武汉开发区汉阳三中2017——2018学年度数学周考试卷二

武汉开发区汉阳三中2017——2018学年度数学周考试卷二
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数z ＝－1＋2i
i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知集合M ＝{x |y ＝lg
1－x
x
}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ．{x |10＜x ＜1} B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2} D ．{x |1＜x ＜2}
3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落人区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．15 B ．10 C ．9
D ．7
4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( ) A ．120 B ．105 C ．90
D ．75
5．由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．23B ．9－23C.
353
D.323
6．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2
＋y 2
m ＝1的离心率为( )
A.
32B.5C.32或52
D.3
2
或 5 7．如图，定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子(2tan 5π4)⊗ln e ＋lg 100⊗(1
3
)
－1
的值为( )
A ．11
B ．13
C ．8
D ．4
8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A ．54 B ．27 C ．18
D ．9
9．如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP
PB ＝2，若
|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为( ) A ．－2 B ．2 C.23
D ．－113
10．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝90°，2AB 2＋BD 2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( )
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
11．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |
的最大值为( )
A.
33B ．1 C.233
D ．2
12．已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )，对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 3x ]＝4，则函数g (x )＝f (x －1)－f ′(x －1)－3的零点所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(1
2
，1)
D ．(0，1
2
)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x 3＋1x x
)9
的展开式中的常数项为____．
14．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n
n ＋1＝________.
15．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9
8的概率为____．
16．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝a 2－(b －c )2，则sin A
2＝________.
三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，深处步骤或证明过程． 17．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －1
2c ＝b .
(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长的取值范围．
18.数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =（2n ﹣1）a n ，且a 1=1．
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19．(12分)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，制成如下频率分布表.
(1)求出上表中的x，y，z，s，p的值；
(2)按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按
照抽签方式决定出场顺序．已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛
资格．
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和均值．
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E为线段PC上一点，且AC⊥BE.
(1)求证：P A∥平面BED；
(2)若BC∥AD，BC＝2，AD＝22，P A＝3且AB＝CD，求PB与面PCD所成角的正弦值．21．(12分)已知抛物线C：x2＝
1
2y，直线y＝kx＋2交C于M，N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T.
(1)证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；
(2)是否存在实数k使TM
→
·TN
→
＝0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
22.(12分)设函数f(x)＝1－e－x.
(1)证明：当x＞－1时，f(x)≥
x
x＋1
；(2)设当x≥0时，f(x)≤
x
ax＋1
，求a的取值范围．
选修4－4：坐标系与参数方程
23．(10分)已知圆M 的极坐标方程为ρ＝2sin(θ＋π
4)，现以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，
建立平面直角坐标系． (1)求圆M 的标准方程；
(2)过圆心M 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆x 22＋y 2
＝1交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值．
选修4－5：不等式选讲 24．(10分)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式：f (x )＋f (x －1)≤2；
(2)当a ＞0时，不等式2a －3≥f (ax )－af (x )恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．A [∵z ＝－1＋2i i ＝－1
i ＋2＝2＋i ，∴在复平面上对应的点坐标是(2,1)，即在第一象限．]
2．C [集合M ＝{x |y ＝lg
1－x x }，1－x
x
＞0， 解得0＜x ＜1，即M ＝{x |0＜x ＜1}， ∴∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}， N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}＝{y |y ≥2}， (∁R M )∩N ＝[2，＋∞)．]
3．D [用系统抽样方法从960人中抽取32人， 可将960人分为32组，每组30个人，
由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9， 故编号为[1,750]中共有750÷30＝25(组)， 即做问卷C 的有32－25＝7(组)， 故做问卷C 的人数为7.]
4．B [{a n }是公差为正数的等差数列， ∵a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80， ∴a 2＝5，
∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16， ∴d ＝3，a 12＝a 2＋10d ＝35， ∴a 11＋a 12＋a 13＝105.]
5．D [如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝3－x 2得，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－3，y 1＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝1，
y 2＝2，
所以直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为 S ＝
－3(3－x 2－2x)dx ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝32
3
.]
