函数一致连续性的判定及应用论(Word)

数学建模论文（设计）
题目函数一致连续性的判定及应用
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2007 年4 月19 日
函数一致连续性的判定及应用
摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。

关键词：函数；连续；一致连续函数
Decisions of uniformly continuous function and application
TANG Yong
The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China
Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region.
Key words: function; continuity; uniformly continuity
1. 引言
我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。

函数()
f x 在某区间内连续，是指函数()
f x在该区间内每一点都连续，它反映函数()
f x在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()
f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()
f x的变化趋势及性质。

因此，本文
对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。

现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有
正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论：
2. 函数连续与一致连续的关系
2.1 函数连续与一致连续的区别
2.1.1 函数连续的局部性
定义1 函数()f x 在某()0x 内有定义，则函数()f x 在点0x 连续是指，
0ε∀>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时，有 0()()f x f x ε-<。

（2-1）
那么，函数()f x 在点0x 处连续，是否意味着 ()f x 在0x 的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。

如函数()y xD x =只在0x =连续；函数(1)(2)()y x x D x =--仅在12x x ==，两点连续；又如函数
2sin 0()00x x y f x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，，，，
（2-2）
容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在0x =的任意小邻域内的图形。

上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解 ()f x 在0x 连续。

当且仅当 ()f x 在0x 的邻域0(,)x δ内每一点都连续，才能说()f x 在0x 的邻域内连续。

函数在点0x 处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点0x 的函数值0()0f x ≠，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题
命题 设()f x 在0x 连续，且0()0f x ≠，则一定存在0x 的某个邻域，使 ()f x 在此邻域内连续。

证明: 因()f x 在点0x 连续，即00,0,(;)x x εδδ∀>∃>∀∈使得，都有 0()()2f x f x ε-<。

（2-3）
现对0(;)x x δ'∀∈，由（2-3）显然有 0()()2
f x f x ε'-<，
（2-4）
又0()0f x ≠，当δ充分小时，由局部保号性有
0()()0f x f x '>，
（2-5）
即()0f x '≠，从而有 00()()()()()()f x f x f x f x f x f x ε''-≤-+-<。

（2-6）
可见()f x 在x '连续，由x '的任意性，知()f x 在0x 的δ邻域内连续。

因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。

2.1.2 函数一致连续的整体性
连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。

因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。

定义 2 设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有
()()f x f x ε
'''-<，
（2-7）
则称函数()f x 在区间I 上一致连续。

定义中的“一致” 指的是什么呢？只要与函数()f x 在区间I 上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的δ，不仅仅依赖于ε，还依赖于点0x 在区间I 中的位置，即0(;)x δδε=；而()f x 在I 上一致连续是指，存在这样的δ，它只与ε有关而与0x 在区间I 中的位置无关，即()δδε=。

也就是说，如果函数 ()f x 在区间I 上连续，则对任意给定的正数ε，对于I 上的每一点0x ，都能分别找到相应的正数δ，使得对I 上的任意一点x ，只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<，
其中0(;)x δδε=。

对于同一个ε
而言，当0x 在I 上变动时，δ的大小一般也随着改变，即δ依赖于0x 。

如图1，在曲线比较平坦的部分所需的δ远比在曲线比较陡峭的部分所需的δ大得多。

如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，那么这时()f x 就在I 上一致连续。

可见“一致”指的就是存在适合于I 上所有点x 的公共δ，即()δδε=。

直观地说，()f x 在I 上一致连续意味着：不论两点x '与x ''在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可以使()()f x f x ε'''-<。

这里可能会产生这样的疑问：既然对I 中每一个点0x 都能找出相应的()0;x δε，那么取这些()0;x δε的最小者或者是下确界作为正数()δε，不就能使其与点0x 无关了吗？事实上，这不一定能办得到。

因为区间I 中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数()0;x δε，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。

所以，()f x 在区间I 上一致连续，反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。

2.2 函数连续性与一致连续性的联系
函数()f x 在区间I 上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。

有如下结论
（1） 函数()f x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上连续。

这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（x '或x ''）固定即可，但这个命题的逆命题却不一定成立。

