CD＝5x﹣4x＝x，
∴BC=，
∴BC
AB
18．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB=1
3
，则AD长度是 ．
【解答】10
【解析】在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB=AB
AC =1
3
，
∴AC＝2÷1
3
=6．
在Rt△ADC中，
AD
＝10．
故答案为10．
19．在△ABC中，cosB=BC＝AC＝4，则AB＝ ．【解答】4或8．
【解析】如图，作CD⊥AB于D，
∵cosB BC＝AC＝4，
∴cosB=BD
BC
∴BD＝6，
∴CD=
∴AD==2，
∴AB＝6﹣2＝4或AB＝6+2＝8，
故答案为4或8．
20．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于
点F，若AC＝EF的长为　．
【解答】1
【解析】∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝
∴AD＝CD
∵tan∠DFC＝2=CD
FD
，
∴DF＝AF=1
2
AD
∴FC=5，
∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，
∴cos∠DFC=DF
FC =cos∠AFE=EF
AF
，
=EF，
∴EF＝1，
故答案为1．
21．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC 于E、F．
（1）若AD＝4，则EF的长为 ．
（2）若∠ABC＝45°，AB=EF的最小值为 ．
【解答】（1）（2
【解析】（1）作直径EP，连接PF，如图1：
∵EP为⊙O的直径，
∴∠EFP＝90°，
∵∠P＝∠BAC＝60°，
∴∠PEF＝30°，
PE，EF=，
∴PF=1
2
∵PE＝AD＝4，
∴EF×4＝
故答案为
（2）∵EF=，
∴当AD最小时，EF最小，
当AD⊥BC时，AD最小，如图2，
：
∵∠ABC＝45°，AB=
∴AD=＝2，
∴EF×2
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC＝18，
tanA=3
2
，那么CD＝ ．
【解答】5．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，tanA=3
2
，
∴AC=BC
tanA =
18
3
2
=12，
∴AB cosB=BC
AB
=∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，
∴BE=1
2
AB＝
∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，
∴cosB=BE
BD
∴BD ＝13，
∴CD ＝BC ﹣BD ＝18﹣13＝5，
故答案为5．
23．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 边上一点，连BD ，过C 点作BD 的垂线与过A 点作AC 的垂线交于点E ．当tan ∠ABD =12，cos ∠E =，则CD AD 的值是 ．
【解答】7
17．
【解析】设直线AB 交CE 于点H ，BD 交CE 于点N ，
设∠E ＝α，则cos ∠E
cos α，则sin αtan α＝4，∵tan ∠ABD =12，则tan ∠BHN ＝2，
∵AE ⊥AC ，BC ⊥AC ，
∴AE ∥BC ，
∴∠E ＝∠ECB ＝α，
∵∠NDC +∠NCD ＝90°，∠NCB +∠NCD ＝90°，
∴∠NCB ＝∠NDC ＝α，
在△AHE 中，设AE ＝a ，则AG ＝AEsin α＝asin α，GE ＝acos α，则GH =AG tan∠GHA =AG tan∠BHN =12AG =12asin α，则EH ＝GE +GH ＝acos α+12asin α，
在Rt △AEC 中，EC =AE cosα=a cosα，
则HC＝EC﹣EH=a
cosα―（acosα+1
2
asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC=a
cosα―（acosα+1
2
asinα），
同理可得：BC=4
3×HC
sinα
，
在Rt△BCD中，CD=BC
tanα=1
3
×HC
sinα
=1
3
a（1
sinαcosα
―1
tanα
―1
2
）=7a
6
，
AD＝AC﹣CD＝4a―7a
6=17a
6
，
则CD
AD =7
17
，
故答案为7
17
．
24．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在
CK上取一点N，使得CN=1
2
AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC＝2，BN＝15，则CH的长为 ．
【解答】
【解析】如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵tan∠ABH=AH
BH
=2，
∴可以假设BH＝k，2k，
∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，
∴∠HAC＝∠KCH，
∵NJ⊥BC，
∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，
∴AH
CJ =CH
NJ
=AC
CN
=2，
∴CJ＝k，
∴CH＝x+k，JN=1
2
（x+k），
∴tan∠NBJ=NJ
BJ =1
2
，设NJ＝y，BJ＝2y，
∵BN＝15，
∴5y2＝152，
∴y＝
∴NJ＝
∴CH＝2NJ＝
三．解答题
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC=tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的余切值．
【解答】3
2
【解析】过点A作AH⊥BC于H，
∵tanB=AH
BH
=2
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
2=(2BH)2+BH2解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC ∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
cotD=HD
AH =6
4
=3
2
26．如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线
AD B，a，c的值．
【解答】∠B＝30°，a＝c＝16
【解析】∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD
∴cos∠CAD=AC
AD
=
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a=b
tan30°
=
即∠B＝30°，a＝c＝16．
27．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=1
3
．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【解答】（1）4；（2
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA=1
，
3
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB==
∴x＝
由勾股定理可得，AD4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB==
∴sin∠DBC=CD
BD
28．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求AD
的值；
DB
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
【解答】（1（2）1
2
【解析】（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD==，
∴AD
DB
=
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE=AE
BE =1
2
.
29．如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为BF的中点；
（2）如果BC＝5，sinC=3
5
，求AF的长．
【解答】（1）见解析；（2）9
【解析】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴DF=DB，
即点D是BF的中点．
（2）过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C=OD
OC
，
∴r
r5=3
5
，
解得r=15
2
，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C=3
5
，
∴AH
AO =3
5
，
∴AH=9
2
，
∴AF＝2AH＝9．
30．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC =513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ．
（1）求∠EAD 的余切值；
（2）求BF CF 的值．
【解答】（1）56；（2）58
【解析】（1）∵BD ⊥AC ，
∴∠ADE ＝90°，
Rt △ADB 中，AB ＝13，cos ∠BAC =513，
∴AD ＝5，
由勾股定理得：BD ＝12，
∵E 是BD 的中点，
∴ED ＝6，
∴∠EAD 的余切=AD ED =56；
（2）过D 作DG ∥AF 交BC 于G ，
∵AC ＝8，AD ＝5，
∴CD ＝3，
∵DG ∥AF ，
∴CD AD =CG FG =35，
设CG＝3x，FG＝5x，∵EF∥DG，BE＝ED，∴BF＝FG＝5x，
∴BF
CF =5x
8x
=5
8
．。