离散数学作业(一)

一、写出下列基本定义（10分）
1.命题
2.偏序关系
3.关系R的对称闭包
4.幂集
5.大项、小项
二、写出下列命题的真值表（10分）
1.P→P
2.(P→P)∨(P→┐P)
3.(┐Q→┐P) →(P→Q)
4.（P∨┐Q）→┐P
5.P(┐P∨┐Q)
三、将下列等价式翻译成汉语，并进行证明（假设客体域有限）。

（10分）
（彐X）(A(X) ∨B(X))<====>（彐X）A(X) ∨（彐X）B(X)
四、试求下列命题的主合取范式和主析取范式。

（12分）
(┐P∨┐Q) →（R∨P）
五、设﹛A1,A2,....A K﹜是集合A的一个划分，在A上定义一二元关系R，（a,b）∈R当且仅当a,b在划分的同一分块内。

试证R是一个等价关系。

（10分）
六、设<A,*>, <B,△>是两个群，<A,*>, <B,△>的笛卡儿积是一个代数系统，<A×B,□>，其中□是一个二元运算，满足下式：
（a1,b1）,(a2,b2) ∈A×B
（a1,b1）□(a2,b2)= （a1＊a2,b1△b2）
试证明<A×B,□>是一个群（12分）
七、设<A,≤>是一个格，a,b∈A,试证
a≤b <===> a∧b=a <===> a∨b=b（10分）
八、（1）写出一个无向图具有汉密尔顿回路的充分条件（5分）
（2）写出一个无向图具有欧拉回路的充要条件，并判别下列图是否为欧拉图（11分）
G1 G2
九、设G是一个有V个结点，e条边的连通简单平面图，试证明，若V≥3，则有e≤3V-6并确定下土是否为平面图。

（10分）
Ks
一、写出下列基本定义（10分）
1、等价关系
2、布尔格
3、同态核
4、汉密尔顿路
5、阿贝尔群
二、用P 表示命题“天气很好”，Q 表示“我们去野餐”。

试将下列命题翻译成汉语，并可能将它简化。

（10分）
1、P ∨┐P
2、P Q
3、┐Q → ┐P
4、┐（┐P ∨Q ）∨(P ∧┐Q)
三、将下列等价式翻译成汉语，并进行证明（假设客体域有限）。

（10分） （X ）(A(X) ∧B(X))<====>（X ）A(X) ∧（X ）B(X)
四、将下列命题化为主合取范式和主析取范式。

（12分）
(A →B)∧(A →C)
五、设R 是集合A 上的一个等价关系，设﹛A 1,A 2,....A K ﹜是A 的子集的集合，并满足：
（1） 对任意i ≠j,Ai Aj 。

（2） a,b 属于某一Ai ，当且仅当(a,b) ∈ R
证明：﹛A 1,A 2,....A K ﹜是A 的一个划分。

（10分）
六、设<G,*>是群，对任意-a ∈G ，令H={y ︱y*a=a*y,y ∈G},
试证<H,*>是 <G,*>的子群。

（12分）
七、设<A,∨,∧>是由格<A,≤>所诱导的代数系统，试证明，如果∧对∨可分配，则∨对∧亦一定可分配，反之亦然。

（10分）
八、（1）写出树德至少四种等价定义（5分）
（2）给定下列加权图，求出其最小生成树，并计算出树的权。

（12分）
九、设有一个连通的平面图G ，只有V 个结点，e 条边和r 个面，试证明欧拉公式成立。

（10分）
v-e+r=2
《离散数学》作业（三）
一、填空题（15分）
1、设A ，B 是两个集合，其中},,{},2,1{c b a B A ==，则=⨯A B ( ).
2、设集合}4,3,2,1{=A ,A 上的关系)}2,3(),3,2(),4,1{(=R ,)}3,4(),2,3(),1,2{(=S ,则
=∙S R ( )。

