汪清县汪清第四中学2020-2021学年高一第一学期期末考试(三)数学试卷

汪清四中2020-2021学年第一学期 高一年级数学学科期末检测试卷
总分：120时间：90分钟
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 2．“2x >”是“24x >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）
A ．2
(0,)3
B ．15,66⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．12(,]33
D ．25(,36] 4．已知tan 34πα⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭，则2sin cos cos sin αα
αα
+=-（）
A ．4-
B ．4
C ．5
D ．5-
5．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（） A ．24
25
-
B ．
3
5
C ．2425
D ．35
6．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.下列函数中，满足“”的单调递增函
数是（） A.
B.
C.
D.
8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的
锐角为θ
，那么πcos()
2=πsin()
2
θθ+-（）
A ．3
4- B ．4
3- C ．4
3 D ．3
4
C ．存在x ∈R ，使得221x x +>
D ．存在x ∈R ，使得221x x +≥ 5.下列四个集合中，是空集的是() A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+-
6.已知集合{}2
,2a M =,{}a P 2,2--=,若P M 有三个元素,则实数a
的取值集合为（）
（A ）{}0,1-（B ）{}0,1,2--（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,2- 7.已知集合{}2
|20,A x ax
x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子
集，则a 的值是( )
A ．1
B ．1-
C ．0，1
D ．1-，0，1
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分． 9．给出下列四个命题： 函数的图象过定点
；
已知函数
是定义在R 上的奇函数，当时，
，若
，则实数
或2；
若，则a 的取值范围是
；
对于函数，其定义域内任意都满足
．
其中所有正确命题的是（） A. B. C. D.
10．已知函数()cos sin f x x a x =+的图象关于直线3x π
=对称，则（） A ．f 2()3
x π-
是偶函数 B ．f ()x 图象关于点(6
π
-，0)对称
C ．
f ()2cos()3x x π=- D ．f 2()2cos()3
x x π
=+ 11．已知角,,A B C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的是（）
A ．sin()sin
B
C A += B ．sin cos 22
A B C +⎛⎫
=
⎪⎝
⎭
C ．sin cos B A <
D ．cos()cos A B C +< 12．已知函数
()cos 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则（
）
A ．2π为()f x 的一个周期
B ．()y f x =的图象关于直线43
x π
=对称
C ．
()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为
3π
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.定义在[]23,a a -+上的偶函数()f x ，当
时，
()()log 23a f x x =+，则()f x 的值域为______．
14.设0,0,25x y x y >>+=，则xy
的最小值为______. 15
．
已知
2
2
()1x f x x =
+，那么
111
(1)(2)()(3)()(4)()234
f f f f f f f ++++++=_____.
16．已知函数sin
3
x
y π=在区间[0,]t 上至少取得2次最大值，则
正整数t 的最小值是_____．
四．解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题共8分） 已知函数
()24sin 2321
4πf x x x ⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
，且给定条件
p
：
“42
ππ
x ≤≤”. （1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）若又给条件q ：“()2f x m -<”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 18．（本小题共10分） 已知函数．
（1）若求
的单调函数区间；
（2）若有最大值3，求a 的值； （3）若
的值域是
，求a 的值．
19．（本小题共10分）设0a >，2()2(sin cos )sin cos 2f x a x x x x a =+--. （1）求()f x 的最大值；
（2）当7,44x ππ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣⎦
时，方程2()20f x a +=有且仅有2个不相等
的实数根，求a 的取值范围. 20．（本小题共12分）
在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为
[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数
()()3log 29132x x f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.
（1）当0k =时,求函数()y f x =的值域;
（2）若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;
（3）当0x >时,是否存在()01
k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.
参考答案
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C 【详解】
{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，
因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，
{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．
故选C ．
2．“2x >”是“24x >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【详解】
因为24x >等价于2x >或2x <-，
所以“2x >”是“24x >”的充分不必要条件. 故选：A
3．已知定义在[]
1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于
x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）
A ．2(0,)3
B ．15,66
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12
(,]33
D ．25(,36
]
【答案】D 【详解】
由题意，定义在[]
1,2a a -上的偶函数()f x ，可得120a a -+=，解得13
a =， 即函数()f x 的定义域为22[,]33
-， 又由函数当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减， 则不等式()()123f x f x a ->-可化为()()123f
x f x a ->-，
可得不等式组1232213
32
2213
3x x a x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤，即不等式的解集为25
(,36].
故选：D.
4．已知tan 34πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，则
2sin cos cos sin αααα
+=-（） A ．4- B ．4
C ．5
D ．5-
【答案】D 【详解】
tan 1tan 341tan πααα+⎛
⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，
2sin cos 2tan 1
5cos sin 1tan αααααα
++==---
故选：D .
