高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习含答案解析

数学《坐标系与参数方程》期末复习知识要点
一、13
1．若点P 的直角坐标为()
1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则()
2
2132ρ=+-=，3
tan 31
θ-=
=-. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
2．参数方程
（为参数）所表示的图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】 由
，得
，代入
，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程
中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

【详解】 由题意知
将
代入
，得
，
解得，因为，所以.故选：D 。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。

3．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点
对应的极角分别为
，则
的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出
的面积。

【详解】 依题意得：、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

4．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为312x y t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A 87
B 47
C 813
D 413
【答案】C 【解析】
分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.
详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：22
14y x +=，
与直线l
的参数方程212x t y t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）联立可得：21613t =，
则12t t =
=，
结合弦长公式可知：12AB t t =-=. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨
=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛
⎫= ⎪⎝⎭剟，
(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( )
A
．
3
B
C
D
．
7
【答案】D 【解析】 【分析】
先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α。

【详解】
解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
剟
， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，
所以曲线C 的普通方程为22
(2)4(02)x y y -+=剟
， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆.
因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩，
（t 为参数），
所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=g ，
因为1sin 2sin 2
ABC S CA CB ACB ACB ∆g g g =
??， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，
此时C 到直线l 的距离22
22AB CA CB d +=== ，
因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =
所以214tan 7
α==， 故选D 。

【点睛】
本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想。

6．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ） A ．2 B ．4
C 5
D ．25【答案】D 【解析】 【分析】
把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。

【详解】
因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-， 22
24x y x y +=-，即
22
(-1）+（y+2）5x =。

圆心为（1，-2），半径5r =O 到圆上的最大距离，
等于点O 到圆心的距离d 加上半径r ，且22(10)(20)5d =-+-=
，所以PO
的最大值为5D 。

【点睛】
本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法。

7．记椭圆22
1441
x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，
，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞
=（ ） A ．0 B ．
1
4
C ．2 D
．【答案】D 【解析】
分析：先由椭圆2
2
1441x ny
n +=+
得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．
详解：把椭圆22
1441
x ny n +=+得，
椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪
⎨=⎪
⎩
（θ为参数）， ∴x+y=2cos θ
， ∴（x+y ）max
∴n
lim →∞
M n
=n
故选D ．
点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
8．
将点的直角坐标(-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ） A ．24,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．54,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C
．6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
D
．3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由P
点的直角坐标(-
，可得tan y
x
ρθ==
，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】
解：∵点P 的直角坐标(-，
∴4ρ=
=
=，tan 2
y x θ=
==- 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23
πθ=． ∴满足条件的点P 的极坐标为24,3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
． 故选：A ． 【点睛】
考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.
9．设曲线C 的参数方程为5cos ()15sin x y θθθ
⎧=⎪
⎨
=-+⎪⎩为参数，直线l 10y -+=，
则曲线C 上到直线l 的距离为5
2
的点的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与5
2
的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】
化曲线C 的参数方程为普通方程：(()2
2
125x y ++=，
圆心
)
1-10y -+=的距离3115
522
d ++=
=<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】
解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．
10．设椭圆C ：22
11612
x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，
则122d d +的最小值（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
设()
4P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：
1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结
论． 【详解】
解：设()
4P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：
12224841641681688
6d d cos cos sin πθθθθθ⎛
⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝
⎭．
当且仅当816sin πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．
故选：D 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．椭圆22
:1169
x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )
A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，
则点P到直线l的距离
122sin18 12cos12sin184
5
d
π
θ
θθ
⎛⎫
++
⎪
++⎝⎭
==
122sin18
12218
4
55
π
θ⎛⎫
++
⎪-+
⎝⎭
=≥
，当sin1
4
π
θ⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
时，等号成立.
因为[)
0,2
θ∈π，所以
5
4
π
θ=.
所以当
5
4
π
θ=时，d取得最小值18122
5
-
.
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.
12．如图，扇形的半径为1，圆心角150
BAC
∠=︒，点P在弧BC上运动，
AP mAB nAC
=+
u u u v u u u v u u u v
，则3m n
-的最大值是（）
A．1B3C．2D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
以A为原点可建立坐标系，设()
cos,sin
Pθθ，0150
θ
≤≤
o o；根据AP mAB nAC
=+
u u u v u u u v u u u v 可求得
cos3
2sin
m
n
θθ
θ
⎧=+
⎪
⎨
=
⎪⎩
()
32sin60
m nθ
-=+o，利用三角函数值域求解方法可求得结果.
【详解】
以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o
o
，则()0,0A ，()10B ,，31,22C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，312AC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 1sin 2m n n
θθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o
0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012
θ∴-≤+≤o
132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
13．已知P 为曲线3cos 4sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟
）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为
4
π
，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)
B ．32222⎛ ⎝
C ．(-3,-4)
D ．1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】
设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，
∴3
tan 4
θ=，又0θπ剟
， ∴3sin 5θ=
，4cos 5
θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯
=，312
4sin 455
y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选D. 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.
14．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )
A ．-⎡⎣
B ．⎡-⎣
C ．⎡⎣
D ．(
【答案】A 【解析】 【分析】
利用参数方程，令,a b αα==，转化为
sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=求解.
【详解】
令,a b αα==
则sin )4a b πααα⎛⎫
-=+
⎪⎝
-⎭
=
所以a b -∈-⎡⎣
故选：A 【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.
15．在极坐标系中，曲线C 的方程为2
23
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，
极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）
A
．1⎡⎤⎣⎦
B ．[]3,1-
C ．[]22-,
D ．[]
2,1--
【答案】B 【解析】 【分析】
将曲线C 的方程2
2
312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2
213
x y +=
，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.
【详解】
解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2
23
12sin ρθ
=
+，
可得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，即2
2
33x y +=，2
213
x y +=
设x α=，sin y α=，
可得1sin 12(
cos sin )12sin()12213
x y π
ααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.
16．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为
()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u u
u r
=
因为2cos θθ
+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1
=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r
u u
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
17．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≠
B ．k R ∈
C
．k >D ．k …
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ
+=-无解，利用辅助角公式得出4sin cos πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，结合正弦函数的性质，即可得
出k 的取值范围. 【详解】
当0ρ=时，sin cos k θθ
+=-，则此方程无解
由4sin cos πθθθ⎛
⎫+=
+≤ ⎪⎝
⎭k >时，方程无解.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.
18．过椭圆C ：2cos x y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，
MF m =，NF n =，则
11
m n +的值为（） A ．
23
B ．43
C ．83
D ．不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11
m n
+的值. 【详解】
消去参数得到椭圆的普通方程为22
143
x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为
1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()22
3sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故121222
6cos 9
,03sin 3sin t t t t ααα
+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=
12
12
t t t t -===
⋅4
3
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨
=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,
61
x t y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】
根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θ
θ=-+⎧⎨
=+⎩
（θ为参数），则圆的普通方程为
22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.
直线的方程为21
61
x t y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即
320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x -
-=
的距离为2d ==
<，即直线与圆相交. 故选A.
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
20．参数方程21,11x t
y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）所表示的曲线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
消参化简整理得2
2
1x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】
将1
t x =代入y =
，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选:D. 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。