2015-2016学年高一数学课时作业3.1.3《两角和与差的正切》新人教B版必修4

【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.3两角和与差的正切课时
作业 新人教B 版必修4
一、选择题
1．若tan(π
4－α)＝3，则cot α等于( )
A ．－2
B ．－12
C ．12
D ．2
[答案] A
[解析] ∵tan(π4－α)＝1－tan α
1＋tan α＝3，
∴tan α＝－1
2
，∴cot α＝－2.
2．设tan α、tan β是方程x 2
－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
[答案] A
[解析] 由已知，得tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3
1－2
＝－3.
3．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°＝( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) [答案] B
[解析] ta n28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)(1－tan28°tan32°) ＝tan60°(1－tan28°tan32°) ＝3(1－m )．
4．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°的值为( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．3 D ．
33 [答案] B
[解析] 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝tan60°＝ 3. 5．已知tan α＝1
3，tan β＝－2，则cot(α－β)的值为( )
A ．17
B ．－17
C ．1
D ．－1
[答案] A
[解析] cot(α－β)＝1
α－β
＝1＋tan αtan βtan α－tan β＝17
. 故选A ．
6．已知α＋β＝3π
4，则(1－tan α)(1－tan β)的值等于( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
[答案] A
[解析] ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β＝－1，
∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1， ∴原式＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 二、填空题
7．若sin α＝4
5，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tan β＝________.
[答案] －7
[解析] ∵sin α＝4
5，α为第二象限角，
∴cos α＝－35，tan α＝－4
3，
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
α＋β－tan α
1＋
α＋βα
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝－7.
8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. [答案] 1
7
[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17.
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)tan70°－tan10°＋tan120°tan70°tan10°；
(2)tan50°－tan20°－3
3
tan50°tan20°. [解析] (1)原式 ＝tan
70°－10°1＋tan70°tan10°－3
tan70°tan10°
＝3＋3tan70°tan10°－3
tan70°tan10°
＝ 3.
(2)tan50°－tan20°－
3
3
tan50°tan20° ＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－3
3
tan50°tan20° ＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－
3
3
tan50°tan20° ＝
33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33
. 10．(2015·广东文，16改编)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；
(2)求sin 2α
sin 2 α＋sin αcos α－2cos
2α
的值． [解析] (1) tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3，
(2) sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－2cos
2α ＝
2sin αcos α
sin 2
α＋sin αcos α－2cos 2
α
＝2tan α
tan 2
α＋tan α－2 ＝
2×2
22
＋2－2
＝1.
一、选择题
1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．1
7 B ．7 C ．－17
D ．－7
[答案] A
[解析] 由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－3
4
.
∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－3
41＋34＝17，故选A ．
2.
－－1
tan20°－tan50°
的值是( )
A ． 3
B ．
33 C ．－33
D ．－ 3
[答案] A
[解析] 原式＝－tan20°·tan50°－1
tan20°－tan50°
＝－
1
tan20°－tan50°1＋tan20°·tan50°
＝－
1－
＝－1
－tan30°
＝ 3.
3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4
D ．2
[答案] C
[解析] (1＋tan21°)(1＋tan24°) ＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°
＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24° ＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2， 同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2， 故原式＝4.
4．已知tan α、tan β是方程x 2
－3x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，
则α＋β的是( )
A ．π
6
B ．5π
6
C ．π6或－5π6
D ．－π3或2π3
[答案] B
[解析] 由韦达定理得⎩⎨
⎧
tan α＋tan β＝3
tan α·tan β＝4
，
∴tan α>0，tan β>0，
∵α∈(0，π2)，β∈(0，π
2)，
∴α＋β∈(0，π)．
又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－4＝－3
3，
∴α＋β＝5π
6.
二、填空题
5．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． [答案] 1
7
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝β－α－tan α1＋
β－αα＝3－21＋3×2＝1
7
.
6．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋π
3)的
值为________．
[答案] 2－ 3
[解析] ∵sin 3π4＝22，cos 3π4＝－2
2，
∴点P 的坐标为P (22，－22
)． ∴tan θ＝y
x
＝－1.
∴tan(θ＋π
3)＝tan θ＋tan
π31－tan θtan
π
3
＝tan θ＋31－3tan θ＝－1＋31＋3＝2－ 3. 三、解答题
7．求证：tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β. [解析] ∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝α＋
β－
α－β1＋
α＋β
α－β
，
∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)] ＝tan(α＋β)－tan(α－β)，
∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β ＝tan(α＋β)－tan(α－β)， ∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β ＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β. 8．已知tan A 与tan(－A ＋π4)是方程x 2
＋px ＋q ＝0的根，且3tan A ＝2tan(π4
－A )，求p 与q 的值．
[解析] 设t ＝tan A ，则tan(π4－A )＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t
1＋t ，
∴3tan A ＝2tan(π
4－A )，
∴3t ＝
21－t 1＋t ，解得t ＝1
3
或t ＝－2.
当t ＝13时，有tan(π4－A )＝1－t
1＋t ＝1－1
31＋
13＝12
，
∴p ＝－[tan A ＋tan(π4－A )]＝－(13＋12)＝－5
6
，
q ＝tan A tan(π4－A )＝13×12＝16
.
当t ＝－2时，有tan(π4－A )＝1－t
1＋t ＝－3，
∴p ＝－[tan A ＋tan(π
4－A )]
＝－[(－2)＋(－3)]＝5，
q ＝tan A tan(π4
－A )＝(－2)×(－3)＝6.
综上可知，p ＝－56，q ＝1
6或p ＝5，q ＝6.
9. 在锐角△ABC 中，
(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ； (2)化简：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A
2. [解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．
∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ． (2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C 2＝
π
2－A
2
， ∵tan
B ＋C
2＝tan(π2－A 2)＝cot A 2
. ∴原式＝tan A 2(tan B 2＋tan C 2)＋tan B 2·tan C
2
＝tan A 2tan B ＋C 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2·tan C
2
＝tan A 2tan(π2－A 2)(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝tan A 2cot A 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2
＝1－tan B 2tan C 2＋tan B 2tan C
2
＝1.。