【教学案】济南2010届高考数学一轮资料---计数原理5个课时全部

排列、组合、二项式定理
考纲导读
1. 掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题.
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.
3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题.
4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
高考导航
排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析 问题和解决问题的能力及分类讨论思想.
它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组
成部分，是进一步学习概率论的基础知识•由于这部分内容概念性强， 抽象性强，思维方法
新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检 验，因此
学生要学好本节有一定的难度.
解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理
解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识， 高考重点考查展开式及通项， 难度
与课本内容相当•另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题， 在高考中
也时有出现.
第1课时 两个计数原理
理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法
中有m 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2种不同的方法， ，在第 n 类办法中有
m 种
不同的方法，那么完成这件事共有 N= ___________________ 种不同的方法.
2.
分步计数原理（也称乘法
知识网络
排列概念
两个计数原理
应用
排列组合 二项式定理
二项式定理
一|组合概念
组合
组合数公式
—组合数性质
通项公式
应用
.项式系数性质
排列数公式
排列
原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m种不同的方法，做第二步有m^种不同的方法，，做n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N= __________________________________ 种不同的方法.
3. 解题方法：枚举法、插空法、隔板法.
例1.高二、⑴、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人 (1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？
(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？
(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？
(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？ 解：(1) 48 + 50 + 52= 150 种 (2) 48 X 50 X 52= 124800 种 (3) C 仏 (4) A ；0
变式训练1:在直角坐标x — o — y 平面上，平行直线 x=n ,(n=0, 1, 2, 3, 4, 5) , y=n , (n=0,
1, 2, 3, 4, 5)，组成的图形中，矩形共有(
)
A 25 个
B 、36 个
C 、100 个
D 、225 个
解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样 的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：
2 2
得到的矩形共有
C 6 C 6
15 15 225个，
故选Db
例2. (1)将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？
⑵ 设I ={1,2,3,4,5,6}
, A 与 B 都是I 的子集，A A B = {1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有 理想配共有多少种？ (3)
随着电讯事业的发展，
许多地方电话号码升位， 若某地由原来7位
电话号码升为8位电话
号码，问升位后可多装多少门电话机？ (电话号码首位不为0)
5
76
7
解：(1) 6
( 2) 27 (3)电话号码首位不为 0: 9X 10 — 9 X 10 = 8.1 X 10
变式训练2： 一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑 6种颜色。

请问：⑴6个小扇形分别着上 6种颜色有多少种不同的着色方法 ？
⑵从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色 ，则有
多少种不同的着色方法 ？
解：⑴6个小扇形分别着上 6种不同的颜色，共有 A 720种着色方法.
⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C ；C
5A ?种不同的方法；其中相邻两个扇形是同
一种颜色的着色方法共有 6C ；A ；;因此满足条件的着色方法共有
C ；C ；A f 6C ；A? 6480种着色方法
例3.如图A , B, C, D 为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来, 则不同的建桥方案有(
)
1
解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有 C 4=4种方法;
第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：
A —
B —
C — D, D-C — B-A ,这样的两个排列对应一
匚二二、D
二二 C
A 、8 种
B 、12 种
C 、16 种
D 、20 种
4
种建桥方法，因此有A 12种方法；
2
根据分类计数原理知道共有 4+12=16种方法
变式训练3:某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员 不能同时分给一个部门， 另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门， 求有多少种不同的 分配方案.
解：用分步计数原理•先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有 2X (3 +
3) X 3= 36 种.
例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，
现从结点 可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是(
D 、19
12 —
5
12 6-> 12 -6+
第三类单位时间传递的最大信息量是 6;第四类单位时间传递的最大信息量是 6。

所以由分 类记数原理知道共有： 3+4+6+6=19，故选D 变式训练4： 7个相同的小球，任意放入 4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少
种？
解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有
1个球”。

于是，我们采用“隔板法”来解决。

在 7个小球中的每两个之间分别有 6个空，我们从6 个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部 分至少有1个球。

