高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理新人教版
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高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值 恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 以 m＜x2－6x＋1． 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．
届高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教版
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是 大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正 的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时， 要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘 记讨论其等于 0 的情况．
＜－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
解析
角度三：形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围 3．对任意 m∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒
大于零，求 x 的取值范围．
解析
[方法归纳] 一元二次型不等式恒成立问题的 3 大破解方法
方法
解读
适合题型
考点一 一元二次不等式的解法 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．已知函数 f(x)＝2－x22＋x，1，x>x0≤，0， 则不等式 f(x)－x≤2 的解1 的解集为________．
解析：将原不等式移项通分得3xx－－54≥0，
[题点全练] 角度一：形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1．已知不等式 mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数 m 对所有
的实数 x，不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围； 若不存在，请说明理由．
解析
角度二：形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围 2．设函数 f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于 x∈[1,3]，f(x)
(1)ax2＋bx＋c≥0 对任意实数
判别 x 恒成立的条件是aΔ>≤0，0；
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理
第二十页，共39页。
当
0<a<1
时，解为
1 1<x<a.
综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为
当 a＝1 时，不等式的解集为∅.
当 a>1 时，不等式的解集为
第二十一页，共39页。
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转 化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系， 从而确定解集形式．
但在 x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，
第二十八页，共39页。
Δ≥0， 即x＝－a2>2，
g2≥0，
a2－43－a≥0， 即－a2>2，
7＋a≥0
a≥2或a≤－6， ⇔a<－4，
a≥－7.
∴－7≤a≤－6.综上，得－7≤a≤2.
第二十九页，共39页。
解法二(分离参数)： x2＋3≥a(1－x)对 1－x 进行分类讨论；当 x∈[－2,1)时，a≤x12－＋x3，去求x12－＋x3的 最小值；设 1－x＝t，x2＋3＝t2－2t＋4，即为 a≤t＋4t －2(0<t≤3)，∴a≤2.当 x＝1 时， a∈R，当 x∈(1,2]时，a≥x12－＋x3去求x12－＋x3最大值；设 1－x＝t，t∈[－1,0)，x12－＋x3＝t ＋4t －2.在[－1,0)上递减，∴t＝－1 时最大值为－7，∴a≥－7，综上所述－7≤a≤2.
第三十页，共39页。
(3)令 h(a)＝xa＋x2＋3， 当 a∈[4,6]时，h(a)≥0 恒成立． 只需hh46≥≥00，， 即xx22＋ ＋46xx＋ ＋33≥ ≥00， ， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6.
当
0<a<1
时，解为
1 1<x<a.
综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为
当 a＝1 时，不等式的解集为∅.
当 a>1 时，不等式的解集为
第二十一页，共39页。
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转 化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系， 从而确定解集形式．
但在 x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，
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Δ≥0， 即x＝－a2>2，
g2≥0，
a2－43－a≥0， 即－a2>2，
7＋a≥0
a≥2或a≤－6， ⇔a<－4，
a≥－7.
∴－7≤a≤－6.综上，得－7≤a≤2.
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解法二(分离参数)： x2＋3≥a(1－x)对 1－x 进行分类讨论；当 x∈[－2,1)时，a≤x12－＋x3，去求x12－＋x3的 最小值；设 1－x＝t，x2＋3＝t2－2t＋4，即为 a≤t＋4t －2(0<t≤3)，∴a≤2.当 x＝1 时， a∈R，当 x∈(1,2]时，a≥x12－＋x3去求x12－＋x3最大值；设 1－x＝t，t∈[－1,0)，x12－＋x3＝t ＋4t －2.在[－1,0)上递减，∴t＝－1 时最大值为－7，∴a≥－7，综上所述－7≤a≤2.
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(3)令 h(a)＝xa＋x2＋3， 当 a∈[4,6]时，h(a)≥0 恒成立． 只需hh46≥≥00，， 即xx22＋ ＋46xx＋ ＋33≥ ≥00， ， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6.