例 1 证明函数1y x =
在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）。

证明: 取 01ε=，对0δ∀>（δ充分小且不妨设12δ<），取,2x x δδ'''==， 则虽然有 2x x δ
δ'''-=<，
（2-8）
但111
1
x xδ
-=>
'''。

（2-9）
所以函数1y x
=在(0,1)内不一致连续。

那么应具备什么条件，在I 上连续的函数()f x 才在I 上才一致连续呢？
（2） 在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上一致连续。

这是著名的G.康托定理。

闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。

注1 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面：
（1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。

（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对,x x I '''∀∈，当x x δ'''-<时，就有 ()()f x f x ε'''-<。

（2-10）
（3）函数一致连续的否定叙述：设函数()f x 在区间I 上有定义，若00ε∃>，使0δ∀>，总,x x I '''∃∈，虽然有
x x δ
'''-<，
（2-11） 但是 0()()f x f x ε'''-≥， （2-12）
则称函数()f x 在区间I 上非一致连续。

总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。

函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质。

3. 一元函数一致连续性的判定及应用
3.1 一元函数在有限区间上的一致连续性
由于用函数一致连续的定义判定函数()f x 是否一致连续，往往比较困难。

于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。

定理1（Contor 定理） 若函数()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续[4]。

这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。

分析：由函数一致连续的实质知，要证()f x 在[],a b 上一致连续，即是要证对0ε∀>，可以分区间[],a b 成有限多个小区间，使得()f x 在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于ε。

证明：若上述事实不成立，则至少存在一个00ε>，使得区间[],a b 不能按上述要求分成有限多个小区间。

将[],a b 二等分为 []0,a c 、[]0,c b 则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为[]11,a b ；再将[]11,a b 二等分为 []11,a c 、[]11,c b 依同样的方法取定其一，记为[]22,a b ；......如此继续下去，就得到一个闭区间套[],n n a b ，n=1，2，… ，由闭区间套定理知，存在唯一一点c 满足
lim lim n n x x c a b →∞→∞
== （2-13）
且属于所有这些闭区间，所以[],c a b ∈，从而()f x 在点x c =连续，于是0δ∃>， 当x c δ-<[](,)x a b ∈时,就有 0()()2f x f c ε-<。

（2-14）
又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k ，使,k k a c b c δδ-<-<,从而对于[],k k a b 上任意点x ，都有x c δ-<。

因此，对于[],k k a b 上的任意两点,x x '''， 由（2-14）都有
000()()()()()()22f x f x f x f c f c f x εεε''''''-≤-+-<
+=。

（2-15）
这表明[],k k a b 能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间[],k k a b 的取法矛盾，从而得证。

注2 定理1对开区间不成立。

例如函数1()f x x
=
在()0,1内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续。

G.康托定理告诉我们：函数()f x 在闭区间[],a b 上一致连续的充要条件是
()f x 在[],a b 上连续，
所以在闭区间[],a b 上连续的函数必定一致连续，然而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立。

阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：
（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点。

（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。

虽然如此，我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条件，G.康托定理也可以推广到有限开区间和无限区间。

定理2 函数()f x 在(),a b 内一致连续⇔()f x 在(),a b 连续，且lim ()x a f x +
→与
lim ()x b f x -→都存在。

证明：⇒ 若()f x 在(),a b 内一致连续，则对()120,0,,,x x a b εδ∀>∃>∀∈，当12x x δ-<时，有 12()()f x f x ε-<，
（2-16）
于是当12,(,)x x a a δ∈+时，有
12()()f x f x ε-<。

（2-17）
根据柯西收敛准则，极限lim ()x a f x +→存在，同理可证极限lim ()x b f x -
→也存在，
从而()f x 在(),a b 连续，lim ()x a f x +→与lim ()x b f x -
→都存在。

⇐ 若()f x 在(),a b 连续，且lim ()x a f x +→和lim ()x b
f x -→都存在，则 令 ()(0),,()(),,,(0),,f a x a F x f x x a b f b x b +=⎧⎪=∈⎨⎪-=⎩
于是有()F x 在闭区间[],a b 上连续，由Contor 定理，()F x 在[],a b 上一致连续，从而()f x 在(),a b 内一致连续。