即有
C 3=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。

所以 共有20种放球放法。

注；(1)本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。

(2) 隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用 两个原理的区别在于， 前者每次得到的是最后的结果，
后者每次得到的是中间结果， 即每次
仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.
第2课时 排列
基础过关
1. 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” •因此当元 素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列.
2. ______________________________________________________________ 从n 个不同元素中取出 m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个为不同元素中取 出m 个元素的排列数，用符号 A n 表示•排列数公式 A n = _______________________________________________ .
A 向结点
B 传递信息，信息
)
4类办法:
第一类： 第二类 第三类 第四类； 可见：第
12 ―8
类中单位时间传递的最大信息量是 3;第二类单位时间传递的最大信息量是 4;
”，完成这件事有
这里me n其中等式的右边是__________ 个连续的自然数相乘，最大的是___________ ，最小的
是.
3. ____________________________________________________________________________ n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用A n n表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用 _______________________
表示.
4. 解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举
法、对称法、隔板法.
5. 排列问题常用框图来处理.
例1、(1)元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？
⑵同一排6张编号1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票
有连续编号，则不同分法有多少种？
(3) (06湖南理14)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进
行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行. 那
么安排这6项工程的不同排法有多少种数？
解：(1)分类：9种
(2)假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元
素b，另4人为四个元素
C1、C2、C3、C4.问题化为a,b,c 1,c 2,c 3,C4的排列，条件是a,b不相邻，共有A：A = 48种；
(3)将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2项工程选择好位置，剩下3个位
置按甲、乙(两丁)中唯一的，故有A2= 20种
变式训练1:有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法•
9
解：9个球排成一列有A种排法，再除去2红、3黄、4白的顺序即可，
故共有排法91260种。

答案：1260
2 3 4
A A A
例2. 5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数
(1) ____________________________ 甲站正中间的排法有 __________________ 种，甲不站在正中间的排法有_____________________ 种.
⑵甲、乙相邻的排法有 ____________ 种，甲乙丙三人在一起的排法有 __________ 种.
⑶甲站在乙前的排法有 __________ 种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻) 的排法
有______ 种.丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有________________ 种.
(4)甲乙不站两头的排法有_________ 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有_____________ 种.
(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有
________ 种.
⑹女生互不相邻的排法有 __________ 种，男女相间的排法有 ________ 种.
(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有_________ 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有 _______
种.
(8) 甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有________ 种.
(9) 甲乙之间有且只有4人的排法有___________ 种.
解：(1)8 ! , 8 X 8! (2) 2 X 8! ,6 X 7! (3)丄X 9! , A X 1, A X 2X 1
2
(4) A X7 !8 ! + 7X 7X 7!
⑸ 2 X 5!X 4!
4
⑹ 5 ! X 代，5 ! X 4! X 2
2
(7) 9 ! - 2 X 8!X 2+ 2 X 7! , 3 X 6!X A X2
.3
(8) 9 ! - A X 6!
(9) 捆绑法.2X p74X 4! 也可用枚举法2 X 4X 7 !
变式训练2:从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每
名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，
则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
解：5.
例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数解：分两类.
①类5在千位上：1X 5 X A = 280
②类4或6在千位上：2X 4X A = 448
故有280 + 448= 728 个
变式训练3：3张卡片的正反面上分别有数字0和1 , 3和4, 5和6,当把它们拼在一起组
成三位数字的时可得到多少个不同的三位数( 6可做9用)
解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5X 4X 2 = 40个•这40个三位数中含数字6的有2X 3X 2+ 1 X 4X 2= 20个，故6可做9用时，可得三位数40+ 20= 60个例4. (1) 从6名短跑运动员中选4人参加4 X 100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？
(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？解：(1)①先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5X A = 300种②60对.
(2)假设五个连续空位为一个元素A, B为单独一个空位元素，另4个为元素O, G, G ,
G间题转化为A, B, O1, O2, O3, 04排列，条件A, B不相邻，有A：A = 480种.
变式训练4:某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成•如果
第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_________________ 种•(用数字作答).
1•解排列应用问题首先必须认真分析题意•看能否把问题归结为排队(即排列)问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等)
2.解有约束条件的排列问题的几种策略.
a. 特殊元素，特殊位置优先定位(也有个别例外情况，见例1)
b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理
c. 正难则反，等价转换
3•解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的
各种方法.
4. 由于排列问题的结果一般数目较大.不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要 防止重复和遗漏•为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同.
第3课时 组合
1•一般地说，从n 个不同元素中，任取 m(mc n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中
取出m 个元素的一个组合. 2.
排列与组合的共同点，就是都要“从 n 个不同元素中，
任取 m 个元素”，而不同点就是 前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.
从n 个不同元素中取出 m(m< n)个元素的所有组合的个数， 叫做从n 个不同元素中取出 m 个
元素的组合数，用符号 C 表示. 组合数公式c m =
=
cn ------------------------ --------------------------------------------
在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续 m
个自然数之积，最大的数为 n ，最小
的数是(n m 1)，分母是m!，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式 =
_______ ，
它的分子是n!，分母是m!与(n m )!的积. 3. 组合数性质：
①
c m n m
C n
②
c m C m
C m 1
C
n 1 C
n 1
③ c m
n
m 1
—C
n 1
m
④ c m
m 1 m 1
m 1
.
C
n 1
C
n 2
C
n 7
L
c n°m （m n ） ⑤
m
C
n
C m e 0 c m
1C
1
e 1 e m 1 e 0e m …C
r C
n r
C r C
n r
例1•某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派 5名学生参加某种课外活动•
(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法
(2) 如果班长和副班长有且只有 1人在内有多少种派法. (3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法 .
(4) 如果班长和副班长至少有 1人在内，有多少种派法.
解；(1) C ；G ： = 286 (2) C ；G ； = 1430 (3) 碌=1287
(4) G ； — = 1716
变式训练1:从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这 4个人中必须既有男生 又有女生，则不同的选法有 ()
A. 140
B. 120
C. 35
D. 34
解：D
例2.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名 女生,则选派方案共有()
A 108 种
B 、186 种 C.216 种 D 、270 种
3
3
3
解：没有女生的选法有C4，至少有1名女生的选法有C7C431种，
所以选派方案总共有：31 X A =186种。

