高中数学第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛《简单线性规划(一)》教案 必修5

课题：简单线性规划（一）
教学目标：
1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．
2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培
养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．
3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问
题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．
教学重点、难点：
探究解决简单线性规划问题的方法．
教学方式：
学生自主探究和教师引导相结合．
教学手段：
CASIO图形计算器、多媒体、几何画板．
教学过程：
一. 设置情境，问题引入
通过实际问题，创设问题情境．
问题一：资金分配
前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重
建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡
市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附
属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根
据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小
学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为
每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方
米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方
米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得
教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？
学生活动：
（1） 独立将实际问题转化为数学问题；
（2） 针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．
预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，
让学生列出二元函数表达式． 说明：
（1） 学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的
应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；
（2） 放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），
引起认知冲突，激发求知的欲望．
二. 深入研究， 探求解法
针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察． 设建设中学教学楼面积为x 百平方米， 建设小学教学楼面积y 百平方米，
建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．
满足： 学生活动：学生合作交流，进行自主探究．
预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x ＋y 的值进行比较，容易猜想出使z 取得最大值的点的位置．
预案二：让学生思考使z 取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满
足条件的点的集合为直线x ＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z 的几何意义：把目标函数化成
y x z =-+的形式，这表示一组平行直线，而z 表示的是直线的纵截距，通过平移
直线，当直线的纵截距最大时，z 取最大值．
1481000
141.881010x y x y
x y +≤⎧⎪≥⨯⎪
⎨≥⎪
⎪≥⎩
z ＝x ＋y
预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：
2
x y d +=
，把它化成2x y d +=．
因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以2z x y d =+=
．从而到直线x
+ y =0的距离最大的点就是使z 取最大值的点． 说明：
（1） 引导学生合作交流，主动寻求问题的解答； （2） 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识； （3） 教师巡视观察，适当点拨；
（4） 教师配合学生的探究结果，利用“ClassPad 300计算机模拟软件”及“几何画
板”进行动态演示．
三. 结合问题，介绍概念
结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：
（1）目标函数（线性目标函数）； （2）约束条件（线性约束条件）； （3）线性规划问题；
（4）可行解、可行域、最优解． 说明：
（1） 强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；
（2） 总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及
更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．
四. 巩固知识，实际演练
问题二：食品配制
营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议: 每人至少需要从食物中获取0．120 kg 的碳水化合物， 0．024kg 的蛋白质，不超过0．032kg 的脂肪．现有 两种食物A 和B ，每种食物每千克中所含成分及价格 如下表：
碳水化合物(kg)
蛋白质(kg) 脂肪(kg) 价格(元)
A (1kg) 0．120 0．020 0．020 6
B (1kg)
0．096
0．032
0．020
8
为满足上面的饮食要求，并且食物A 至少需0.5kg ，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？ 学生活动：在笔记本上独立解决．
设食物A 需要x kg ，食物B 需要y kg ，花费为z 元．则： z ＝ 6x ＋8y ．
满足：
说明： （1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力； （2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初
步
掌握解决简单线性规划问题的一般方法． 问题三：
设变量x 、y 满足下列条件： 分别求下列目标函数的最小值： （1）z ＝ y －x ； （2）z ＝ 2x －3y ； （3）z ＝ x ＋y ．
学生活动：
分组合作完成表格的填写．
目标函数 最小值 最优解 z ＝ y －x z ＝ 2x －3y
2
23435251
x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨
+≤⎪⎪>⎩545
5865580.50
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩z ＝6x ＋8y
0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.032
0.50x y x y x x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪
+≤⎨⎪
≥⎪
≥⎪⎩
说明：
（1） 借助练习，落实知识的掌握；
（2） 通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念． 五. 回顾历史，感受文化
“线性规划之父”—— “丹齐克” “数学的战争”—— “波斯湾战争” 说明：
通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值． 六. 小结全课，概括升华
带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了
解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法． 七. 布置作业，设疑铺垫
作业：P94 — 练习1、2、3． 思考题：
已知：x 、y 满足条件：
求：z = x ＋3y 的最大值． 说明： 通过思考题中对变量必须为自然数的限制要求，引导学生思考对“整数规划”问题
的继续自主探究，为后面的内容做好铺垫．
034241,x y x y x x y ⎧-≤⎪
+≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩
N。