高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法课件(理)
答案：A
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0
恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析：因为
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝
x2＋2x＋a x >0
恒成立，即
x2
＋2x＋a>0 恒成立．即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立．设 g(x)＝－
(1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解为－12<x<13，则不等式 2x2＋bx ＋a<0 的解集是________．
(2)不等式2xx－＋11≤0 的解集是________． 解析：(1)由题意，知－12和13是一元二次方程 ax2＋bx＋2＝0 的两 根且 a<0，
所以－－1212×＋3311＝＝2a－，ba，解得ab＝＝－－122. ，
(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，
所以 g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3.
所以，实数 a 的取值范围是{a|a>－3}．
答案：{a|a>－3}
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出 厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求， 计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比 例为 x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售 量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－（12－10）×10 0<x<1，
000>0，即0－<6x<010，0x2＋2
高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
第三页，共38页。
二、二次函数(hánshù)、一元二次方程与一元二次不等式的关
Δ＝b2－4ac
Δ>0
函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根
有两相异实根x1,2＝
b 2a
一元二 次
不等式 的
解集
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
点评：主元转换是解不等式的一种方法(fāngfǎ)，当不等 式中的参数给出已知范围时，通常将不等式转化为以参数为主 元的不等式，结合函数的单调性和参数的范围，求得原不等式 的解集．
第二十八页，共38页。
变式探究 (tànjiū)
5．(2012·青岛市模拟)若对任意(rènyì)a∈[－1,1]，不等式x2 ＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x的取值范围是( )
第二十七页，共38页。
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题(mìng tí)等 价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝m(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2.
第十六页，共38页。
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
∵sin πx－2<0，∴sin πx－12<0，即 sin πx<12.又－ 1≤x<13，∴－π≤πx<π3.∴由 sin πx<12得－π≤πx<π6，解 得－1≤x<16，即原不等式的解集为－1，16.
二、二次函数(hánshù)、一元二次方程与一元二次不等式的关
Δ＝b2－4ac
Δ>0
函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根
有两相异实根x1,2＝
b 2a
一元二 次
不等式 的
解集
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
点评：主元转换是解不等式的一种方法(fāngfǎ)，当不等 式中的参数给出已知范围时，通常将不等式转化为以参数为主 元的不等式，结合函数的单调性和参数的范围，求得原不等式 的解集．
第二十八页，共38页。
变式探究 (tànjiū)
5．(2012·青岛市模拟)若对任意(rènyì)a∈[－1,1]，不等式x2 ＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x的取值范围是( )
第二十七页，共38页。
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题(mìng tí)等 价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝m(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2.
第十六页，共38页。
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
∵sin πx－2<0，∴sin πx－12<0，即 sin πx<12.又－ 1≤x<13，∴－π≤πx<π3.∴由 sin πx<12得－π≤πx<π6，解 得－1≤x<16，即原不等式的解集为－1，16.
高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理
本例中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为
“存在 x，使 f(x)<5－m 成立”，如何求 m 的取值范围．
解 由题知 f(x)<5－m 有解，
6 6 即 m< 2 有解，则 m< 2 max， x － x ＋ 1 x －x＋1
又 x∈[1,3] ，得 m<6.即 m 的取值范围为(－∞，6)．
3．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) 4．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
二、小题快练 1．[2016· 全国卷Ⅱ]已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}， 则 A∩B＝( C．{1,2,3}
第6章 不等式、推理与证明
第2讲 一元二次不等式及其解法
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 一元二次不等式的解法 1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于 零 的 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 或 ax2 ＋ bx ＋ c<0(a>0)． 2．计算相应的 3．当
【变式训练 1】 ( ) A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞)
判别式．
时，求出相应的一元二次方程的根． 4．利用二次函数的图象与 x 轴的 交点 确定一元二 次不等式的解集．
Δ ≥0
考点 2
三个二次之间的关系
[ 必会结论] 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 注意 在题目中没有指明不等式为二次不等式时， 若二 次项系数中含有参数， 应先对二次项系数为 0 的情况进行分 析，检验此时是否符合条件．
高考数学人教版理科一轮复习课件：6-2 一元二次不等式及其解法
2．(方向 2)若不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是[－4，3]的子集，
则 a 的取值范围是( B )
A．[－4,1]
B．[－4,3]
C．[1,3]
D．[－1,3]
解析：原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解 集为[a,1]，此时只要 a≥－4 即可，即－4≤a<1；当 a＝1 时，不 等式的解为 x＝1，此时符合要求；当 a>1 时，不等式的解集为[1， a]，此时只要 a≤3 即可，即 1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.
