山东省青岛市(新版)2024高考数学部编版能力评测(综合卷)完整试卷

山东省青岛市（新版）2024高考数学部编版能力评测(综合卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．πB．4π
C．8πD．9π
第(2)题
已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（）
A．7B．8C．9D．12
第(3)题
已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
第(4)题
已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（）
A．7B．9C．10D．12
第(5)题
已知点，，动点满足，当点的纵坐标为时，点到坐标原点的距离是( )
A
．B．C．D
．2
第(6)题
已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在
下列区间单调递增的是（）
A
．B．
C
．D．
第(7)题
已知实数a、b、c满足，则a、b、c的大小关系为（）
A．B．C．D．
第(8)题
已知中，，，，，，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（）
A．B
．
C
．D．在上的投影向量为
第(2)题
设是定义在上的奇因函数，是指的最大奇因数，比如：，，则（）
A．对
B．
C．
D．
第(3)题
对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法
正确的是（）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；
②曲线上存在到原点的距离超过的点；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有错误结论的序号是______．
第(2)题
已知，则的最小值为______．
第(3)题
已知所在平面内的两点，满足：，，是边上的点，若
，，，，则__________.
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望.
第(2)题
已知椭圆的短轴长是2，中心与抛物线为的顶点重合，椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点，求该椭圆的标准方程及离心率.
第(3)题
已知椭圆T：，其上焦点F与抛物线K：的焦点重合.
(1)若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC大于BD长度的大小；
(2)若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图2所示），试求四边形AEBG面
积的最小值.
第(4)题
已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程；
(3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
第(5)题
如图，点在轴正半轴上，抛物线上有三个不同的点，，，使得四边形是菱形，点在第四象限.
（1）若点与坐标原点重合，求菱形的面积；
（2）求的最小值.。