根据定理2容易得以下推论：
推论1 函数()f x 在(],a b 内一致连续⇔()f x 在(],a b 连续且lim ()x a f x +
→存在。

推论2 函数()f x 在[),a b 内一致连续⇔()f x 在[),a b 连续且lim ()x b f x -
→存在。

注3 当(),a b 是无限区间时，条件是充分不必要的。

例如
()f x x =，()sin g x x =在(),-∞+∞上一致连续，但是lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x g x →+∞
不存在。

3.2 一元函数在无限区间上的一致连续性
定理3 ()f x 在(),-∞+∞内一致连续的充分条件是()f x 在(),-∞+∞内连续，且lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞
和都存在。

证明：（1） 先证()f x 在[),a +∞上一致连续。

令lim ()x f x A →+∞
=，由柯西收敛准则有对0,0M ε∀>∃>使对,x x M '''∀>，有 ()()f x f x ε'''-<。

（2-19）
现将[),a +∞分为两个重叠区间[],1a M +和[),M +∞，因为()f x 在[],1a M +上一致连续，从而对上述10,0εδ>∃>，使[],,1x x a M '''∀∈+，且1x x δ'''-<时，有 ()()f x f x ε'''-<。

（2-20）
对上述0ε>，取{}1min ,1δδ=，则[),,x x a '''∀∈+∞，且x x δ'''-<，都有 ()()f x f x ε'''-<。

（2-21）
所以函数()
,a+∞内一致连续。

f x在[)
（2） 同理可证函数()f x 在(],a -∞内一致连续。

由（1）、（2）可得()f x 在(),-∞+∞内一致连续。

注4 若将[),a +∞分为[],a M 和[),M +∞，则当x '与x ''分别在两个区间时，即使有x x δ'''-<，却不能马上得出()()f x f x ε'''-<的结论。

由定理3还容易得出以下推论：
推论3 函数()f x 在[),a +∞内一致连续的充分条件是()f x 在[),a +∞内连续，且lim ()x f x →+∞
存在。

推论4 函数()f x 在(),a +∞内一致连续的充分条件是()f x 在(),a +∞内连续，且lim ()x a f x +→与lim ()x f x →+∞
都存在。

推论5 函数()f x 在(],b -∞内一致连续的充分条件是()f x 在(],b -∞内连续，且lim ()x f x →-∞
存在。

推论6 函数()f x 在(),b -∞内一致连续的充分条件是()f x 在(),b -∞内连续，且lim ()x b f x -→与lim ()x f x →-∞
都存在。

例2 判定下列函数在指定区间上是否一致连续。

（1）()2(),0,1f x x x =∈；（2）()21(),0,1f x x x x
=
∈+∞++；（3）sin (),0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭。

解：（1） 易见2()f x x =在()0,1内连续，且
2201lim 0,lim 1x x x x +-
→→==， （2-22）
即0lim ()x f x +→与1lim ()x f x -
→都存在，从而()f x 在()0,1内一致连续。

（2） 易见21()1f x x x
=++在()0,+∞内连续，且 2001lim ()lim 11x x f x x x
++→→==++，
（2-23）
2
1lim ()lim 01x x f x x x →+∞→+∞==++， （2-24）
因此()f x 在()0,+∞内一致连续。

（3） 易证sin ()x f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
内连续，且 00sin lim ()lim 1x x x f x x ++
→→==， （2-25） 2
2sin 2lim ()lim x x x f x x πππ-
-→→==， （2-26）
所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
内一致连续。

注5 由例2可见，上述判别法在判定某些函数()f x 非一致连续时十分简便。

例3 若单调有界函数()f x 在区间I 上连续，则函数()f x 在区间I 上一致连续。

证明: 不妨假设(),I a b =。

由于函数()f x 在I 上单调有界，即
函数()f x 在(),a b 上单调有界，从而极限lim ()lim ()x a x b f x f x +-
→→与都存在。

根据定理2、3及其推论可知，函数()f x 在(),a b 上一致连续。

定理4 设()f x 是定义在(),-∞+∞上的以()20T T >为周期的周期函数，则()f x 在(),-∞+∞上一致连续的充要条件是()f x 在(),-∞+∞上连续[6]。