3、设命题公式)(R Q P ⌝∨∧,则所有使它取真值为1的解释是（ ）。

4、在公式)(),()(x Q y x P x ∧∀中，从左向右算起，变量x 的第一次出现是（ ）的，第二次出现是（ ）的。

（指约束或自由）
5、设布尔代数-∧∨,,),1,0{上的布尔表达式为：
)()()(),(3221213,21x x x x x x x x x ∨∧∨∧∨=E ，则=E )1,0,1(（ ）
二、单选题（15分）
1、设集合},,{c b a A =，A 上的关系)},(),,(),,{(c b b a a a R =，则=2R ( )
A {}),(),,(),,(c a b a a a
B {}),(),,(),,(c b c a b a
C {}),(),,(),,(b b c a b a
D {}),(),,(),,(b b b a a a
2、设命题公式))(()(P R Q P P ∨∧→⌝∨,则它是（ ）
A 恒真的
B 恒假的
C 可满足的
D 析取范式
3、命题)()(x G x ∀取真值1的充要条件是（ ）
A 对任意x ，G （x ）都取真值1
B 有一个0x 使)(0x G 取真值1
C 有某些x 使)(x G 取真值1
D 以上答案都不对
4、设关系{}
为实数且x x x x R ,0|),(≥=，则R 具有（ ）
A 自反性
B 对称性
C 传递性
D 反对称性
5、设图G 是有6个顶点的连通图，总度数为20，则从G 中删去（ ）边后使之变成树
A 10
B 5
C 3
D 2
三、计算题
1、设R 和S 是集合}4,3,2,1{=A 上的关系，其中 {}{})4,4(),4,2(),3,2(),2,1(,)4,3(),3,2(),3,1(),1,1(==S R ，计算S R ∙和C C R S ∙
2、求命题公式())()(P Q Q P P G ⌝∨⌝⌝∧→→⇔的主析取范式
3、设一阶逻辑公式()),()(),()()()()(y x R y y z Q z x P y x G ∀⌝→∀∨∀∀⇔化为与它等价的前束合取范式
4、给定权2，3，5，7，8构造一棵最优二叉树（只写出画图步骤）
四、证明题
1、设,*A 是群，且+∈=I n n A ,2||。

证明：在A 中至少存在e a a e a =≠*,使得，其中
e 是么元。

2、证明：在布尔代数中，有：
b
a b a a b a b a a ∧=∨∧∨=∧∨)()( 《离散数学》作业（四）
一、填空题(15分)
1、已知集合{}{}b a A ,=，则A 的幂集合=)(A P ( )。

2、设R 使集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是（ ）。

3、设命题逻辑公式)(R Q P G ∨⌝∧=，则使G 取真价为1的解释是（ ）。

4、群的定义中的三个主要条件是（ ）、（ ）、（ ）。

5、有限图G 是树的两个等价命题是（ ）、（ ）。

二、选择题（单选，15分）
1、下面关于集合的表示中正确的为（ ）。

A {}{}c b a a ,,∈
B {}{}c b a a ,,⊆
C {}c b a ,,∈φ
D {}{}
{}c b a c b a b a ,,,,,,∈ 2、设{}c b a A ,,=，A 上的关系{}),(),,(),,(),,(b c c c b a a a R =，则R 不具备（ ）。

A 自反性
B 传递性
C 对称性
D 反对称性
3、设G 、H 是命题公式，R P G ∨⇔，则当⇔H ( )时，H G ⇒.
A {}{}c b a a ,,∈
B {}{}c b a a ,,⊆
C {}c b a ,,∈φ
D {}{}
{}c b a c b a b a ,,,,,,∈ 4、设循环群G 有6个元素，a 是G 的一个生成元素，e 是G 的一个生成元素，e 是单位元素，则集合（ ）是G 的子群。

A {}a e ,
B {}2,a e
C {}3,a e
D {}4
,a e 5、设G 是有5个顶点的完全图，则从G 中删去（ ）条可以得到树。

A 10
B 5
C 4
D 6
三、计算题
1、求命题公式)()(Q P Q P G ∧⇔∨⌝=的合取范式与析取范式（10分）
2、设集合{}c b a A ,,=，A 上的关系)},(),,(),,(),,{(c c b c b b b a R =，试求：
⑴ 写出R 的关系矩阵
⑵ 画出R 的关系图
⑶ R 具有关系的那些特性（自反、对称、传递、反对称）（15分）
3、设一阶逻辑公式)()()()(x Q x x p x G ∃⌝∨∀=，求G 的前束范式（10分）
4、判断下面两个图形哪个是哈密尔顿图？哪个不是哈密尔顿图？是与不是要说明原因，对哈密尔顿图写出哈密尔顿回路（10分）
5、设有完全m 叉树，其树叶数为t ，分枝点数为I ，则1)1(-=-t i m （10分）
四、证明题（10分）
利用形式演绎法证明 },),({Q P S R Q P ∨⌝→→蕴涵R S →。