概率知识点总结
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概率知识点总结
随机现象:在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
随机试验:对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。 样本点:随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本
样本空间:所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。 随机事件:如果在每次试验的结果中,某事件可能发生,也可能不发生, 则这一事件称为随机事件。
&必然事件:某事件一定发生,则为必然事件。
9、不可能事件:某事件一定不发生,则为不可能事件。
10、基本事件:有单个样本点构成的集合称为基本事件。
11、任一随机事件都是样本空间的一个子集,该子集中任一样本点发生, 则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。
事件的包含A
互不相容事件(互斥事件) AI B
1、 确定性现象:在一定条件下必然出现的现象。
2、
3、 概率论:是研究随机现象统计规律的科学。
4、
5、 占 八
6、 7、 事件的并(和) AUB
事件的交(积) AI B
事件的差A B
A A
B A B
(7)完备事件组:事件A,A 2,L ,A n 两两互不相容,且AUAUL U A n
(8)事件之间的运算规律:交换律、结合律、分配率、 De Morgan 定理
12、概率
P( ) 1 , P( ) 0
如果 A I
,A 2,L ,A n 两两互不相容,则 P (AUAUL U A n ) P (A i ) P(A 2)L P (AJ 如果A,B 是任意两个随机事件,则P(A B) P(A) P(AB)
P (AUB) P(A) P (B) P (AB)
n P(A)P(A j )P(A k ) L ( 1)n1 P(A ,A 2L A n )
1 i j k n 12、古典概型 每次试验中,所有可能发生的结果只有有限个,即样本空间是有限集 每次试验中,每一个结果发生的可能性相同
P(A) A 包含的基本事件数 I
丿试验的基本事件总数
13、条件概率:P
HB)篇为事件B 发生的条件下’事件A 发生的条件 概率 力口法公式:P (AUB) P (A) P (B) P (AB),若 A, B 互斥,贝 Jp( AUB) P (A) P(B)
(6)对立事件(互逆事件) AUB
AI B ,记 B A
如果 B A ,贝J P(A B) P(A)
P(B)
P (AUBUC) P (A) P (B) P(C)
P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)
n
P(A 1 UAUL U AJ P(A)
i 1
1 i j P(A) P(A j )
乘法公式:P (AB) P(A) P(B|A) P(B )P (A|B),若A,B 独立,则P(AB) P(A) P(B)
全概率公式:P(A) P(B1)P(A|B1)P(B2) P(A|B2)L P (BJ P(A|B n)
P(B k) P(A|B k)
贝叶斯公式:P (2)错P(B1)P(A|B1) L P(B n)P (A|B n)
14、事件独立:如果P(B| A) P(B),则称事件B对于事件A独立,此时,事
件A对于事件B独立,称A,B相互独立。A,B相互独立的充要条件是
P(AB) P(A)P(B)。A与B,A与B,A与B,A与B具有相同的独立性。
15、随机变量:如果对每一个样本点,都有唯一的实数X()与之对应, 则称X X()为样本空间上的随机变量。
离散型随机变量:随机变量的取值是有限个或可列多个。
表示方法:用概率分布(分布律)表示。公式法P(X X k) P k,k 1,2,L ;列表法。
16、常见的离散型随机变量:
(1)0-1分布(两点分布):随机变量只能取到0和1两个值
(2)二项分布:将试验独立重复进行n次,每次实验中,事件A发生的概率为P,则称这n次试验为n重Bernoulli试验。以X表示n重Bernoulli试验中事件A发生的此时,则X服从参数为n,p的二项分布,记作X ~ B( n,p),分
布律为P(X X k) C f p k(1 p)n k,k 0,1,2,L ,n。二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变量之和。
(3)泊松分布:若随机变量的分布律为
p 较小,np 适中时,可以用泊松分布公式近似替换二项分布公式。
17、随机变量的分布函数:F(x) P(X x)
18、离散型随机变量:取值有限或无限可列,用分布律刻画。 连续性随机变量:取值充满一个区间,用概率密度函数刻画。 概率密度函数(密度函数):若存在非负可积函数f(x),使得
x
F(x) P(X x) f (t)dt
则称X 为连续型随机变量,f(x)为X 的概率密度函数,若f(x)在x 处连续, 则 F'(x) f(x)
1
(1)均匀分布:f(x) r"a
0, P(x X k )
k ——e k! k 0,1,2,L ,n ,则称X 服从参数为 的泊松分布,记作 泊松定理: li
m P (X X k ) lim n C f p k (1 p)n k k
一e k!
19、连续型随机变量 X 取任意单点值的概率为 0,即 P(X a) 0 P(a
X a) P(a X b) P(a b) P(a X b b) a f(t)dt P(X a) P(X a) 20、 常见的连续型随机变量: 当n 较大, 其他