证明：⇒ 必要性易证，下证充分性。

⇐ 因为()f x 在(),-∞+∞上连续，所以()f x 在[]0,2T 上也连续，从而一致连续。

因此，对()0,0T εδδ∀>∃><，使得对[],0,2x x T '''∀∈，且x x δ'''-<，有 ()()f x f x ε'''-<。

（2-27）
()12,,x x ∀∈-∞+∞，且12x x δ-<，不妨假设12x x <且())1,1x nT n T ∈+⎡⎣，即
1,0x nT T αα=+≤<。

（2-28）
（1） 若())2,1x nT n T ∈+⎡⎣，则
2,0x nT T ββ=+≤<，
（2-29）
此时 12x x αβδ-=-<，
（2-30）
故 12())()()f x f x f f αβε-=-<（。

（2-31）
（2） 若())2,2x nT n T ∈+⎡⎣，则
()21,0x n T T ββ''=++≤<，
（2-32）
此时 ()12x x T αβδ'-=-+< （2-33）
且[],0,2T T αβ'+∈，故
12())()()f x f x f f T αβε'-=-+<（。

（2-34）
综上所述，函数()f x 在(),-∞+∞上一致连续。

注6 运用定理4，易得三角函数sin x 等周期函数在(),-∞+∞上一致连续，较之用函数一致连续的定义来证明简单。

3.3 一元函数在任意区间上的一致连续性
对于一元函数在任意区间上一致连续与非一致连续，有以下结论： 定理5 函数()f x 在区间I 上一致连续⇔,(1,2,...)n n x y I n ∀∈=，只要
()lim 0n n n x y →∞-=，
（3-1）
就有 []lim ()()0n n n f x f y →∞
-=。

（3-2）
证明：⇒ 由()f x 在I 上一致连续知，
0ε∀>，0δ∃>，使得,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有 ()()f x f x ε'''-<。

（3-3）
又,n n x y I ∀∈，()lim 0n n n x y →∞
-=知，对上述0ε>存在*N N ∈，,n N ∀>有 n n x y δ-<，
（3-4）
从而对n N ∀>有 ()()n n f x f y ε-<，
（3-5）
即 []lim ()()0n n n f x f y →∞
-=。

⇐ 若不然，则必存在00,,n
n x x I ε'''>∈，虽然 1n
n x x n
'''-<， （3-6） 但是 0()()n
n f x f x ε'''-≥。

（3-7）
显然 ()lim 0n n n x x →∞
'''-=， （3-8）
但是 []lim ()()0n n n f x f x →∞
'''-≠。

（3-9）
推出矛盾，故()f x 在I 一致连续。

注7 此定理主要用来判定函数非一致连续。

注8 利用定义证明函数()f x 在I 上非一致连续的关键是确定00ε>，找出
,x x I '''∈使得0()()f x f x ε'''-≥，而要做到这一点，对于某些函数而言通常是比较困难的。

但是，根据前面判定函数一致连续的充要条件，易得函数在区间I 上非一致连续的两个比较简单的充分条件。

（1）连续函数()f x 在区间(),a b 内非一致连续的充分条件是(0)f a +和
(0)f b -至少有一个不存在。

（2）连续函数()f x 在区间I 非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列
{}n x ，{}n y ，使得()lim 0n n n x y →∞
-=，但 []lim ()()0n n n f x f y →∞
-≠。

（3-10）
例4 证明函数()x f x e =在R 上非一致连续。

证明：[法一] 012ε∃=，对()10ln 1,ln 1n x n x n e δδ⎛⎫'''∀>∃>=+= ⎪-⎝
⎭，取，虽然有
()1ln 1ln ln 1ln x x n n e n δδ⎛⎫'''-=+-=+<= ⎪⎝⎭， （3-11）
但是 ()01()()112
f x f x n n ε'''-=+-=>
=。

（3-12）
所以()x f x e =在R 上非一致连续。

现在利用判别法（2）证明例4。

[法二] 取()ln 1,ln n n x n y n =+=，则
()()1lim lim ln 1ln lim ln 10n n n n n x y n n n →∞→∞→∞⎛⎫-=+-=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， （3-13）
但是 []()()
()ln 1ln lim ()()lim lim 110n n n n n n n f x f y e e n n +→∞→∞→∞-=-=+-=≠。