6．D [依题意可知m ＝±2×8＝±4，
当m ＝4时，曲线为椭圆，a ＝2，b ＝1，则c ＝3，e ＝c a ＝3
2，
当m ＝－4时，曲线为双曲线，a ＝1，b ＝2，c ＝5则，e ＝ 5.] 7．B [∵2tan 5π
4
＝2，而ln e ＝1，
∴(2tan 5π4)⊗ln e ＝(2tan 5π
4)×(ln e ＋1)＝2×2＝4，
∵lg 100＝2，(13
)－
1＝3，
∴lg 100⊗(13)－1＝(13)－
1×(lg 100＋1)＝3×3＝9，
故(2tan 5π4)⊗ln e ＋lg 100⊗(13
)－
1的值为4＋9＝13.]
8．C [由几何体的三视图可知，这是一个放倒的四棱锥， 且底面为矩形，长6，宽3，体高为3. 则V ＝13Sh ＝1
3
·6·3·3＝18.]
9．A [∵|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，∴AB →·AC →＝2×3×cos 120°＝－3. ∵MP →＝23MB →，∴AP →－AM →＝23(AB →－AM →
)，化为
AP →＝23AB →＋13AM →＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →
.
∴AP →·BC →＝(23AB →＋29
AC →)·(AC →－AB →)
＝49AB →·AC →＋29AC →2－23AB →2＝49×(－3)＋29×32－23
×22
＝－2.] 10．A [∵平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 折成直二面角A －BD －C ，∴三棱锥A －BCD 的外接球的直径为AC ，且AC 2＝AB 2＋BD 2＋CD 2＝2AB 2＋BD 2＝4， ∴三棱锥A －BDC 的外接球的半径为1， ∴三棱锥A －BDC 的外接球的表面积是4π.] 11．A [设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF ，BF . 由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . 由余弦定理得，
|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ， 配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－ab ， 又∵ab ≤(a ＋b 2
)2
，
∴(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝3
4(a ＋b )2，
得|AB |≥
3
2
(a ＋b )． 所以|MN ||AB |≤1
2（a ＋b ）
32（a ＋b ）＝33，即|MN ||AB |的最大值为33
.]
12．B [∵对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 3x ]＝4， ∴可设f (x )－log 3x ＝c (c 为常数)，则f (x )＝log 3x ＋c ， ∴f [f (x )－log 3x ]＝f (c )＝log 3c ＋c ＝4，∴c ＝3， ∴f (x )＝log 3x ＋3，
∴
g (x )＝f (x －1)－f ′(x －1)－3
＝log 3(x －1)－1
x －1log 3e 在(1，＋∞)上为增函数，
g (2)＝－log 3e ＜0，g (3)＝log 32－12log 3e ＝log 32
e ＞0，
由零点存在定理得，函数g (x )的零点所在的区间为(2,3)．] 13．84
解析 T k ＋1＝C k 9(x 3)9－k
x －32k ＝C k 9x 27－92k ， 令27－9
2
k ＝0，
则k ＝6时，(x 3＋1x x
)9
的展开式中的常数项为
C 69＝84.
14．2n 2＋6n
解析 令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16. 当n ≥2时，
a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)， 与已知式相减，得
a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2， ∴a n ＝4(n ＋1)2，n ＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2， ∴
a n
n ＋1
＝4n ＋4， ∴a 12＋a 23＋…＋a n
n ＋1＝n （8＋4n ＋4）2＝2n 2＋6n . 15.23
解析 ∵m ∈(0,3)，∴m ＋2＞0,3－m ＞0， 令x ＝0，可解得y ＝
33－m ，令y ＝0，可解得x ＝3m ＋2
， 故可得三角形的面积为S ＝12×33－m ×3
m ＋2，
由题意可得12×33－m ×3m ＋2＜9
8，即m 2－m －2＜0，
解得－1＜m ＜2，结合m ∈(0,3)可得m ∈(0,2)，
故m 总的基本事件为长为3的线段，满足题意的基本事件为长为2的线段，故可得所求概率为2
3.
16.
