数学(选修44)练习2.3第2课时双曲线抛物线的参数方程

第2章 2.3 第二课时
一、选择题
1．与方程xy ＝1等价的曲线的参数方程(t 为参数)是( )
A ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2，
y ＝t －
2 B ．⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝sin t ，y ＝1
cos t C ．⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos t ，y ＝1
sin t
D ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t ，y ＝1
tan t
解析：由双曲线的参数方程形式可得答案． 答案：D
2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos θ，
y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( )
A ．(－5,0)
B ．(5,0)
C ．(±5,0)
D ．(0，±5)
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos θ，y ＝3tan θ，消去参数θ，得圆锥曲线的普通方程为x 216－y 2
9
＝1.故它的焦点
坐标为(±5,0)．
答案：C
3．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t 2，
y ＝4t －3(t 为参数)与x 轴交点的坐标是( )
A ．(1,4)
B ．⎝⎛⎭⎫
2516，0 C ．(1，－3)
D ．⎝⎛⎭
⎫±25
16，0 解析：令y ＝4t －3＝0，则t ＝3
4.∴x ＝1＋⎝⎛⎭⎫342＝2516. ∴曲线与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫2516，0. 答案：B
4．参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x cos θ＝a ，
y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．双曲线的一部分
解析：由x cos θ＝a ，得cos θ＝a
x .
代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab . 又由y ＝b cos θ，得y ∈[－|b |，|b |]．
故参数方程所表示的曲线应为双曲线的一部分． 答案：D 二、填空题
5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4y ＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________.
解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1
2
sin 2θ，y ＝－
2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ). 消去参数，得y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤1
2. 答案：y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12
≤x ≤1
2 6．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3tan θ，
y ＝1
cos θ，
θ∈[0,2π)的两条渐近线的倾斜角为________. 解析：将参数方程化为y 2－
x 2
3
＝1， 得a ＝1，b ＝3，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±3
3.
故α＝30°或150°. 答案：30°或150°. 三、解答题
7．已知抛物线C ：⎩⎨⎧
x ＝s 2＋1
s
2－2，
y ＝2s －2
s
(s 为参数)，过抛物线C 的焦点F 作倾斜角为α
的直线l ，交抛物线C 于点A ，B ．
(1)将抛物线参数方程化为普通方程，并写出直线l 的以t 为参数的参数方程． (2)若AF →＝3FB →
，求倾斜角α. 解：(1)由已知，得x ＝⎝⎛⎭⎫s －1s 2＝⎝⎛⎭⎫y 22. 所以抛物线的普通方程为y 2＝4x .
易知直线l 过点(1,0)，则直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α.
(2)将l 的参数方程代入y 2＝4x ，得t 2sin 2α＝4＋4t cos α，即t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 则t 1＋t 2＝4cos α
sin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α
.
记A ，B 在l 的参数方程中所对应的参数分别为t 1，t 2，则由AF →＝3FB →
，得t 1＝－3t 2. 消去t 1，t 2得3⎝⎛⎭⎫－2cos αsin 2α＝4sin 2α
. 所以tan 2α＝3，即tan α＝±3.故α＝π3或2π
3
.
8．求证：双曲线上任一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．
证明：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则它的两条渐近线的方程是bx ＋ay
＝0，bx －ay ＝0.
设双曲线上任一点的坐标为M ⎝⎛⎭⎫a cos φ，b tan φ， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，
则d 1·d 2＝
⎪⎪⎪⎪ab cos φ＋ab tan φb 2＋a 2
·
⎪⎪⎪
⎪
ab cos φ－ab tan φb 2＋(－a )2
＝a 2b 2
a 2＋b
2(定值)． 故双曲线上任一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．
一、选择题
1．方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝e t ＋e －
t ，
y ＝e t －e －
t (t 为参数)表示的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支
D ．双曲线下支
解析：因为x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t
－(e 2t －2＋e
－2t
)＝4，且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －
t ＝2.
所以表示双曲线的右支． 答案：B
2．已知曲线⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1
＋t 2＝0，那么M ，N 两点间的距离为 ( )
A ．2p (t 1＋t 2)
B ．2p (t 21＋t 2
2)
C ．|2p (t 1－t 2)|
D ．2p (t 1－t 2)
解析：由题意知M (2pt 1,2pt 21)，N (2pt 2,2pt 2
2)． 则|MN |＝(2pt 1－2pt 2)2＋(2pt 21－2pt 22)2
＝4p 2(t 1－t 2)2＋4p 2(t 1－t 2)2(t 1＋t 2)2 ＝4p 2(t 1－t 2)2＝|2p (t 1－t 2)|. 答案：C 二、填空题
3．已知抛物线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，
点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 轨迹的普通方程为___________．
解析：由题意，知x ＝x 02，y ＝y 0
2
，即x 0＝2x ，y 0＝2y .
把x 0＝2x ，y 0＝2y 代入x 2＝2y ，可得点P 轨迹的普通方程为(2x )2＝4y ，即x 2＝y . 答案：x 2＝y
4．若曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，
y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝a 有两个公共点，则实数a 的取值范围是________.
解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，y ＝sin 2θ
化为普通方程为y ＝x 2(－1≤x ≤1)． 画其图象如图所示，直线y ＝a 与曲线有两个公共点，
故0＜a ≤1. 答案：0＜a ≤1 三、解答题
5．已知定点A (0,4)和双曲线x 2－4y 2＝16上的动点B ，点P 分有向线段AB 的比为1∶3，求点P 轨迹的参数方程．
解：双曲线的方程可化为x 216－y 2
4
＝1.
它的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos φ，
y ＝2tan φ，
φ∈[0,2π)．
设点P 的坐标为(x ，y )，曲线上点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4cos φ，2tan φ.根据题意，得PB →＝3AP →
. 又AP →＝(x ，y －4)，PB →
＝⎝⎛⎭⎫4cos φ－x ，2tan φ－y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＝4cos φ－x ，
3(y －4)＝2tan φ－y .
∴点P 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝
1
cos φ
，y ＝3＋1
2
tan φ(φ为参数)．
6．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方
程．
解法一：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8t 2，
y ＝8t ，t ∈(－∞，
＋∞)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 2
2，8t 2)，
则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2.
又设MN 的中点为P (x ，y )，
则⎩⎨⎧
x ＝8t 21＋8t 2
22
，
y ＝8t 1
＋8t
2
2
.∴k AP ＝
4(t 1＋t 2)
4(t 21＋t 2
2)－1
. 由k MN ＝k AP ，得t 1·t 2＝－1
8
.
又⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4(t 21＋t 22)，
y ＝4(t 1＋t 2)， ∴y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2
)＝16⎝⎛⎭⎫x 4－14＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)． 解法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由M ，N 在抛物线y 2
＝8x ，得⎩
⎪⎨⎪⎧
y 21＝8x 1，
y 22＝8x 2.
两式相减，得y 21－y 2
2＝8(x 1－x 2)，
即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)． ∴
y 1－y 2x 1－x 2＝8
y 1＋y 2
. 设线段MN 的中点为P (x ，y )， ∴y 1＋y 2＝2y .
∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4
y .
又k P A ＝
y x －1，∴y x －1＝4y
. ∴y 2＝4(x －1)．
∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。