（3-14）
所以由判别法（2）知()x
在R上非一致连续。

f x e
注9 利用这两个判别法证明函数()f x 在区间上非一致连续的优点是易见的：它不用直接确定00ε>找,x x I '''∈满足0()()f x f x ε'''-≥，而只须观察(0)f a +和(0)f b -的存在性或找出两个数列{}n x 和{}n y 满足判别条件即可。

利用上述两个判别法还可以证明以下题目：
（1） 函数()sin
f x x π=在()0,1上非一致连续。

（2） 函数1()f x x
=在()0,1上非一致连续。

（3） 函数()sin f x x x =在R 非一致连续。

（4） 函数3()sin f x x =在()-∞∞，+上非一致连续。

（提示：取
n x =n
x '=） 定理6 若函数()f x 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使得对,x x I '''∀∈都有
()()f x f x L x x ''''''-≤-
（3-15）
成立，则()f x 在区间I 上一致连续。

证明：因为函数()f x 在区间I 上满足Lipschitz 条件，即,x x I '''∀∈，有
()()f x f x L x x ''''''-≤-，
于是对0ε∀>，取0L ε
δ=>，,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有
()()f x f x L x x ε''''''-≤-<。

故函数()f x 在区间I 上一致连续。

例5 证明函数()f x =[)0,+∞上一致连续。

证明：由于对0,2L ε∀>∃=，使得[),0,x x '''∀∈+∞，都有
2x x '''≤≤-，
（3-16）
即()f x =[)0,+∞上满足Lipschitz 条件。

所以函数()f x =[)0,+∞上一致连续。

注10 例5若用函数一致连续的定义证明，则较用定理6证明繁琐。

定理6仅仅是函数()f x 在区间I 上一致连续的充分非必要条件，如下例
例6
证明()f x =[]0,1上一致连续但不满足Lipschitz 条件。

证明：()f x =[]0,1上连续，由Contor 定理()f x 在[]0,1上一致连续。

取()3311,,1,2,8n n x x n n n '''=== 显然{}{}[],0,1n
n x x '''⊂，且有 378n n x x n
'''-=， （3-17） 1()()2n
n f x f x n '''-=， （3-18） ()2()()47
n n n n f x f x n n x x '''-=→∞→∞'''-，。

（3-19）
从而，对任意充分大的正整数0M >，总存在0n N +∈使得
0000()()n n n n f x f x M x x '''->'''-，
（3-20） 即 0000()()n
n n n f x f x M x x ''''''->-。

（3-21）
故()f x =[]0,1上一致连续，但()f x 在[]0,1上不满足Lipschitz 条件。

由著名的利普希茨（Lipschitz ）条件得到启发，还可得
推论7 设存在0L >，使对任意,x x I '''∈，都有 ()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤-
（3-22）
成立，且()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在区间I 上一致连续。

证明：由()g x 在区间I 上一致连续，则
0,0,,,x x I x x εδδ''''''∀>∃>∀∈-<只要，就有 ()()g x g x L ε'''-<
， （3-23）
于是，对上述0ε>，0δ>，,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有 ()()()()f x f x L g x g x L
L εε''''''-≤-<=。

（3-24）
故()f x 在区间I 上一致连续。

定理7 函数()f x 在区间I 上一致连续⇔,,x x I x x δ''''''∀∈-<当时有 0lim sup ()()0f x f x δ+→'''-=。

（3-25）
证明：⇒ 由函数()f x 在I 上一致连续，则
0,0εη∀>∃>，使得当,x x I '''∀∈，且x x η'''-<时，有 ()()2f x f x ε'''-<
，
（3-26）
于是，当0δ+→时，令δη≤，只要x x δ'''-<，就有 ()()2f x f x ε
'''-<，
从而 sup ()()2f x f x εε'''-≤
<。

（3-27）
所以 0lim sup ()()0f x f x δ+→'''-=。

⇐ 由,x x I '''∀∈，当x x δ'''-<时，有 0lim sup ()()0f x f x δ+
→'''-=，
则0,0εδ∀>∃>，使得当x x δ'''-<时，有
sup ()()f x f x ε'''-<，
（3-28）
从而有 ()()sup ()()f x f x f x f x ε''''''-≤-<。

