2020-2021学年沪科版九年级下册数学 期末检测卷

期末检测卷
时间:120分钟满分:150分
一、选择题(每题4分,共40分)
1.下列图形是中心对称图形的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.下列事件是必然事件的是()
A.打开电视机,它正在直播排球比赛
B.抛掷5枚硬币,结果是2个正面朝上,3个反面朝上
C.黑暗中从一大串钥匙中随便选出一把,用它打开了门
D.投掷一枚均匀的正方体骰子,正面朝上的数是奇数或偶数
3.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为DE
⏜上一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为()
A.30°
B.36°
C.60°
D.72°
4.六一儿童节,某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘,开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据.下列说法不正确的是()
转动转盘的次数n100200500800 1 000
落在“铅笔”区域的次
数m
68140355560690
落在“铅笔”区域的频
率m
n
0.680.700.710.700.69
A.当n很大时,估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.7
B.转动转盘一次,获得铅笔的概率大约是0.7
C.如果转动转盘2 000次,那么指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D.转动转盘10次,一定有3次获得文具盒
5.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是
( )
A B C D 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,若☉O 的半径是1,则直线y=x-√2与☉O 的位置关系是
( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
7.如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A ,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E ,若∠AOB=3∠D ,则
( )
A.DE=OB
B.√2DE=EB
C.√3DE=DO
D.DE=EB
8.如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,∠C=30°,☉O 的半径为5.若点P 是☉O 上的一点,在△ABP 中,PB=AB ,则PA 的长为 ( ) A.5 B.
5√3
2
C.5√2
D.5√3
第8题图 第9题图 第10题图
9.用6个小正方形组成如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),设经过图中M ,P ,H 三点的圆弧与线段AH 交于点R ,则HR
⏜的长为 ( )
A.√5
4
π B.√2
4
π C.√3
4
π D.√5
2
π
10.如图,点P 是等边三角形ABC 的外接圆上一点,连接PA ,PB ,PC ,PO ,在以下判断中,不正确的是
( ) A.当弦PB 最长时,△APC 是等腰三角形 B.当△APC 是等腰三角形时,PO ⊥AC C.当PO ⊥AC 时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC 是直角三角形 二、填空题(每题5分,共20分)
11.如图所示,此时树的影子是在 (填“太阳光”或“灯光”)下的影子.
第11题图 第12题图 第14题图
12.如图,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转至△A'B'C ,使点A'落在BC 的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB'= .
13.九年级(1)班举行了一场关于“生活中是否需要善意的谎言”的辩论会,正方丽丽和她的两名女队友、反方小凯和他的两名男队友均获得“最佳辩手”的称号,现要从这六名学生中随机选取一名男生和一名女生参加学校的辩论赛,小凯和丽丽一起参加比赛的概率为 . 14.如图,正方形ABCD 的边长为1,以AB 为直径作半圆,点P 是CD 的中点,BP 与半圆交于点Q ,连接
DQ ,给出如下结论:①DQ=1;②PQ BQ =32;③S △PDQ =18;④cos ∠ADQ=3
5.其中正确的是 .(填序号)
三、解答题(共90分)
15.(8分)如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (-2,3),B (-6,0),C (-1,0).
(1)将△ABC 绕坐标原点O 旋转180°得△A'B'C',画出图形,并写出点A 的对应点A'的坐标; (2)将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°得△A″B″C″,画出图形,并写出点A 的对应点A″的
坐标;
(3)请直接写出以A ,B ,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.
16.(8分)如图所示是某几何体的展开图. (1)这个几何体的名称是 ; (2)画出这个几何体的三视图;
(3)求这个几何体的体积.(π≈3.14)
17.(8分)如图,身高1.6米的小明站在距路灯底部(O 点)10米的点A 处,他的身高(线段AB )在路灯下的影子为线段AM ,已知路灯灯杆OQ 垂直于路面. (1)在OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点P ;
(2)小明沿AO 方向前进到点C ,请画出此时表示小明影子的线段CN ;
(3)若AM=2.5米,求路灯灯泡P到地面的距离.
18.(8分)有三张正面分别写着-1,2,3的卡片,它们的背面完全相同.
(1)将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,则抽到的卡片正面的数为正数的概率
为;
(2)将这三张卡片背面朝上洗匀后,小明随机抽取一张,以其正面的数作为平面直角坐标系内点P 的横坐标,然后将此卡片放回、洗匀,再由小丽随机抽取一张,以其正面的数作为平面直角坐标系内点P的纵坐标.请用画树状图或列表法求出点P在第一象限的概率.