故选B.
变式训练2:从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有()
A. 210 种
B. 420 种
C. 630 种
D. 840 种
解：B
例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于
其编号数，则不同的分法有多少种？
⑵以平行六面体ABC—A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角
形，则这两个三角形不共面情况有多少种？
⑶一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式
来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两
端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？
解：(1)先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0, 1, 2本书，再用隔板法分配剩下的
书有C62= 15种，(2)平行六面体中能构成三角形个数C；= 56为任取两个有C,种情况，
其中共面的有12 C：，因而不共面的有C56 —12C42种(3) C85cj 28
变式训练3:马路上有编号为1 , 2 , 3 , 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______ 种.
解：20 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯
插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有C63 20种关灯方法.
例4.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，
(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法.
解：(1)四个点共面的取法可分三类•第一类：再同一个面上取，共有4C；个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C32= 3个面.故有69种.
⑵用间接法•共G4 69 = 141个面.
变式训练4:在1 , 2 , 3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法.
(1)其和是3的倍数
(2)其差是3的倍数(大数减小数).
(3)相加，共有多少个不同的和.
⑷相乘，使其积为7的倍数.
1•解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题•区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序” •需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题.
2.要注意准确理解“有且仅有”“至多” “至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语
的确切含义.
3•组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理•另外有的问题也可用框图结合对应思想
来处理。