②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0 得1a<x<1；
③当
0<a<1
时，1a>1，解x－1a(x－1)<0
得
1 1<x<a.
综上所述：当 a<0 时，解集为x|x<1a或x>1；当 a＝0 时，解
集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为x|1<x<1a；当 a＝1 时，解集
A．(－2,3)
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．[－2,2]
解析：A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝{x|－2<x≤2} ＝(－2，2]．
2．不等式2xx－＋11≤0 的解集为( A )
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
等式 bx2－5x＋a>0 的解集为( B )
解析：
3 ． ( 方 向 2)(2019·福 建 四 地 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6_1不等式的性质及一元二次不等式课件文
跟踪训练 (1)将例2的不等式变为“x2－3x＋4>0”，其解集为________．
解析：令y＝x2－3x＋4， ∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y>0恒成立． ∴x∈R. 答案：R
(2)将例3变为“x2－4ax－5a2>0”，如何求解． 解析：由例3知， (1)若a＝0，不等式为x2>0，解集为{x|x≠0}， (2)当a>0,5a>－a，解集为{x|x>5a或x<－a}， (3)当a<0,5a<－a，解集为{x|x<5a或x>－a}．
答案：D
3．(必修5·习题3.2B组改编)若函数y＝ mx2－1－mx＋m 的定义域为R，则m的取 值范围是________．
答案：13，＋∞
考点一|比较大小及不等式的性质的应用 (易错突破)
【例1】
(1)若a>0>b>－a；c<d<0，则下列命题：①ad>bc；②
a d
＋bBiblioteka c考情考向分析以理解不等式的性质、一元二次不等式 的解法为主，常与集合的运算相结合考 查一元二次不等式的解法，有时也在导 数的应用中用到，加强函数与方程思 想，分类讨论思想和数形结合思想的应 用意识．本节内容在高考中常以选择题 的形式考查，属于低档题；以主观题形 式考查不等式与其他知识的综合，若在 导数的应用中考查，难度较高.
考点三|不等式恒成立问题 (思维突破)
【例4】
(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－
3 8
<0对一切实数x都成立，则k的取值范
围为( )
A．(－3,0)
B.[－3,0]
C．[－3,0)
D.(－3,0]
(2)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12都成立，则a的最小值是________．
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.2 一元二次不等式及其解法课件.ppt
19
通关特训 1 已知不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1，或 x＞b}。 (1)求 a，b 的值；
解析：(1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}，所以 x1＝1 与 x2 ＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根，b＞1 且 a＞0。
由根与系数的关系，得 11＋×bb＝ ＝3a2a， 。
12
3．不等式 9x2＋6x＋1≤0 的解集是( )
A．{x|x≠－13}
B．{－31}
C．{x|－31≤x≤13}
D．R
解析：∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0， ∴9x2＋6x＋1≤0 的解集为{x|x＝－31}，故选 B。 答案：B
13
4．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集为{x|－2＜x＜14}，则 ab＝(
5
6
{x|x＜x1 或 x
＞x2}
{x|x≠x1}
R
{x|.分式不等式与一元二次不等式的关系
□ (1)xx－－ba＞0 等价于 9 ___(x_－__a_)_(_x_－__b_)＞__0___。
□ (2)xx－－ba＜0
等价于
10
(x－a)(x－b)＜0 __________________。
夯基固本 基础自测
4
1．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax＞b(a≠0)：
□ (1)当 a＞0 时，解集为 1 __{_x_|x_＞__ba_}______。 □ (2)当 a＜0 时，解集为 2 ___{_x_|x_＜__ba_}_____。
2．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为零，左端化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c＞ 0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)。 (2)求出相应一元二次方程的根。 (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点情况确定一元二次不等式的解集。
通关特训 1 已知不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1，或 x＞b}。 (1)求 a，b 的值；
解析：(1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}，所以 x1＝1 与 x2 ＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根，b＞1 且 a＞0。
由根与系数的关系，得 11＋×bb＝ ＝3a2a， 。
12
3．不等式 9x2＋6x＋1≤0 的解集是( )
A．{x|x≠－13}
B．{－31}
C．{x|－31≤x≤13}
D．R
解析：∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0， ∴9x2＋6x＋1≤0 的解集为{x|x＝－31}，故选 B。 答案：B
13
4．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集为{x|－2＜x＜14}，则 ab＝(
5
6
{x|x＜x1 或 x
＞x2}
{x|x≠x1}
R
{x|.分式不等式与一元二次不等式的关系
□ (1)xx－－ba＞0 等价于 9 ___(x_－__a_)_(_x_－__b_)＞__0___。
□ (2)xx－－ba＜0
等价于
10
(x－a)(x－b)＜0 __________________。
夯基固本 基础自测
4
1．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax＞b(a≠0)：
□ (1)当 a＞0 时，解集为 1 __{_x_|x_＞__ba_}______。 □ (2)当 a＜0 时，解集为 2 ___{_x_|x_＜__ba_}_____。
2．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为零，左端化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c＞ 0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)。 (2)求出相应一元二次方程的根。 (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点情况确定一元二次不等式的解集。