19.(10分)如图,AB与☉O相切于点C,OA,OB分别交☉O于点D,E,CD=CE.
(1)求证:OA=OB;
(2)已知AB=4√3,OA=4,求阴影部分的面积.
⏜的中点,连接CE交AB于点F,且BF=BC.
20.(10分)如图,以AC为直径的☉O交AB于点D,点E为AD
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,cos B=3
,求CE的长.
5
21.(12分)某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理,分成5个小组(x表示成绩,单位:次,且100≤x<200),根据测试成绩绘制出如下不完整的频数分布表和频数分布直方图,其中B,E两组中人数之比为4∶1,请结合图表中相关数据回答下列问题:
测试成绩频数分布表测试成绩频数分布直方图
(1)填空:a=,b=,本次跳绳测试成绩的中位数落在组;(请填写字母)
(2)补全频数分布直方图;
(3)已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次,现要从E组中随机选取两人介绍经验,请用列表或画树状图的方法,求出甲、乙两人中至少有1人被选中的概率.
22.(12分)如图,AB是☉O的直径,AE交☉O于点F,且与☉O的切线CD互相垂直,垂足为D.
(1)求证:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8,
①求☉O的半径;
②求tan∠BAD的值.
⏜上一动点,求证:PA=PB+PC;
23.(14分)(1)已知:如图1,△ABC是☉O的内接正三角形,点P为BC
(2)如图2,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P为BC⏜上一动点,求证:PA=PC+√2PB;
(3)如图3,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,点P为BC⏜上一动点,请探究PA,PB,PC三者之间有何数量关系,并给予证明.
期末检测卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D C C A D A C
11.太阳光12.46°13.1
14.①②④
9
1.B【解析】题图中从左到右第1个和第4个图形是中心对称图形,第2个和第3个图形不是中心对称图形.故选B.
2.D【解析】A项是随机事件;B项是随机事件;C项是随机事件;D项是必然事件.故选D.
=72°,所以
3.B【解析】如图,连接OC,OD.因为五边形ABCDE为正五边形,所以∠COD=360°
5
∠COD=36°.故选B.
∠CPD=1
2
4.D【解析】由题表可知,指针落在“铅笔”区域的频率稳定在0.7左右,故A选项正确;用频率估计概率可知,获得铅笔的概率大约是0.7,故B选项正确;指针落在“文具盒”区域的概率约为0.3,所以转动转盘2 000次,指针落在“文具盒”区域的次数大约有2 000×0.3=600(次),故C 选项正确;转动转盘10次,不一定有3次获得文具盒,故D选项不正确.故选D.
5.C【解析】A,B,C,D项的主视图和左视图分别如图1,2,3,4所示,由图可知图3中主视图与左视图相同.故选C.
6.C【解析】直线y=x-√2与x轴的交点是A(√2,0),与y轴的交点是B(0,-√2),即OA=√2,OB=√2,
则AB=√(√2)2+(√2)2=2.设点O到直线y=x-√2的距离为d,由等面积法可得1
2OA·OB=1
2
AB·d,所以
d=1,所以直线y=x-√2与☉O的位置关系是相切.故选C.
7.A【解析】如图,连接EO.∵OB=OE,∴∠B=∠BEO,∵∠AOB=∠D+∠B,∠AOB=3∠D,
∴∠B+∠D=3∠D,∴∠B=2∠D,∴∠BEO=2∠D.又∵∠BEO=∠D+∠DOE,∴∠DOE=∠D,∴DE=EO=OB.故选A.
8.D【解析】如图,连接OA,OB,OP,设OB与AP交于点D,易知∠AOB=2∠C=60°.
∵PB=AB,∴OB⊥AP,AD=PD,∴AP=2AD=2OA·sin∠AOD=2×5×√3
2
=5√3.故选D.
9.A【解析】如图,连接AM,MH,MR.AM=√AD2+DM2=√5,MH=√MC2+CH2=√5,AH=√AB2+BH2=√10,满足AM2+MH2=AH2,且AM=MH,∴△AMH是等腰直角三角形.∵∠MPH=90°,∴MH是MPH
⏜所在圆的直径,∴∠MRH=90°,∴MR⊥AH,∴∠RMA=∠RMH=45°.∴HR⏜所对的圆心角为90°,∴HR⏜的长为
90π·√52 180=√5
4
π.故选A.