4.避免重复和遗漏.
第4课时排列组合综合题
1解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、
插空法、枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想•
2•解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的
过程进行分步•
3 •处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排•
4 •对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题
例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
(1 )甲必须在排头；
(2)甲必须在排头，并且乙在排尾；
(3 )甲、乙必须在两端；
(4)甲不在排头，并且乙不在排尾；
(5 )甲、乙不在两端；
(6)甲在乙前；
(7 )甲在乙前，并且乙在丙前；
(8 )甲、乙相邻；
(9 )甲、乙相邻，但是与丙不相邻；
(10 )甲、乙、丙不全相邻
解析：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有A
1种，再排其它4个位置
4
有A种，所以共有：
1 4
A x A4=24种
(2)甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：A1 x A1 x人3=6种
2 2
(3)首先排两端有氏种，再排中间有氏种，
2 2
所以甲、乙必须在两端排法种数为：A x
人3=12种
5 4 3
(4)甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：
A - 2 A4+A3=78种
(5)因为两端位置符合条件的排法有A种，中间位置
符合条件的排法有A种，
2 3
所以甲、乙不在两端排法种数为A x A3=36种
(6)因为甲、乙共有2 !种顺序，所以甲在乙前排法种数为：&十2! =60种
(7)因为甲、乙、丙共有3!种顺序，
所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：&十3! =20种
4
(8)把甲、乙看成一个人来排有A4种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法
(9)
首先排甲、乙、丙外的两个有 A
，从而产生3个空，把甲、
乙看成一个人与丙插入
2
这3个空中的两个有
A 3，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排
2 2 2
法种数为
A x A x 氏=24种
3
3
(io )因为甲、乙、丙相邻有
A x A ，
所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为
A
—
A x A 3=84种
变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共io 级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到 三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 ()
A. 45 种
B. 36 种
C. 28 种
D. 25 种
解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有
6步走一级.一步走两级记为 a , 一步走一一
2
级记为b ，所求转化为2个a 和6个b 排成一排，有多少种排法.故上楼的方法有 C 8 = 28
种；或用插排法.
例2. (1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教(每地 1人)，其中甲和 乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？
(2) 5名乒乓选手的球队中，有 2名老队员和3名新队员，现从中选出 3名队员排成1、2、 3号参加团体比赛，则入选的 3名队员中至少有一名老队员，且 1、2号中至少有1名新队 员的排法有多少种？
解：(1)分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有
A 4 600种
(2 )分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有
变式训练2:某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单， 如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是 A. 504 B. 210 C. 336
D. 120
3
解：A = 504故选A
例3.已知直线ax+by+c=0中的系数a , b , c 是从集合｛-3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3｝中取出的 三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？ 解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“ a , b , c ”的情况讨论。

设直线的倾斜角为
，并且 为锐角。

b
则tan =— — > 0,不妨设a > b,那么b v 0
a
当C M 0时,则a 有3种取法，—有3种取法,c 有4种取法，并且其中任意两条直线不重合 ，所
以这样的直线有 3 x 3 x 4=36条
4
2
种数为A x A
=48种
c 2c ；c ；c 2 C
；C 2A 3
48种
开演前又增加了三个新节
目，
当c=0时，a有3种取法，—有3种取法，其中直线：3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 重合，所以这样的直线有3x 3-2=7条
故符合条件的直线有 7+36=43条
变式训练3:将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分 配一人，则不同的分配方案共有 ________ 种. 解：C 5
3 A 2 C 1 3 C
4 C 2
150
例4.从集合｛1 , 2, 3,……20｝中任选3个不同的数，使这 3个数成等差数列，这样的等 差数列可以有多少个？
解：a , b , c N a , b , c 成等差数列
a c 2b
2 2
故满足题设的等差数列共有 A io + A io = 180(个) 变式训练4:某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得
分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种?
>9。

故有3种情况，即胜、负、平的场数是： 9, 0, 6; 10, 2, 3; 11, 4, 0.
1•排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把 握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解
2•排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题 3•对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解
第5课时二项式定理
1.
(a + b)n = (n € N),这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做
(a + b)n 的
二项展开式，其中的系数 ______ 叫做二项式系数.式中的 _____________ 叫做二项展开式的通项，
用T r + 1表示，即通项公式 T r + 1 = __________ 是表示展开式的第r + 1项. 2. 二项式定理中，二项式系数的性质有：
① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：
0 n 1
n 1
2 n 2
r
nr C n
C n ,C n
C n ,C n
C n 丄，C n
C n
② 如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数， 中间两项的二项式系数相等并且最大，即当 n 是偶数时，n+1是奇数，展开式共有 n+1叽
中间一项，即：
第 _____ 项的二项式系数最大，为 _________ ;当n 是奇数时，n+1是偶数，展开式共有 n+1 项，中间两项，即第 ________ 项及每 _________ 项，它们的二项式系数最大，为 __________ ③ 二项式系数的和等于 ---------- ，即 --------------
④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和= _______________ 即 ____________ ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：
C k 1 ：c k n k : k 1
3. 二项式定理主要有以下应用 ① 近似计算
② 解决有关整除或求余数问题
a,c 要么同为奇数，要么同为偶数,
3分，平一场得1分，负一场得o
解：设该队胜负平的情况是: 胜x 场，负y 场，则平15 - (x + y)场，依题意有:
3x y 33 x y 15
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式(其做法称为“赋值法”) 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题
④ 杨辉三角形 典型例题 例1. (1)
(06湖南理11 )若(ax — 1)5的展开式中x 3的系数是一80,则实数a 的值是 ___________
⑵ (06湖北文8 )在c.x 31 )24的展开式中，x 的幕指数是整数的有
项.
(3) (1+x)+(1+x) 2
3
+(1+x) +•
••…+(1+x)6展开式中x 2项的系数为 •
解: (1)— 2 (2) 5 项 (3) 35
2 变式训练1：若多项式
X 10
x a 。