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
只需 g(－1)>0 且 g(1)>0，即xx22－－35xx＋＋26>>00，，
解之得x<1或x>3.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范
围为( A)
A.[－1,4]
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
不等
解集
式
a<b
(x－a)· (x－ b)>0
{x|x<a {或x|ax<>x<bb}}
a＝b
{x|x≠a}
∅
a>b
{x|x<b或 x>a}
口(诀x－：大a)于·取两边，小于取中间.
答案
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
思考辨析
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2)不等式xx－ ＋21≤0 的解集是[－1,2].( × ) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋
bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ ) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解
集为R.( × )
(5) 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 －
4ac≤0.( × )式x2－3x－10>0的解集是( D )
A.(－2,5)
B.(5，＋∞)
C.(－∞，－2)
D.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
解之得x<1或x>3.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范
围为( A)
A.[－1,4]
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
不等
解集
式
a<b
(x－a)· (x－ b)>0
{x|x<a {或x|ax<>x<bb}}
a＝b
{x|x≠a}
∅
a>b
{x|x<b或 x>a}
口(诀x－：大a)于·取两边，小于取中间.
答案
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
思考辨析
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2)不等式xx－ ＋21≤0 的解集是[－1,2].( × ) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋
bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ ) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解
集为R.( × )
(5) 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 －
4ac≤0.( × )式x2－3x－10>0的解集是( D )
A.(－2,5)
B.(5，＋∞)
C.(－∞，－2)
D.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式课件 理
[规律方法] 1.用同向不等式求差范围的技巧
a＜x＜b， c＜y＜d
⇒a－＜dx＜＜－b，y＜－c
⇒a－d＜x－y＜b－c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．
2．比较大小的三种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可．
(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号． (3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数 的单调性比较．
2．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是
() A．ab＞ac
B．c(b－a)＜0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＞0
A [∵c＜b＜a，且ac＜0， ∴c＜0，a＞0， ∴ac＜ab， 即A选项正确．]
3．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是
2．解含参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等 式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大 小关系，从而确定解集形式．
3．“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根 x1， 有两相等实根 x1＝
x2(x1<x2)
x2＝－2ba
Δ<0 没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
__{_x|_x_<_x_1或__x_>_x_2_}_
高考数学(苏教,理科)复习课件：第六章 不等式、推理与证明第二节 一元二次不等式及其解法
个常用结论 (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
a＝b＝0， c>0，
或a>0， Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
a＝b＝0， c<0，
或a<0， Δ<0.
数学
▪
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
▪ 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/262021/7/26July 26, 2021
▪ 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/26
数学
第二节 一元二次不等式及其应用
角度三 形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围
3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒 大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零， ∴gg－1＝1＝ x－x－2＋2× x2－－4x1＋＋4x>20－，4x＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
cos 2α≤0，2sin2α－(1－2sin2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为
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方向 2 利用函数性质解不等式
【例 2】 (1)(2019·山东聊城一模)已知函数 f(x)＝|x|(10x－10－x)，
不等式 f(1－2x)＋f(3)>0 的解集为( A )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
(2)(2019·河南豫北名校联考)已知函数 f(x)＝e1＋x＋e1－x，则满足 f(x
A．(－2,3)
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．[－2,2]
解析：A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝{x|－2<x≤2} ＝(－2，2]．
2．不等式2xx－＋11≤0 的解集为( A )
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为－12，1.选 A.