5．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（） A ．24
25
-
B ．
35
C ．
2425
D ．
35
【答案】C 【详解】
解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，
所以3
4sin ,cos 5
5
αα=
==
=
， 所以3424
sin 22sin cos 25525
ααα==⨯⨯=， 故选：C
6．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由题知，()1sin f x a ax =+．若0,()1a f x ==，选项C 满足；若0||1a <<，
sin [||,||]a ax a a ∈-，()[1||,1||]f x a a ∈-+，其中1||0a ->，1||2a +<，函数周期22||
T a π
π=
>，选项A 满足；若||1a >，sin [||,||]a ax a a ∈-，()[1||,1||]f x a a ∈-+，其中1||0a -<，1||2a +>，函数周期22||T a π
π=<，选项B 满足；若||1a =，则()1sin [0,2]f x a ax =+∈，且周期为2π．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是
D ．
7.下列函数中，满足“
”的单调递增函数是（）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A 选项，取，则，不满足题中的条
件，舍去； 对于B 选项，，且函数单调递增，满足
题中的条件； 对于C 选项，函数单调递减，不满足题中的条件，舍去； 对于D 选项，取，则
，不满足题中的条件，舍去．
故选B ．
8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的
面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ
，那么
πcos()
2=π
sin()
2
θθ+-（）
A ．34
- B ．43
-
C ．
43
D ．
34
【答案】D
【解析】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1，故可设直角三角形的两 直角边长为,1a a +，由勾股定理可得：()2
2125a a ++=，解得3a =．故可得
3tan 4θ=，
πcos()
sin 32=tan πcos 4sin()2
θθθθ
θ+-==--． 二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分． 9．给出下列四个命题：
函数的图象过定点
；
已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，若
，则实数
或2；
若
，则a 的取值范围是
；
对于函数
，其定义域内任意都满足
．
其中所有正确命题的是（）
A.
B. C. D.
【答案】CD 【解析】对于，令，解得，则，函数
的图象过定点
，故
错误，对于
，
，函数
是定义在R 上的奇函数，
，
，
，则实数，故错误，对于，若，
解得
，故
正确，对于
，等价于
单调递增，故
正确．故选CD ．
10．已知函数()cos sin f x x a x =+的图象关于直线3
x π=对称，则（）
A ．f 2()3
x π
-
是偶函数 B ．f ()x 图象关于点(6
π
-，0)对称
C ．f ()2cos()3
x x π
=-
D ．f 2()2cos()3
x x π=+
【答案】ABC 【详解】
2()cos sin 1)f x x a x a x θ=+++
()f x 的图象关于直线3
x π=
对称，且1
332f π⎛⎫=+
⎪
⎝⎭ 213122a a ∴
+=+3a =()2sin 6f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ 222sin 2sin 2cos 3362f x x x x ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫∴-
=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭，
为偶函数，即选项A 正确； 06f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，∴选项B 正确； ()2sin 2cos 2cos 6623f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即选项C 正确；
对于选项D ，2()2cos 2cos 2sin 3
626f x x x x ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，即选项D 错
误．
故选：ABC ．
11．已知角,,A B C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的是（） A ．sin()sin B C A += B ．sin cos 22A B C +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
C ．sin cos B A <
D ．cos()cos A B C +<
【答案】ABD
【解析】对于,sin()sin()sin ,A B C A A π+=-=正确；
对于,sin sin cos 222A B C C B π+-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，正确；
对于C ，取60,45,75A B C =︒=︒=︒，显然21
sin cos 22
B A =
>=，故错误； 对于,cos()cos()cos D A B C C π+=-=-,由C 为锐角，可得:cos 0C >，可得：
cos()cos cos A B C C +=-<，正确．
12．已知函数()cos 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则（
）
A ．2π为()f x 的一个周期
B ．()y f x =的图象关于直线43
x π
=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
D ．()f x π+的一个零点为
3
π 【答案】AD
【解析】根据函数()cos 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭知最小正周期为2π，A 正确；当43x π=时，
443cos cos 03
362f π
πππ⎛⎫⎛⎫
=+== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在 5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，故C 错误；
()7cos 6f x x ππ⎛
⎫+=+
⎪⎝
⎭， 73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫
∴+=+== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故D 正确. 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.定义在[]
23,a a -+上的偶函数()f x ，当时，()()log 23a f x x =+，则()
f x 的值域为______． 【答案】
【解析】因为()f x 为定义在[]
23,a a -+上的偶函数，所以
，解得
，
所以当
时，
，又
在
上单调递增，所以在
上，
，又偶函数的图象关于y 轴对称，
所以在上，，所以的值域为．
故答案为．
14.设0,
0,25x y x y >>+=xy
______.
【答案】3【详解】
xy xy
=
0,
0,25,0,x y x y xy >>+=>∴
22343xy xy xy
⋅≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立， 故所求的最小值为3
15．已知22
()1x f x x =+，那么111
(1)(2)()(3)()(4)()234
f f f f f f f ++++++=_____. 【答案】
72
【分析】 可得1()1f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，由此可求解. 【详解】
2
2
22222
11()1111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，()112f =， 11117
(1)(2)()(3)()(4)()11123422f f f f f f f ∴++++++=+++=.
