湖北省荆州市2021届新高考数学一模考试卷含解析

湖北省荆州市2021届新高考数学一模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1
．已知向量(a =r ，b r
是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设(,)b x y =r
，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【详解】
设(,)b x y =r ，
∴(1)a b x y -=-r r
， Q b r
是单位向量，∴221x y +=,
Q a b -=r r
，
∴22(1))3x y -+=，
联立方程解得：1,2x y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩
当1,2x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,
x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>=
=⨯r r ；∴,3a b π
<>=r r 综上所述：,3
a b π
<>=r r .
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r
的两种情况.
2．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a x
f x a x
+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∨⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
【答案】A 【解析】 【分析】
分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】
对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由
0a x
a x
+>-解得a x a -<<，且()()1
ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭
，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】
由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于
2021
101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.
4．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小
二乘法，得到线性回归方程为ˆu
=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2
C ．ln2
D ．2ln2
【答案】B 【解析】 【分析】
将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu
=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】
解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu
=-0.5v+2得： ()2
ln 0.542y x =--+，即()
2
0.542
x y e --+=，
当4x =时，()2
0.542x --+取到最大值2， 因为x
y e =在R 上单调递增，则()
2
0.542
x y e --+=取到最大值2e .
故选：B. 【点睛】
本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =
，
现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．
82
3
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】
解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．
又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．
计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
6．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：
55 57 59 61 68 64 62 59 80 88
98 95 60 73 88 74 86 77 79 94
97 100 99 97 89 81 80 60 79 60
82 95 90 93 90 85 80 77 99 68
如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则-=（）
m n
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
根据程序框图判断出,n m的意义，由此求得,m n的值，进而求得m n-的值.
【详解】
由题意可得n的取值为成绩大于等于90的人数，m的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故
m=，12
24
n=，所以241212
-=-=.
m n
故选：D 【点睛】
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 7．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种 B ．36种
C ．24种
D ．18种
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士， 若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有
，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
8．已知函数2(0)
()ln (0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的
取值范围（ ）． A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．[,1)-∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件可知方程()0f x x a +-=有且只有一个实根等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象，数形结合即可． 【详解】
解：因为条件等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象如图，
由图可知，1a >， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题．
9．已知函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x
g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则
正数a 的取值范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0
0002
42ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数
()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结
合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】
函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x g
x x a -=-⋅，
由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，
即0
000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，
令()ln 5h
x x x =+-，
∴()111x
h x x x
-'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减， ∴()()14max h
x h ==，而0
00024222424x
x x x a a a --⋅+⋅≥⋅⋅=，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，
∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
10．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()
R A B ⋂ð等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2)
C ．(-4,2)
D ．(0,2)
【答案】D 【解析】 【分析】
求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】
解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42R A x x =-≤≤ð， ∴()
()0,2R A B =I ð. 故选：D. 【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.
11．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,)-+∞
B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处
取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
12．设函数()(1)x g x e e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足
2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫
∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数
()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．e
⎛
⎫+∞ ⎪
⎪⎝⎭
B ．,)e +∞
C ．,)e +∞
D ．e
⎡⎫+∞⎪⎢
⎪⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先构造函数()()2
12
T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】
构造函数()()2
12
T x f x x =-
， 因为()()2
f x f x x -+=， 所以()()()()()()()2
2211022
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，
当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(]
,0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()01
12x x f x f x x ⎧⎫∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
， 所以()()0001
12
f x f x x +
≥-+，
所以()()()2
20000011111222
T x x T x x x +
+≥-+-+， 化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即01
2
x ≤
令()()12x
h x g x x e a x ⎛⎫=-=--≤
⎪⎝
⎭
， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在1
2
x ≤时有一个零点 因为当1
2
x ≤
时，()12'0x h x e e =≤=， 所以函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，10
2<<，
又因为0h e
a e
⎛=-=> ⎝
，
所以要使()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点，
只需使102h a ⎛⎫
=≤ ⎪
⎝⎭，解得2
a ≥，
所以a 的取值范围为⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3
B a b π
===ABC V 的面积为
___________．
【答案】2
【解析】 【分析】
由余弦定理先算出c ，再利用面积公式1
sin 2
S ac B =计算即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，
故ABC ∆的面积1sin 22
S ac B =
=
.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，
若2cos c a B =，22
1124
S a c =-，则ABC ∆的形状为__________，C 的大小为__________． 【答案】等腰三角形 4
C π
=
【解析】 ∵2cos c a B =
∴根据正弦定理可得sin 2sin cos C A B =，即sin()2sin cos A B A B += ∴in 0()s A B -= ∴A B =
∴ABC ∆的形状为等腰三角形
∵22
1124S a c =
- ∴2222221111111sin 2444444
ab C a a c a b c =+-=+- ∴222sin 2a b c C ab
+-=
由余弦定理可得222
cos 2a b c C ab
+-=
∴sin cos C C =，即tan 1C = ∵(0,)C π∈ ∴4
C π
=
故答案为等腰三角形，
4
π 15．4()(2)x y x y -+的展开式中，32
x y 的系数为____________.
