2019-2020学年人教A版数学必修一课件：1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值

函数 f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、 最大值分别是( )
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D. 12，2
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函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上(
)
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
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某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚 报价格是每份 0.40 元，卖出价格是每份 0.60 元，卖不掉的报纸 以每份 0.05 元的价格退回报社．在一个月(按 30 天计算)里，有 18 天每天可卖出 400 份，其余 12 天每天只能卖出 180 份．则 摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大， 最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同 的)
第一章 集合与函数概念
第2课时 函数的最大值、最小值
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第一章 集合与函数概念
考点
学习目标
图象法求函 数的最值
理解函数的最大(小)值及其 几何意义，并能借助图象求函 数的最大(小)值
利用函数的单 会借助函数的单调性求最值
调性求最值
函数最值的 能利用函数的最值解决有关
值
小值
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几 意义 何
表示
最大值 f(x)图象上最__高__
点的纵坐标
max
最小值 f(x)图象上最__低___
点的纵坐标
min
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■名师点拨 函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)“存在” M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)“任意” 最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都 必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于 直线 y＝M 的上(下)方．
最大值和最小值
最大值
最小值
条件 结论
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于_任__意___的 x∈I，都有
f(x) __≤____M
f(x) __≥____M
存在 x0∈I，使得___f_(x_0_)＝__M____
称 M 是函数 y＝f(x)的最大 称 M 是函数 y＝f(x)的最
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(2)当 x>5 时， 因为函数 f(x)单调递减， 所以 f(x)<f(5)＝3.2(万元)， 当 0≤x≤5 时，函数 f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当 x＝4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4 百台产品时，可使利润最大为 3.6 万元．
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解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象
可知函数有最大值无最小值．
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函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：函数 y＝2x2＋2 在(0，＋∞)上是增函数， 又因为 x∈N*， 所以当 x＝1 时， ymin＝2×12＋2＝4. 答案：4
应用问题 的简单实际问题
核心素养
数学抽象， 直观想象
逻辑推理， 数学运算
数学建模， 数学运算
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问题导学 预习课本 P30－32，思考以下问题： (1)函数最大(小)值的定义是什么？ (2)从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
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1.函数 f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( ) A．f32，f－32 B．f(0)，f32 C．f－32，f(0) D．f(0)，f(3) 解析：选 B.观察函数图象知，f(x)的最大值、最小值分别为 f(0)， 3 f2.
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因为 3≤x1<x2≤5， 所以 x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0， 所以 f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)． 所以 f(x)在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数， 则 f(x)max＝f(5)＝47， f(x)min＝f(3)＝25.
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函数最值的应用问题
某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生 产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为 G(x)(万 元)，其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本 为 1 万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入 R(x)(万元) 满足： R(x)＝－11，0.4xx>25＋，4x.2∈x，N，0≤x≤5，x∈N，假定该产品产销平衡 (即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问 题：
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
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x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
由图象可知 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递 减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为 f(0)＝－1.
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图象法求最值的一般步骤
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1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
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(2019·福州高一检测)已知函数 f(x)＝x2＋x 1 . (1)判断函数 f(x)在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数 f(x)在[－3，－1]上的最大值．
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解：(1)函数 f(x)在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x1＜x2≤－1， f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x2x－2x1x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由－3≤x1＜x2≤－1 可得 x1－x2＜0，x1x2＞1， 即有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 可得 f(x)在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数 f(x)在[－3，－1]上递增， 所以 f(x)的最大值为 f(－1)，即为－2.
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图象法求函数的最值 已知函数 f(x)＝－2x，x∈（－∞，0），
x2＋2x－1，x∈[0，＋∞）. (1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值．
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【解】 (1)函数的图象如图所示．
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
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4．已知函数 f(x)＝4x2－mx＋1 在(－∞，－2)上递减，在[－2， ＋∞)上递增，求 f(x)在[1，2]上的值域． 解：因为 f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所 以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增． 所以 f(x)在[1，2]上递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝4－m＋1＝21； 当 x＝2 时，f(x)取得最大值 f(2)＝16－2m＋1＝49. 所以 f(x)在[1，2]上的值域为[21，49]．
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函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大 值为 f(a)，最小值为 f(b)． (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大 值为 f(b)，最小值为 f(a)． [注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则 不一定有最值．
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本部分内容讲解结束
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(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25，x－x∈2.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出图象可知(图略)，f(x)既无 最大值又无最小值．
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第二十七页，编辑于星期六：二十二点 五80≤x≤400，x∈N)份晚报，每 月获利为 y 元，则有 y＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180) ＝－0.6x＋1 188，180≤x≤400，x∈N. 因为函数 y＝－0.6 x＋1 188 在 180≤x≤400，x∈N 上是减函数， 所以 x＝180 时函数取得最大值，最大值为 y＝－0.6×180＋1 188＝1 080. 故摊主每天从报社买进 180 份晚报时，每月获得的利润最大， 为 1 080 元．
最小值．
第十六页，编辑于星期六：二十二点 五十六分。
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2；
当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
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利用函数的单调性求最值
已知函数 f(x)＝xx－ ＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： 任取 x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11－ ＋12－xx22－ ＋12＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
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判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) (3)若函数 f(x)≤1 恒成立，则 f(x)的最大值为 1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
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