故答案为：7
2
.
16．已知函数sin
3
x
y π=在区间[0,]t 上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值
是 ． 【答案】8
【解析】由题意，函数sin
3x
y π=，可知最小正周期为26T w
π
=
=，可得51542T =，
又由函数sin 3x y π=在区间[0,]t 上至少取得2次最大值，如图所示，则满足15
2
t ≥，
又因为*t ∈N ，所以正整数t 的最小值为8．
四．解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．（本小题共10分）
已知函数()24sin 23cos 214πf x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，且给定条件p ：“4
2ππx ≤≤
”. （1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）若又给条件q ：“()2f x m -<”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()max 5f x =，()min 3f x =；（2）35m <<. 【详解】
（1）()1cos 22423cos 212
x f x x π⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭=⨯
--，
2sin 223cos 214sin 213x x x π⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
4
2
x π
π
≤≤
∴
226
3
3
x π
π
π
≤-
≤
， 1sin 2,132x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
∴()[]3,5f x ∈
()max 5f x =，()min 3f x =.
（2）()22m f x m -<<+， p 是q 的充分条件，
[]()3,52,2m m ∴⊆-+
23
25m m -<⎧⎨
+>⎩
，得35m <<. 18．已知函数．
（1）若
求
的单调函数区间；
（2）若有最大值3，求a 的值；
（3）若的值域是，求a 的值．
【解析】（1）当时，
，又开口向下，在
上单调递增，在
上单调递减，且在R 上单调递减，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由题意可知，若有最大值3，则有最小值，此时，
解得．
（3）若的值域是，则的值域为R ，当，满足条件；
当时二次函数的值域不可能为R ，故a 的值为0．
19．（本小题共12分）设0a >，2()2(sin cos )sin cos 2f x a x x x x a =+--.
（1）求()f x 的最大值； （2）当7,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，方程2()20f x a +=有且仅有2个不相等的实数根，求a 的取值范围.
【详解】
（1）设sin cos t x x =+4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[t ∈，平方得2
1
sin cos 2
t x x -=
()
222
111()()212(2)222
f x
g t at t a t a ∴==-
--=--+，[t ∈，
当a ≥
时，2
max 1()22f x a =--.
当02
a <<
时，max 1()2f x =.
（2）方程2
()20f x a +=，即2(sin cos )sin cos 0a x x x x +-=，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭①，
7,
44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，t ≤≤，
把①平方得21
sin cos 2
t x x -=，
∴原方程化为21202
t at --=.即2410t at --=
不可能同时是方程2410t at --=的根，
∴方程2410t at --=在(内有且仅有一个不为零的实根，
设2
g()41t t at =--，(0g g ⋅<，
8
a ∴>
或8a <-.
20．（本小题共12分）
在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]
m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x
x
f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.
（1）当0k =时,求函数()y f x =的值域; （2）若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;
（3）当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出
实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）0k =时,()()
3log 32x
f x =+,
因为322x +>.
所以()()
33log 32log 2x
f x =+>,
所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，
（2）设30x t t =>，,则()()2
3log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,
若0k ≥,则函数()()2
212g t k t k t k =⋅--++无最大值,
即()f t 无最大值,不合题意;
故k 0<,因此()()2
212g t k t k t k =⋅--++最大值在1
04k t k
-=
>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()2
11212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭
, 解得1k =或1
7k =-
, 由k 0<,所以1
7
k =-.
（3）因为01k <<时,设()31x
t t =>.设真数为()()2
212g t k t k t k =⋅--++.
此时对称轴1
04k t k
-=
<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,
即()f x 在()1
+∞，上为增函数. 所以,()()()()min max 1
1f x f m m f x f n n ==+==+，, 即方程()3log 291321x
x
k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，
上有两个不同实根, 即()1
291323
x
x
x k k k -⋅--++=,设()31x
t t =>.
所以()2
2123k t k t k t ⋅--++=.
即方程()2
2220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,
因为01k <<,
所以()()()228202
142220k k k k k
k k k ⎧∆=+-+>⎪
+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩
,
解得207
k <<
, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207
k <<
.。