1717
解析 将S ＝12bc sin A ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入已知等式得，1
2
bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝－2bc cos A ＋2bc ，
整理得，1
2sin A ＝－2cos A ＋2，即sin A ＝4(1－cos A )，
化简得，2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A
2，
∴tan A 2＝14，cos 2A
2＝
1
1＋tan 2
A 2
＝1617
， 则sin A 2
＝
1－cos 2A 2＝17
17
.
17．解 (1)∵a cos C －1
2
c ＝b ，
∴根据正弦定理，得sin A cos C －1
2sin C ＝sin B .
又∵△ABC 中，sin B ＝sin(π－B )＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
∴sin A cos C －1
2
sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
化简得－12sin C ＝cos A sin C ，结合sin C ＞0可得cos A ＝－1
2，
∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π
3.
(2)∵A ＝2π
3，a ＝1，
∴根据正弦定理
a sin A ＝
b sin B ，可得b ＝a sin B sin A ＝sin B sin 2π3
＝233sin B ，同理可得c ＝233
sin C ， 因此，△ABC 的周长
l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin B ＋23
3sin C
＝1＋233[sin B ＋sin(π
3－B )]
＝1＋233[sin B ＋(32cos B －1
2
sin B )]
＝1＋233(12sin B ＋32cos B )＝1＋233sin(B ＋π
3)．
∵B ∈(0，π3)，得B ＋π3∈(π3，2π
3)，
∴sin(B ＋π3)∈(3
2
，1]，
可得l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin(B ＋π3)∈(2,1＋23
3]，
即△ABC 周长的取值范围为(2,1＋23
3
]．
18
解：（1）由，可得
（
n ≥2），
两式相减，得
，
，即，
故{a n}是一个以1
为首项，为公比的等比数列，
所以，n∈N*；
（2）b n=na n=n•
（）n﹣1．
T n=b1+b2+b3+…+b n
=，①
=，②
①﹣②，得，
所以．
19．解(1)由题意知，由[80,90)上的数据，
根据样本容量，频率和频数之间的关系得到n＝
16
0.32＝50，
所以x＝
9
50＝0.18，
y＝19，z＝6，s＝0.12，p＝50.
(2)由(1)知，参加决赛的选手共6人，
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，
则P(A)＝
A55＋A14A14A44
A66＝
7
10，
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
7
10.
②随机变量X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝
A23A44
A66＝
1
5，
P(X＝1)＝
C12A13A13A44
A66＝
3
5，
P(X＝2)＝
A23A44
A66＝
1
5，
随机变量X的分布列为
因为E(X)＝0×
1
5＋1×
3
5＋2×
1
5＝1，
所以随机变量X的均值为1.
20．(1)证明∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE＝B，
∴AC⊥平面BDE，连接OE，
∴AC⊥OE，又P A⊥平面ABCD，
∴AC⊥P A，又OE，P A都是平面P AC中的直线，
∴OE∥P A，
∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，
∴P A∥平面BED.
(2)解∵BC∥AD，BC＝2，AD＝22，且AB＝CD，
∴在等腰梯形ABCD中，OB＝OC＝1，OA＝OD＝2，
由(1)知OE⊥平面ABCD，分别以OB，OC，OE所在方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系
Oxyz，
则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(－2,0,0)，P(0，－2,3)，CD
→
＝(－2，－1，0)，PC
→
＝(0,3，－3)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧n·CD→＝－2x－y＝0，
n·PC
→
＝3y－3z＝0，
取x＝1，则y＝－2，n＝(1，－2，－2)，
又PB
→
＝(1,2，－3)，
∴cos〈PB
→
，n〉＝
PB
→
·n
|PB
→
|·|n|
＝
14
14，
∴PB与平面PCD所成角的正弦值为
14
14.
21．(1)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，y0)，
联立
⎩⎪
⎨
⎪⎧y＝2x2，
y＝kx＋2，
得2x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝
k
2，x1x2＝－1，
∴x0＝
x1＋x2
2＝
k
4，
∵y＝2x2，∴y′|x＝x0＝k，
∴抛物线C在T点处的切线与MN平行.