（3-29）
所以函数()f x 在I 上一致连续。

例7
讨论()f x =[)0,+∞上一致连续性。

解：()f x =[)0,+∞上连续，设00x >
（1） 当00x x ≤≤时，设1020120,0,x x x x x x δ≤≤≤≤-≤，则
≤≤
（3-30）
120sup ()()f x f x ≤-≤
（3-31）
且
0lim
0δ+→=。

（3-32）
所以()f x 在[]00,x 上一致连续。

（2） 当0x x <<+∞时，
=
≤， （3-33）
且
0lim
0δ+→=。

（3-34）
所以()f x 在[)0,x +∞上一致连续。

由（1）、（2）可得，()f x 在[)0,+∞上一致连续。

注11 定理7提供了一个直接观察()f x 一致连续的方法，即在()f x 图象上最陡的地方，若0δ+→，有()()0f x f x '''-→，则()f x 一致连续；若()f x 在某处无限变陡，则()f x 非一致连续。

综上所述，一元函数()f x 一致连续的判定，是由函数()f x 所满足的条件或所定义的范围所决定的，上述定理给出几种情况下函数一致连续的判定但不全面，我们还可以进行更加深入的讨论和研究。

4. 二元函数一致连续性的判定及应用
4.1 二元函数一致连续的概念及两个重要定理
定义3 设f 为定义在区域2D R ⊂上的二元函数，0p D ∈（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点）。

若0
0lim ()()P P f P f P →=即对0,0εδ∀>∃>，使得当 ()0,P U p D δ∈时，有 0()()f P f P ε-<， （4-1）
则称函数 f 关于区域D 在点0p 连续。

若二元函数f 在区域D 上任意一点都连续，则称f 在区域D 上连续。

定义4 函数f 在区域2D R ⊂上，如果对0ε∀>，0δ∃>（δ仅与ε有关），当,P Q D ∈且(,)P Q ρδ<时，有
()()f P f Q ε
-<，
（4-2）
则称函数f 在D 上一致连续。

若00ε∃>，对0δ∀>，,P Q D ''∃∈使得(,)P Q ρδ''<，而 0
()()f P f Q ε''-≥，
（4-3）
则称函数f 在D 上不一致连续。

定理8（柯西收敛准则） 平面点列{}n P 收敛⇔0,,N N ε+∀>∃∈使得当n N >时，对k N +∀∈，都有
(),n n k P P ρε+<。

（4-4）
证明：⇒ 设 0lim n n P P →∞
=， （4-5） 则由三角不等式
()()()
00,,,n n k n n k P P P P P P ρρρ++≤+
（4-6）
及点列收敛的定义，对0k N N N ε++∀>∈∃∈，，，使得当n N >时，恒有
()0,2
n P P ε
ρ<，
（4-7）
()0,2
n k P P ε
ρ+<
，
（4-8）
从而易得 (),n n k P P ρε+<。

⇐ 由(),n n k P P ρε+<，则有
(),n k n n n k x x P P ρε++-≤<，
（4-9）
(),n k n n n k y y P P ρε++-≤<，
（4-10）
从而数列{}{}n n x y ，满足柯西收敛准则，所以它们都收敛。

设00lim lim n n n n x x y y →∞
→∞
==，，由点列收敛概念得{}n P 收敛于点()000,P x y 。

定理9（归结原则） 设二元函数()f P 在
()0
0;P δ'有定义。

0
lim
()P P
f P →存在
对任何含于
()0
0;P δ'且以0P 为极限的点列{}n P ，极限()lim n n f P →∞
都存在且相等。

证明：⇒ 设 0
0lim ()()P P f P f P →=， （4-11）
则对()00εδδδ'∀>∃>≤，，使得当 ()0,P P ρδ<时，有
()0()f P f P ε-<。

（4-12）
又
点
列
{}()
0;n P P δ'⊂
且
lim n n P P →∞
=，
（4-13）
则对上述0N N δ+>∃∈，，使得当n N >时，有
()0,n P P ρδ<，
（4-14）
从而有 ()0()n f P f P ε-<， （4-15）
即 0lim ()()n n f P f P →∞
=。