【答案】16 【解析】 【分析】
要得到32x y 的系数，只要求出二项式4(2)x y +中22x y 的系数减去3x y 的系数的2倍即可
【详解】
32x y 的系数为2
2144C 2C 216⨯-⨯=.
故答案为：16
【点睛】
此题考查二项式的系数，属于基础题.
16．已知向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，||1c b -=r r ，则||a c +r r 的取值范围为_________.
【答案】[]0,4
【解析】
【分析】
设a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，c OC =u u u r r ，a OA OA -=-='r u u u r u u u r ，由||1a =r ，||2b =r ，||1c b -=r r ，根据平面向量模的
几何意义，可得A 点轨迹为以O 为圆心、1为半径的圆，C 点轨迹为以B 为圆心、1为半径的圆，a c +r r
为A C '的距离，利用数形结合求解.
【详解】 设a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，c OC =u u u r r ，a OA OA -=-='r u u u r u u u r ，
如图所示：
因为||1a =r ，||2b =r ，||1c b -=r r ，
所以A 点轨迹为以O 为圆心、1为半径的圆，C 点轨迹为以B 为圆心、1为半径的圆，
则a c +r r
即A C '的距离，
由图可知，04A C ≤'≤.
故答案为：[]0,4
【点睛】
本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数21()()2ln f x ax bx x a R =+--∈．
(Ⅰ)当0b =时，讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的[1,3]a ∈和0,,2()()3x f x bx ∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围．
【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)22,2e ⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦ 【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为1ln 2
x b a x x +-≥，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数b 的取值范围即可．
【详解】
解：(Ⅰ)当0b =时，()()()21220ax f x a x x x
-=-=>'， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，由()0f x '<得：10x a <<；由()0f x '>得：1x a
>． ∴当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞，无单调递增区间：
当0a >时，函数的单调递减区间是10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，函数的单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． (Ⅱ)对任意的[]
1,3a ∈和()0,x ∈+∞，()23f x bx ≥-恒成立等价于： 212ln 23ax bx x bx +--≥-，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立． 即1ln 2
x b a x x +
-≥，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立． 令：()1ln x g x a x x
=+-，[]1,3a ∈，()0,x ∈+∞， 则()22211ln ln 20x x g x x x x -'-=--==得2x e =， 由此可得：()g x 在区间(20,e ⎤⎦上单调递减，在区间)
2,e ⎡+∞⎣上单调递增， ∴当0x >时，()()22min 1g x g e
a e ==-，即212
b a e ≤- 又∵[]
1,3a ∈， ∴实数b 的取值范围是：22,2e ⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
． 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．
（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．
（2）求二面角M CB P --的余弦值．
【答案】 (1) 45
. (2) 310. 【解析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.
详解：
（1）∵ABCD 是矩形，
∴AD CD ⊥，
又∵PD ⊥平面ABCD ，
∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，
∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，
由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ，
则()2,0,4AP =-u u u v ，()2,0,0BC =-u u u v ，()1,4,2MB =-u u u v ，
设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v ，
则1100
BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴()10,1,2n =u v ， ∴1114cos ,52
55AP n AP n AP n ⋅===⋅⋅u u u v u v u u u v u v u u u v u v ， 故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为
45
． （2）由（1）可得()0,4,4PC =-u u u v ， 设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z u u v =，
则2200
BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v ，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =， ∴()20,1,1n u u v =，
∴12310cos ,52
n n ==⋅u v u u v ， 故二面角M CB P --的余弦值为
310． 点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.
19．如图，在三棱柱ADE BCF -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P 不与C 重合），H 是AE 的中点.
（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP
（2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
78
【解析】
【分析】
（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论；
（2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时. 则其外接球的半径为
5. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.
1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .
则ED ABCD ⊥平面，5EC =.
则EC 为四面体EDPC 外接球的直径.
所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥.
由题意，CB ED ⊥，EP ED E =I ，所以CB DP ⊥.
因为60BAD
BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点.
记AD 的中点为M ，连接MH ，MB .
则MB DP P ，MH DE P ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP .
因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .
（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变.
当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大.
所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.
以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)
3,1,0B ，311,22H ⎫-⎪⎝⎭，()0,2,0C . 所以)3,1,0DB =u u u r ，311,2
22DH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，()0,2,1EC =-u u u r ，)
3,1,1EB =-u u u r . 设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =u r .