10.C【解析】对于选项A,当弦PB最长时,PB为直径,∵△ABC为等边三角形,∴PB垂直平分弦AC,∴PA=PC,∴△APC是等腰三角形,故A正确.对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P只能
为点B 或过点B 的直径的另一个端点,都能得到PO ⊥AC ,故B 正确.对于选项C ,当PO ⊥AC 时,点P 与点B 重合或为过点B 的直径的另一个端点.当点P 与点B 重合时,∠ACP=60°;当点P 为过点B 的直径的另一个端点时,∠ACP=30°,故C 不正确.对于选项D ,当∠ACP=30°时,点P 可能在AC ⏜上也可能在AB
⏜上.当点P 在AC ⏜上时,连接OA ,OB ,∵∠AOP=2∠ACP=60°,∠AOB=2∠ACB=120°,∴B ,O ,P 三点共线,这时△BPC 是直角三角形;当点P 在AB
⏜上时,连接OC ,∵∠AOP=2∠ACP=60°,∠AOC=2∠ABC=120°,∴P ,O ,C 三点共线,这时△BPC 也是直角三角形,故
D 正确.故选C .
11.太阳光
12.46° 【解析】 ∵∠A=27°,∠B=40°,∴∠ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°.∵将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到△A'B'C ,∴△ABC ≌△A'B'C ,∴∠ACB=∠A'CB',∴∠ACB-∠B'CA=∠A'CB'-∠B'CA ,即∠BCB'=∠ACA',∴∠BCB'=67°,∴∠ACB'=180°-∠ACA'-∠BCB'=180°-67°-67°=46°.
13.19 【解析】 用A ,B ,C 分别代表小凯和他的两名男队友,用a ,b ,c 分别代表丽丽和她的两名女队友,根据题意列表如下:
A B C
a (a ,A ) (a ,B ) (a ,C )
b (b ,A ) (b ,B ) (b ,C )
c (c ,A ) (c ,B ) (c ,C )
由表格可知共有9种等可能的结果.其中小凯和丽丽一起参加比赛的结果只有一种,则小凯和丽丽一起参加比赛的概率为19
. 14.①②④ 【解析】 ①连接OQ ,OD ,如图1.易证四边形DOBP 是平行四边
形,∴DO ∥BP ,∴∠AOD=∠OBQ ,∠QOD=∠BQO ,∵OQ=OB ,∴∠OBQ=∠BQO ,∴∠AOD=∠QOD ,又
∵AO=QO ,OD=OD ,∴△AOD ≌△QOD ,∴DQ=DA=1,故①正确.②连接AQ ,如图
2,∵CP=12,BC=1,∴BP=√12+(12)2=√
52
.∵AB 为直径,∴∠AQB=90°=∠C ,又∵∠ABQ=∠BPC ,∴Rt △AQB ∽Rt △BCP ,∴BQ CP =AB BP
,∴BQ 12
=√52
,∴BQ=√
55,则PQ=√
52-√
55=3√
510,∴PQ BQ =32,故②正确.③过点Q 作QH ⊥DC 于点H ,如图3,∵QH ∥BC ,∴△PHQ ∽△PCB ,∴QH CB =PQ BP
,由②得
PQ BQ =3
2,∴PQ BP =35,∴QH=35,∴S △PDQ =12DP ·QH=12×12×35=320
,故③错误.④过点Q 作QN ⊥AD 于点N ,如图4.易得DP ∥NQ ∥AB ,∴DN AN =PQ BQ =32,∴DN 1−DN =32,∴DN=35.由DQ=1,得cos ∠ADQ=DN DQ =35
,故④正确.综上所述,正确的结论是①②④.
15.【解析】 (1)△A'B'C'如图所示,点A 的对应点A'的坐标为(2,-3). (2)△A″B″C″如图所示,点A 的对应点A″的坐标为(-3,-2). (3)顶点D 的坐标为(-7,3)或(-5,-3)或(3,3).
16.【解析】 (1)圆柱 (2)三视图如图所示.
(3)由题图,可知圆柱的底面圆的半径r=5,高h=20,
所以体积为πr 2
h ≈1 570.
17.【解析】 (1)点P 的位置如图所示. (2)线段CN 如图所示.
(3)∵AB ∥OP ,∴△MAB ∽△MOP ,
∴AB OP =AM OM ,即1.6OP = 2.510+2.5
,
∴OP=8米,即路灯灯泡P 到地面的距离是8米.
18.【解析】 (1)23 (2)列表如下:
-1 2 3 -1 (-1,-1) (-1,2) (-1,3) 2 (2,-1) (2,2) (2,3) 3
(3,-1)
(3,2)
(3,3)
观察表格可知,所有等可能出现的结果有9种,其中点P 在第一象限的结果有(2,2),(2,3),(3,2)和(3,3),共4种,
所以点P 在第一象限的概率为49. 19.【解析】 (1)连接OC.