（4-16）
⇐ 设 ()0lim ()n n f P f P →∞
=， （4-17）
下面用反证法证明 0
0lim ()()P P f P f P →=。

（4-18）
事实上，若0lim n n P P →∞
=时，
0lim ()()
P P f P f P →≠，
（4-19）
则00,0εδ∃>∀>（不论多么小），总P ∃，虽然()0,P P ρδ<，但是
00
()()f P f P ε-≥。

（4-20）
现依次取 ,
,
,,
,
23n
δδδδδ''
'
'=，则存在相应的点123,,,,,
n P P P P ，使得
()'
0,n P P n
δρ<
，而
00()(),1
,2,n f P f P n ε-≥=，
（4-21）
与假设矛盾。

所以()0
0lim ()n P P f P f P →=。

4.2 二元函数在有界闭区域上的一致连续性
定理10（一致连续性定理） 若函数 f 在有界闭区域2D R ⊂上连续，则
f 在D 上一致连续。

证明一[致密性定理]：假设f 在D 上不一致连续，则
00,0,,P D εδ∃>∀>∃∈Q ，使得(),P Q ρδ<，但
0()()f P f Q ε-≥。

（4-22）
令1
n
δ=（1,2,
n =），在D 中总能找到相应的n n P Q 与，使得1
(,)n n P Q n
ρ<
，但
0()()n n f P f Q ε-≥()1,2,
n =。

（4-23）
在有界闭区域D 中由致密性定理有，平面点列 {}n p 必有收敛子列
()0k n p p k →→∞，且0p D ∈。

同时由 0001
(,)(,)(,)(,)k k k k k n n n n n k
P Q P p P Q P p n ρρρρ≤+<+
01
(,)0k n P p k
ρ≤+
→()
k →∞，
（4-24）
得 ()0k n Q p k →→∞。

最后，由0()()n n f P f Q ε-≥，有
0()()k k n n f P f Q ε-≥。

（4-25）
令k →∞，由二元函数 ()f P 在0P 的连续性及数列极限的保不等式性，得 0000()()lim ()()0k k n n k f P P f P f Q ε→∞
=-=-≥>，
（4-26）
从而推出矛盾。

故f 在D 上一致连续。

证明二[有限覆盖定理]：由f 在D 上连续，则
0,,0P P D εδ∀>∀∈∃>，使得()
;P Q P D δ∀∈
，有
()()2
f Q f P ε
-< 。

（4-27）
考察开区域 (;)2P H P P D δ⎧⎫
=∈⎨⎬⎩⎭，
（4-28）
显然H 是D 的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，存在H 的一个有限开区域
*
,1,2,
,2i P i H P i k δ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
==⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎩⎭
（4-29）
覆盖了D 。

记102min i P i k δδ≤≤⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭，对,,(,)P P D P P ρδ''''''∀∈<，则
,P P '''必属于*H 中某开区域。

设,2i
P
i P P δ⎛⎫
'∈ ⎪
⎝
⎭
，即(),2i P i P P δρ'<，此时有 (,)(,)(,)2
2
2
i
i
i
i P
P
P
i i P P P P P P P δδδρρρδδ''''''≤+<+
≤
+
=。

（4-30）
故由（4-27）式，同时有
()()2
i f P f P ε
'-<
，
（4-31）
()()2
i f P f P ε
''-<
（4-32） 成立，从而
()()()()()()i i f P f P f P f P f P f P ε''''''-≤-+-<。

（4-33）
所以f 在D 上一致连续。

注12 定理中的有界闭区域D 可改为有界闭集，证明过程无原则性变化。

4.3 二元函数在有界开区域上一致连续的一致连续性
定理11 二元函数()f P 在有界开区域D 上⇔()f P 在D 上连续且
0,lim ()P P P D f P →∀∈∂存在（其中D ∂表D 的边界）。

证明：⇒ 二元函数()f P 在有界开区域D 上一致连续，则()f P 必然在D 上
连续，下面证明0
0lim ()P P P D f P →∀∈∂，
存在。

（1） 由二元函数()f P 在有界开区域D 上一致连续，则
1200,P P D εδ∀>∃>∀∈，，，当12(,)P P ρδ<时，就有
12()()f P f P ε-<。