(2)解由(1)得T(
k
4，
k2
8)，
则TM
→
·TN
→
＝(x1－
k
4)(x2－
k
4)＋(
y1－
k2
8)(y2－
k2
8)
＝(k2＋1)x1x2＋(
7
4k－
k3
8)(x1＋x2)＋
k2
16＋(2－
k2
8)
2
＝－3
64(k 2－4)(k 2＋16)＝0，
解得k ＝±2，
∴存在k ＝±2，满足TM →·TN →＝0.
22．(1)证明 当x ＞－1时，f (x )≥x x ＋1，化简得e x ≥1＋x ，
令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x
－1，
当x ≥0时，g ′(x )≥0，g (x )在[0，＋∞)上是增函数； 当x ≤0时，g ′(x )≤0，g (x )在(－∞，0]上是减函数， 于是g (x )在x ＝0处达到最小值，因而当x ∈R 时， g (x )≥g (0)＝0，即e x ≥1＋x ， 所以当x ＞－1时，f (x )≥x
x ＋1.
(2)解 由题意x ≥0，此时f (x )≥0，
当a ＜0时，若x ＞－1a ，则x ax ＋1＜0，f (x )≤x
ax ＋1不成立；
当a ≥0时，令h (x )＝axf (x )＋f (x )－x ，则 f (x )≤x
ax ＋1
，即h (x )≤0，
因为f (x )＝1－e －x
，所以h ′(x )＝af (x )＋axf ′(x )＋f ′(x )－1＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )． ①当0≤a ≤1
2时，由(1)知x ≤(x ＋1)f (x )，
h ′(x )≤af (x )－axf (x )＋a (x ＋1)f (x )－f (x ) ＝(2a －1)f (x )≤0，
h (x )在[0，＋∞)是减函数，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤x
ax ＋1.
②当a ＞1
2
时，由①知x ≥f (x )，
h ′(x )＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )≥af (x )－axf (x )＋af (x )－f (x )＝(2a －1－ax )f (x )， 当0＜x ＜2a －1a 时，h ′(x )＞0，所以h ′(x )＞0，所以h (x )＞h (0)＝0，即f (x )＞x
ax ＋1，
综上，a 的取值范围是[0，1
2
]．
22.(1)证明 连接OA ，在△ADE 中，AE ⊥CD 于点E ， ∴∠DAE ＋∠ADE ＝90°， ∵DA 平分∠BDE ， ∴∠ADE ＝∠BDA ， ∵OA ＝OD ， ∴∠BDA ＝∠OAD ， ∴∠OAD ＝∠ADE ， ∴∠DAE ＋∠OAD ＝90°.
即AE 是⊙O 的切线． (2)在△ADE 和△BDA 中， ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， 由(1)得∠DAE ＝∠ABD ， 又∵∠BAD ＝∠AED ， AD BD ＝AE AB ＝323＝1
2， ∵AB ＝23， 求得BD ＝4，AD ＝2，
∴∠BDA ＝∠ADE ＝∠BDC ＝60°， 进一步求得CD ＝2.
选修4－4：坐标系与参数方程 23．解 (1)∵ρ＝2sin(θ＋π4)，
∴ρ2＝2ρsin(θ＋π
4)＝ρsin θ＋ρcos θ，
得圆M 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋x ， ∴圆M 的标准方程为(x －12)2＋(y －12)2＝1
2.
(2)∵圆心M (12，1
2
)，
∴过圆心M 且倾斜角为π
4的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝12＋22t y ＝12＋2
2t (t 为参数)，
代入椭圆方程整理得， t 2＋2t －5
6＝0，
故|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝5
6.
选修4－5：不等式选讲
24．解 (1)原不等式等价于：当x ≤1时，－2x ＋3≤2， 即1
2
≤x ≤1； 当1＜x ≤2时，1≤2恒成立，即 1＜x ≤2； 当x ＞2时，2x －3≤2，即2＜x ≤5
2.
综上所述，原不等式的解集为{x |12≤x ≤5
2
}．
(2)当a ＞0时，f (ax )－af (x )＝|ax －1|－|ax －a |＝|ax －1|－|a －ax |≤|ax －1＋a －ax |＝|a －1|， 所以2a －3≥|
a －1|，解得a ≥2.。