a (x 1) a 9
(x 1) a 10
Jw(x 1)，则
a
9
()
A 9
B
、10
C
、一9
D 、一 10
解: 根据左边
x 10
10的系数为 1
,易知a
9
9
1，左边x 的系数为0,右边x
的系数为
9
3。

00 a 9
10 0
, ••• a 9
10
故选Do
例2.已知f(x) = (1+x) m +(1+x) n ,其中m n € N 展开式中x 的一次项系数为11,问m n 为 何值时，含x 3项的系数取得最小值？最小值是多少？ 由题意C ； C ； 11 m n 11，则含x?项的系数为霭C ： — n (n 1)(n 2) +
6
1
m(m 1)(m 2) 6
-(27n 2 297n 990) 9(n ^1)2 -231，当 n = 5 或 6 时 x?系数取得最小值为 30
6 2 2 8
2 2
C n ( D
4 4
C n
( i)
整理得n 2 5n 50 0
即解方程(n — 10)(n + 5) = 0
r
r 20 2r —
/
\ r
则只有n =10适合题意.由
T n 1
C 10
x x 2 ( i),
r
当 20 2r —
0 时，有 r=8,
2
8
8
2
故常数项为
C 10( i) C 10 =45 故选D
1,则展开式中常数项是()
A — 45i B
45i C
—45 D
45
解析：第三项，第五项的系数分别为 2
2
4
4
C n
( i) ,C n
( i)
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
—,其中
14
依据题意有: 3 14
2
变式训练2:分已知(
％
2
例 3.若(1 2x)2004 a o QX a 2X a 2004X ,x
R 求(s b s i)+( a
a 2)+ +( s o a 2oo4
注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系 变式训练 3：若 2x 33 a 0 a 1x a 2x 2 a 3x 3，贝U a 0 岂 2
a 1 a 32
的值是
()
A. 1
B. 1
C. 0
D. 2
解：A
L 2
*
例4.已知二项式(...X 2
)n , ( n €N )的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
x
比是10: 1,
(1)求展开式中各项的系数和
(2 )求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：(1)v 第5项的系数与第3项的系数的比是10： 1,
4
4
••
C 2
( 2)
2
10
，解得 n=8
C ( 2)2
1
令x=1得到展开式中各项的系数和为
(1-2) 8=1
⑵ 展开式中第r 项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为
r 1 nr r r r 1 r 1
C 8 2
, C 8 2
, C
8 2 ,
若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足：
r 1 nr
r r
r 1 r 1
r r
C
8
2 w C 8 2 并且 C 8 2 w C 8 2，解得 5W r < 6; 1 1
所以系数最大的项为 T 7 =1792 石；二项式系数最大的项为
T 5=1120
6
x
x
变式训练4:①已知(,x 召)n 的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是
14:3 ,
3x 2
求展开式中不含x 的项•
②求(x — 1) — (x — 1)2+ (x — 1)3-(x — 1) 4+ (x — 1) 5 的展开式中 x 2项的系数•
解：对于式子：(1 2x)2004
a 0 a i x
a 2x 2
2004
厂
a 2004X
,x R,
令x=0，便得到:
a o =l
令 x=l ，得到 a 0 a 1 a 2
a 2004
=1
又原式：(a 0 a i ) + ( a
0 a
2 ) + .......... + (
a 0
a 2004
)
= 2004 a 0 (a 1
a 2004
)
•原式： (a ° a 1) + ( a ° a 2) + ............ + ( a ° a 2004 ) =2004
a 2
a 2004
)
2003
a 0 (a ° a 1 a ?。