（4-34）
对0P D n N +∀∈∂∀∈，，则01;P D n ⎛⎫⋂≠∅ ⎪⎝⎭。

任取01;n P P D n ⎛⎫
∈⋂ ⎪⎝⎭
，则
0lim n n P P →∞
=，且()1
,2,n P D n ∈=。

（4-35）
于是对上述0N N δ+>∃∈，，当,m n N >时，有
(),m n P P ρδ<，
（4-36）
从而 ()()m n f P f P ε-<。

（4-37）
由柯西收敛准则知lim ()n n f P →∞
存在。

（2） 若(),1
2n n P Q D n ∈=，，且 0lim lim n n n n P Q P →∞
→∞
==，
（4-38）
则由（1）有
lim ()n n f P →∞
与lim ()n n f Q →∞
都存在。

于是，对上述0M N δ+>∃∈，，使得当n M >时，有
()0,2
n P P δ
ρ<
且()0,2
n Q P δ
ρ<
，
（4-39）
从而当n M >时，有
()()()00,,,n n n n P Q P P P Q ρρρδ≤+<。

（4-40）
所以 ()()n n f P f Q ε-<， （4-41）
即 lim ()lim ()n n n n f P f Q →∞
→∞
=。

（4-42）
结合()1、()2，由归结原则得0
0,lim ()P P P D f P →∀∈∂存在。

⇐ 令 (),()lim (),lim n n n n n f P P D
F P f P P D P D P P →∞→∞∈⎧⎪
=⎨⎛⎫∈∂∈= ⎪⎪⎝⎭⎩其中且
（4-43）
则对0P D ∀∈（D 表示D 的闭包），有00P D P D ∈∈∂或。

当0P D ∈时，由D 为开区域知：()0P D ∃
⊂，当()0P P ∈时()()F P f P =。

因为()f P 在0P 连续，所以
()0
00lim lim ()()()P P P P F P f P f P F P →→===，
（4-44）
故()F P 在0P 连续。

当0P D ∈∂时，有
0()lim ()n n F P f P →∞
=，
（4-45）
其中{}n P 为D 中趋于0P 的点列。

对D 中任一趋于0P 的点列{}n Q ，由0
lim ()P P f P →存
在，有
()()()()0lim lim lim n n n n n n F Q f Q f P F P →∞
→∞
→∞
===。

（4-46）
由归结原则知
()0
0lim ()P P F P F P →=，
（4-47）
所以()F P 在0P 连续。

综上所述，()F P 在D 上连续，从而一致连续。

4.4 二元函数在区域上的一致连续性
定理12 二元函数()f P 在区域D 上一致连续⇔对{}{}n n P Q D ∀∈，，当
()lim ,0n n n P Q ρ→∞
=时，就有
lim ()()0n n n f P f Q →∞
-=。

（4-48）
证明：⇒ 由函数 ()f P 在区域D 上一致连续，则
()121200,,P P D P P εδρδ∀>∃>∀∈<，，，，就有
12()()f P f P ε-<。

（4-49）
任取{}{}()lim ,0n n n n n P Q D P Q ρ→∞
∈=，使，则对上述0N N n N δ+>∃∈>，，当时，有
(),n n P Q ρδ<，
（4-50）
从而有 ()()n n f P f Q ε-<， （4-51）
即是 lim ()()0n n n f P f Q →∞-=。

（4-52）
⇐ 假设函数()f P 在区域D 上不一致连续，则
()01001,2,n n n εδ∃>∀=>=，，总()1,n n n n P Q D P Q n
ρ∃∈<，使得，从而有 0()()n n f P f Q ε-≥。

（4-53）
这与 lim ()()0n n n f P f Q →∞-=
（4-54）
相矛盾，故函数()f P 在区域D 不一致连续。

以上仅为一元函数一致连续性的判定方法在二元函数上的三个推广。

事实上，一元函数一致连续性的判定方法大多可以推广到二元函数甚至n 元函数，只不过需要注意它们在形式上有所区别。

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