∵AB 与☉O 相切于点C ,∴OC ⊥AB.
∵CD=CE ,∴∠AOC=∠BOC.
在△AOC 和△BOC
中,{∠AOC =∠BOC,OC =OC,∠ACO =∠BCO =90°,
∴△AOC ≌△BOC ,∴OA=OB.
(2)∵OB=OA=4,BC=12
AB=2√3, ∴sin ∠BOC=BC OB =2√34=√32,则∠BOC=60°,
∴OC=12
OB=2, ∴S 阴影=S △BOC -S 扇形COE =12×2×2√3-60π×22
360=2√3-23
π.
20.【解析】 (1)如图,连接AE ,
∵AC 是☉O 的直径,∴∠E=90°. ∴∠EAD+∠AFE=90°. ∵BF=BC ,∴∠BCE=∠BFC.
∵E 为AD
⏜的中点, ∴∠EAD=∠ACE ,
∴∠BCE+∠ACE=90°,∴AC ⊥BC.
∵AC 为☉O 的直径,∴BC 是☉O 的切线. (2)∵☉O 的半径为2,∴AC=4,
又∵cos B=35=BC AB
,∴BC=3,AB=5, ∴BF=3,∴AF=5-3=2. ∵∠EAD=∠ACE ,∠E=∠E , ∴△AEF ∽△CEA , ∴EA EC =AF AC =24=12
,∴EC=2EA.
设EA=x,则EC=2x,
由AE2+EC2=AC2,得x2+4x2=16,
∴x=4√5
5,∴CE=8√5
5
.
21.【解析】(1)432%C
由题意可知总人数为15÷30%=50,
因为B,E两组人数之比为4∶1,
所以5a=50-5-15-10,解得a=4,
所以B组的频数是16,
所以b=16
50
×100%=32%.
因为5+16<25,5+16+15>25,
所以中位数落在C组.
(2)由(1)可知补全的频数分布直方图如图所示:
(3)记甲为G,乙为H,E组另两位同学为M,N,画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中甲、乙两人中至少有1人被选中的结果有10种,
则甲、乙两人中至少有1人被选中的概率为10
12=5 6 .
22.【解析】(1)如图,连接OC.∵CD是☉O的切线,∴CD⊥OC,又∵CD⊥AE,∴OC∥AE,
∴∠1=∠3.
∵OC=OA,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,即∠EAC=∠CAB. (2)①如图,连接BC.
∵AB是☉O的直径,CD⊥AE,
∴∠ACB=∠ADC=90°,
又∵∠1=∠2,∴△ACD∽△ABC,∴AD
AC =AC AB
,
又∵AC2=AD2+CD2=82+42=80,
∴AB=AC2
AD =80
8
=10,∴☉O的半径为5.
②如图,连接CF与BF.
∵四边形ABCF是☉O的内接四边形,
∴∠DFC=∠ABC.
∵∠2+∠ABC=90°,∠DFC+∠DCF=90°,∴∠2=∠DCF,
又∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCF,
又∵∠CDF=∠ADC=90°,
∴△DCF∽△DAC,∴CD
AD =DF CD
,
∴DF=CD2
AD =42
8
=2,
∴AF=AD-DF=8-2=6.
∵AB是☉O的直径,∴∠BFA=90°,∴BF=√AB2-AF2=√102-62=8,
∴tan∠BAD=BF
AF =8
6
=4
3
.
23.【解析】(1)如图1,延长BP至E,使PE=PC,连接CE.
∵四边形ABPC内接于☉O,∴∠BAC=∠CPE=60°,
又∵PE=PC,
∴△PCE是等边三角形,∴CE=PC,∠E=60°,
又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP,
∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,
∴△BEC≌△APC(SAS),∴PA=BE=PB+PC.
(2)如图2,过点B作BE⊥PB交PA于点E.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,
∵四边形ABCD是☉O的内接正方形,∴∠APB=45°,
∴BP=BE,∴PE=√2PB,
又∵AB=BC,∴△ABE≌△CBP(SAS),
∴PC=AE,∴PA=AE+PE=PC+√2PB.
(3)PA,PB,PC三者之间的数量关系为PA=PC+√3PB,理由如下:
如图3,过点B作BM⊥AP交AP于点M,在AP上截取AQ=PC,连接BQ,∵∠BAP=∠BCP,AB=BC,∴△ABQ≌△CBP(SAS),
∴BQ=BP,∴MP=QM,
又∵∠APB=30°,∴cos 30°=PM
BP ,∴PM=√3
2
PB,
∴PQ=√3PB,∴PA=PQ+AQ=√3PB+PC.。