3．设一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1<x<2}，则 ab
的值为( B )
A．1
B．－14
C．4
D．－12
解析：因为一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1
<x<2}．所以方程 ax2＋bx＋1＝0Байду номын сангаас的解为－1,2.
②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0 得1a<x<1；
③当
0<a<1
时，1a>1，解x－1a(x－1)<0
得
1 1<x<a.
综上所述：当 a<0 时，解集为x|x<1a或x>1；当 a＝0 时，解
集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为x|1<x<1a；当 a＝1 时，解集
为∅；当 a>1 时，解集为x|1a<x<1.
3．不等式恒成立问题若限定自变量 x 的取值范围，则需结合图象 解决．
课堂探究·深度剖析
课堂升华 强技提能
考向一 一元二次不等式的解法
方向 1 一元二次不等式的解法
【例 1】 (1)设集合 M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则 M∩N
等于( B )
A．(0,4]
B．[0,4)
1．(方向 1)若集合 M＝{x|x2＋5x－14<0}，N＝{x|1<x<4}，则 M∩N
等于( D )
A．∅
B．(1,4)
C．(2,4)
D．(1,2)
解析：∵M＝{x|x2＋5x－14<0}＝{x|－7<x<2}，N＝{x|1<x<4}， ∴M∩N＝{x|1<x<2}，故选 D.
解析：∵不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集，∴Δ＝a2－ 4×4>0，即 a2>16，∴a>4 或 a<－4.
1．一元二次不等式的解法技巧 求不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，先求出对应方程 ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集；若 a<0， 转化为－ax2－bx－c<0 再求解． 2．分式不等式求解 (1)gfxx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)gfxx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
所以－1＋2＝－ba，(－1)×2＝1a.
所以 a＝－12，b＝12，所以 ab＝－14.
知识点二 一元二次不等式恒成立的条件 a>0
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是： Δ<0 (x∈R)． a<0
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是： Δ<0 (x∈R)．
4．(必修 5P81B 组第 2 题改编)若函数 y＝ mx2－1－mx＋m的定
第六章
不等式、推理与证明
第二节 一元二次不等式及其解法
知识梳理·自主学 习
课堂探究·深度剖析
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
知识点一 一元二次不等式的解法
1．(必修 5P103A 组第 2 题改编)已知集合 A＝{x|12x－1≤0}，B＝
{x|x2－x－6<0}，则 A∩B＝( C )
(2)∵f(x)＝e1＋x＋e1－x＝e·ex＋eex＝eex＋e1x，令 t＝ex，可得 y ＝et＋1t ，内函数 t＝ex 为增函数，而外函数 y＝et＋1t 在(0,1)上 为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，∴函数 f(x)＝e1＋x＋e1－x 的减 区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)．又 f(x)＝e1＋x＋e1－x 为偶函 数，∴由 f(x－2)<e2＋1，得 f(|x－2|)<f(1)，得|x－2|<1，解得 1<x<3. 故选 D.
1.解一元二次不等式的一般步骤 1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2判：计算对应方程的判别式. 3求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有 没有实根. 4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.例 2 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性 的性质将不等式进行转化求解即可.
C．[－1,0)
D．(－1,0]
(2)解不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
【答案】 (2)见解析
【解析】 (1)因为 M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，所 以 M∩N＝[0,4)．
(2)若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1. 若 a<0，则原不等式等价于x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1. 若 a>0，原不等式等价于x－1a(x－1)<0. ①当 a＝1 时，1a＝1，x－1a(x－1)<0 无解；
义域为 R，则 m 的取值范围是 m≥13
.
解析：要使 y＝ mx2－1－mx＋m有意义，即 mx2－(1－m)x ＋m≥0 对∀x∈R 恒成立，
则m1>－0，m2－4m2≤0， 解得 m≥13.
5．不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是
(－∞，－4)∪(4，＋∞) ．
－2)<e2＋1 的 x 的取值范围是( D )
A．x<3
B．0<x<3
C．1<x<e
D．1<x<3
【解析】 (1)由于 f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，且为 单调递增函数，故 f(1－2x)＋f(3)>0⇒f(1－2x)>－f(3)＝f(－3)，所 以 1－2x>－3，解得 x<2，故选 A.