江西省南昌外国语学校2022学年高三数学上学期10月月考 理 新人教A版

南昌外国语学校
2022—2022学年上学期高三年级10月份月考
数 学 试 题（理）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{}{}
1log ,32<=<=x x N x x M ，则N M 等于
（ ）
A ．
B ．{}20<<x x
C ．
{}32<<x x
D ．{}2<x x
2．已知命题所有1cos ,≤∈x R x ，则
（ ）
A ．存在1cos ,≥∈x R x
B ．所有1cos ,≥∈x R x
C ．存在1cos ,
>∈x R x
D ．所有1cos ,
>∈x R x
3．已知函数满足：()()()+∈+=+=N n n f n f f ,31,01，则等于 （ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
4．若曲线4x y =的一条切线与直线084=-+y x 垂直，则的方程为
（ ）
A ．034=--y x
B ．054=-+y x
C ．034=+-y x
D ．034=++y x
5．设0<<b a ，则下列不等式中不成立的是
（ ）
A ．b a 11>
B ．a b a 1
1>
-
C ．
b
a ->
D ．b a ->
-
6．曲线()12ln -=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离等于 （ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．1
7．已知偶函数在区间[)∞+,0内单调递增，则满足
()⎪
⎭⎫
⎝⎛<-3112f x f 的的取值范围为
（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31
B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21
D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21
8．在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
9．设，二次函数
12
2-++=a bx ax y 的图像为下列之一，则a 的值为 （ ）
A ．1 B
．
C ．2
5
1-- D
．25
1+-
10．如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么
（ ）
A ．d c ab +≤且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一
B ．d c ab +≥且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一
C ．d c ab +≤且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一
D ．d c ab +≥且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一
11．设函数
()()0ln 31
>-=
x x x x f ，则函数
（ ）
A ．在区间()
e e ,1,1,1⎪⎭⎫
⎝⎛内均有零点
B ．在区间()
e e ,1,1,1⎪⎭⎫
⎝⎛内均无零点
C ．在区间⎪
⎭⎫
⎝⎛1,1e 内有零点，在区间内无零点
D ．在区间⎪
⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，在区间内有零点
②
③ ④
12．设曲线
()++∈=N n x y n 1
在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则20092
12010
20102010log log log x x x +++ 的值为 （ ） A ．
2009
2010log - B ．
C ．
1log 2009
2010- D ．1
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．函数
()()
431ln 2+--+=
x x x x f 的定义域为 。

14．
()⎰-=
+2
2
cos 1π
πdx x 。

15．若函数()
x x a y -=3
的减区间为⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-33,33，则的取值范围为 。

16．已知函数()()
R x b ax x x f ∈+-=,22，给出下列命题：
①不可能为偶函数；②当()()20f f =时，的图像必关于直线对称；
③若02
≤-b a ，则在区间[)∞+,a 上是增函数；④有最小值2
a b -。

其中正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题6小题，共74分。

请写出必要的计算步骤）
17．命题关于的不等式()0122≤+-+a x a x 的解集为，命题函数
()
x
a a y -=2
2为增函数，若()()
∞+∈++=,0,22x x
a
x x x f 2
1=
a ()∞+∈,0x ()6
>x f ()2
-=
x e x f x
()*3
22
N m x y m m
∈=--()∞+，0的值；
⑵求满足()()
3
3
231
m
m a a -
--<+的a 的取值范围。

21．已知二次函数
()c bx ax x f ++=2。

⑴若()01=-f ，试判断函数零点个数；
⑵是否存在R c b a ∈,,，使同时满足以下条件：①对任意()()x f x f R x -=-∈24,,且
()0≥
x
f；②对任意,R
x∈都有
()()21
2
1
0-
≤
-
≤x
x
x
f
，若存在，求出
c
b
a,
,的值，
若不存在，请说明理由。

22．设是函数
()()()R
x
e
b
ax
x
x
f x∈
⋅
+
+
=-3
2
的一个极值点。

⑴求a和b的关系式并求的单调区间；
⑵设
()()0
4
25
2>
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=a
e
a
x
g x
，若存在
[]4,0
,
2
1
∈
ξ
ξ
使得
()()1
2
1
<
-ξ
ξg
f
成立，求
a的取值范围。