则111110,110,22DB m y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
u u u v v u u u u v v 令11x =
，得(1,=-u u r m . 设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =r .
则2222220,0,
EC n y z EB n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 令23y =
，得)n =r .
设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8
ϕ⋅==u u r r u u r r m n m n . 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为
78
. 【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题． 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .当M 与O 连线的斜率为12-
时，直线l 的倾斜角为4
π （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若2,AB P =是以AB
为直径的圆上的任意一点，求证：OP ≤ 【答案】（1）2
212
x y +=；（2）详见解析. 【解析】
【分析】
（1）由短轴长可知1b =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由设而不求法作差即可求得2121221212
y y x x b x x a y y -+=--+g ，
将相应值代入即求得a =
（2）考虑特殊位置，即直线l 与x
轴垂直时候，1OP =≤l 斜率存在时，设出直线l 方程y kx m =+，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m 与k 的关系，将2
||OM 表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果
【详解】
解：（1）由已知，得1b =
由221122
222222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得 2121221212
y y x x b x x a y y -+=--+g 根据已知条件有， 当1212
2x x y y +=-+时，12121y y x x -=- ∴2212
b a =
，即a =∴椭圆C 的标准方程为2
212
x y += （2）当直线l
斜率不存在时，1OP =<.
当直线l 斜率存在时，设:l y kx m =+
由2222
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222214220k x kmx m +++-= ∴2121222422,2121
km m x x x x k k --+==++，2216880k m ∆=-+> ∴()
2222222241,,212121km m k M OM m k k k -+⎛⎫= ⎪++⎝⎭+g
由2AB == 化简，得22
22122k m k +=+ ∴()22222241
212221k k OM k k ++=++g ()()
222412122k k k +=++ 令2411k t +=≥，则
()()2443134t OM t t t t
==++++
4≤=-
当且仅当3t =时取等号 ∴42331OM ≤-=- ∵1OP OM ≤+
∴3OP ≤ 当且仅当231k -=时取等号 综上，3OP ≤
【点睛】
本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题
21．在平面四边形ABCD 中，已知 34
ABC π∠=，,AB AD ⊥1AB =.
（1）若5AC =，求ABC V 的面积；
（2）若254,sin CAD AD ∠==求CD 的长. 【答案】（1）
12
；（213【解析】
【分析】 （1）在三角形ABC 中，利用余弦定理列方程，解方程求得BC 的长，进而由三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积.
（2）利用诱导公式求得cos BAC ∠，进而求得sin BAC ∠，利用两角差的正弦公式，求得sin BCA ∠，在三角形ABC 中利用正弦定理求得AC ，在三角形ACD 中利用余弦定理求得CD 的长.
【详解】
（1）在ABC V 中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
22512240BC BC BC BC =++⇒-=，
解得2BC =
1121122222ABC S AB BC sin ABC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V . （2）2590,BAD sin CAD ∠=︒∠Q =
255cos sin ,BAC CAD sin BAC ∴∠=∠=∠= 22551042552(cos 1)02B sin BCA sin BAC C sin BAC A π⎛⎫∴=∠ ⎪⎛⎫∠=-∠-∠=-= ⎪ ⎪⎭
⎝⎭⎝ 在ABC V 中，AC AB sin ABC sin BCA
=∠∠， sin 5sin AB ABC AC BCA
⋅∠∴==∠. 2225251625413CD AC AD AC AD cos CAD ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯
=. 13CD ∴=
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
22．为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×
2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
男 女 总计 合格
不合格
总计
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附：
()20P k k ≥ 0.100 0.050 0.010 0.001
2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ n a b c d =+++ 【答案】（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
43
【解析】
【分析】 （Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算2
360 3.956 3.84191
K =≈>得到答案. （Ⅱ）0,1,2X =，计算1(0)15P X ==，8(1)15P X ==，2(2)5P X ==，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
2240(1041016)360 3.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2
人，基本事件总数为2615C =，0,1,2X =
221(0)1515C P X ===，11428(1)1515C C P X ===，2462(2)15155
C P X ====，
()153
E X ==. 【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
23．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>
过点2
，设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56
AFB π∠=． （1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）2
214
x y += （2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-． 【解析】
【分析】
【详解】
（1）因为椭圆Γ
过点2，所以222112a b += ①， 设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=，所以6BFO π∠=
，又||BF a ==，所以12
b a = ②， 将①②联立解得21
a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2
214x y +=． （2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．
将y kx n =+代入2
214
x y +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=， 则22222
(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814kn x x k -+=+，2122
4414n x x k -=+， 所以12212121121212121211()()2(1)()BP BQ y y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+== 22222
4482(1)8(1)214141444(1)(1)1
14n kn k n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅-++====--+-++， 所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以k 0<， 此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，
令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．。