参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1~5 BCCAB 6~10 AABBA 11~12 DB 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．()1,1-
4．2+π 15、
16、③
三、解答题（本大题6小题，共74分）
17．解：命题为真时，()0412
2
<--=∆a a ，即
311>-<a a 或
命题q 为真时，
122>-a a ，即211-
<>a a 或
∵或q 为真，且q 为假，∴和q 一真一假
当真q 假时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤->-<121311a a a 或，即131≤<a ； 当假q 真时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
>-<≤≤-121311a a a 或，即
211-<≤-a 。

综上所述：实数a 的取值范围为
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-<≤-≤<211131a a a 或。

18、解：⑴当
21
=
a 时，()2
22212221+=+⋅≥++=x x x x x f
当且仅当122
=x 即
22
=
x 时等号成立，∴的最小值为22+。

⑵
()222+≥++
=a x a
x x f ，∵()6>x f 恒成立
4622>⇒>+∴a a ，即a 的取值范围为()∞+,4。

19．解：⑴ 函数的定义域为
{}()()()2
23,2--='≠x e x x f x x x
当时，()0>'x f ，当且时，()0<'x f 。

故函数的增区间为()∞+,3，减区间为()()3,2,2,-∞-。

⑵ 函数的图像与轴交点坐标为()430,21,0-=
'∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-f 故切线方程为
x
y 43
21-=+
，切线与两坐标轴的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝
⎛-21,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,32 ∴所求图像的面积
61
322121=
⨯⨯=
S 。

20．解：⑴ ∵函数在()∞+，0上递减，0322
<--∴m m 即31<<-m ，又*N m ∈
21或=∴m ，又函数图像关于轴对称，322--∴m m 为偶函数，故为所求。

⑵ 函数3
1-=x
y 在()()∞+∞-,0,0,上均为减函数
()
()3
13
1231--
-<+∴a a 等价于a a a a 23100231->+>>->+或
或a a 2301-<<+，解得
23321<<-<a a 或
故a 的取值范围为
()⎪
⎭⎫
⎝⎛-∞-23,321,
21．解：⑴ ()c a b c b a f +==+-∴=-即0,01 ，
故
()()2
2
2
44c a ac c a ac b -=-+=-=∆ 当时，0=∆，函数有一个零点； 当时，0>∆，函数有两个零点。

⑵ 假设存在c b a ,,满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为1-=x
且
()c a ac b a b a b ac a b x f =⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-∴=4204412,
022
min
在条件②中令，有()()1,11,0110=++=∴≤-≤c b a f f 即
由
21,4121
===⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧===++b c a c
a a
b c b a （检验略）
∴存在
41,21,41===
c b a 使同时满足条件①②。

22．解：⑴()()x
e a b x a x x
f --+-+-='32]2[，由()3203--=⇒='a b f
令()0='x f ，即
()()()0132,0]2[2
32=+--+∴=-+-+--a x a x e a b x a x x ， 1,321--==∴a x x
当4-=a 时，则
()()x
e x x
f b ---='=323,5的两侧同号，这与在处取极值矛盾，故4-≠a 。

31,4>---<∴a a 时当，此时在(]3,-∞-上为减函数，在[]1,3--a 上为增函数，在
[)∞+--,1a 上为减函数
当4->a 时，此时在(]1,--∞-a 上为减函数，在[]3,1--a 上为增函数，在[)∞+,3上为减函数
⑵ 当时，01<--a ，则在上为增函数，在上为减函数
又
()()()()()63,0624,03201
3+=>+=<+-=-a f e a f e a f
∴在上的值域为
()]6,32[3
++-a e a 又
()x
e a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4252在上为增函数，其值域为⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++422425,425e a a ()4
223425425632,0e a a a e a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+
≤+<+-∴>
故存在[]4,0,21∈ξξ使得()()121<-ξξg f 成立，必须()()1min <-man x f x g
由于021164252
2
≥⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=<--+a a a ，即()()0
min ≥-man x f x g
2321164252<<-⇒<--+
∴a a a ，又0>a
∴a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛23,
0。